集合的運算

聯集與交集運算(Union and intersection operation) mathematical_analysis Introduction 數學分析 邏輯(Logic) 集合的運算 實數(Realnumber) Dedekind分劃(cut) Dedekind分劃2(cut) 集合(Set) 集合2(Set) Cantor集合 Cauchysequence 單調序列(monotonicsequence) 不等式(Ineqlity) 歐式空間(Euclideanspace) 可數集合(Countableset) 歐式空間拓樸集(Euclideanspacetopology) 開集合(openset) 閉集合(closeset) 稠密集合(denseset) 緊緻集合(compactset) 緊緻集合等價敘述(compactsetequivment) 緊緻集合應用(compactsetapplication) 連通集合(connectedset 度量空間(Metricspace) Hausdorff空間 點拓撲集定義(Pointtopologydefinition) 點拓撲集定義2(Pointtopologydefinition2) 點拓撲集理論(Pointtopologytheorem) 序列(Sequence) 級數(Series) 函數(Function) 微分(Derivative) 微分2(Derivative) 向量微分(Derivativeofvector) 有界變分(Boundedvariation) Riemann-Stieltjes可積分函數性質 Riemann-Stieltjes積分存在性 Riemann-Stieltjes積分存在性2 Riemann-Stieltjes積分微積分定理 Lebesgue積分 Sigmafield(algebra) 測度(Measure) 可測函數(Measurablefunction) 隨機變數收斂性(Convergenceofr.v.) 複數(Complexnumber) 向量空間(Vectorspace) 賦範空間(Normedspace) 劣梯度(Subgradient) Weierstrasstheorems PoweredbyGitBook 集合的運算 集合的運算 Cartesianproduct a∈Aa\inAa∈A,b∈Bb\inBb∈B,theCartesianproductisA×B={(a,b)∣ a∈A, b∈B}A\timesB=\lbrace(a,b)\vert\a\inA,\b\inB\rbraceA×B={(a,b)∣ a∈A, b∈B}. R\mathbb{R}Risthesetofallrealnumbers,R×R\mathbb{R}\times\mathbb{R}R×Risthesetofallcomplexnumbersorplane. 聯集與交集運算(Unionandintersectionoperation) 令XXX與YYY為兩個集合，III為一個指標(index)集合(有限或無限多個元素)。

聯集(union):屬於任何一個集合的元素。

X∪Y={z ∣ z∈X or z∈Y}X\cupY=\left\{z\\vert\z\inX\or\z\inY\right\}X∪Y={z ∣ z∈X or z∈Y}. 交集(intersection):同時屬於所有集合的元素。

X∩Y={z ∣ z∈X and z∈Y}X\capY=\left\{z\\vert\z\inX\and\z\inY\right\}X∩Y={z ∣ z∈X and z∈Y}. 多集合的聯集:元素只須存在於某一個集合 ∪i∈ISi={x ∣ ∃j∈I, x∈Sj}\cup_{i\inI}S_i=\left\{x\\vert\\existsj\inI,\x\inS_j\right\}∪​i∈I​​S​i​​={x ∣ ∃j∈I, x∈S​j​​}. 多集合的交集:元素必須存在於所有的集合 ∩i∈ISi={x ∣ ∀j∈I, x∈Sj}\cap_{i\inI}S_i=\left\{x\\vert\\forallj\inI,\x\inS_j\right\}∩​i∈I​​S​i​​={x ∣ ∀j∈I, x∈S​j​​}. 交換律(commutativelaw): X∪Y=Y∪XX\cupY=Y\cupXX∪Y=Y∪X. X∩Y=Y∩XX\capY=Y\capXX∩Y=Y∩X. 結合律(associativelaw): (X∪Y)∪Z=X∪(Y∪Z)(X\cupY)\cupZ=X\cup(Y\cupZ)(X∪Y)∪Z=X∪(Y∪Z). (X∩Y)∩Z=X∩(Y∩Z)(X\capY)\capZ=X\cap(Y\capZ)(X∩Y)∩Z=X∩(Y∩Z). 分配律(distributativelaw) X∩(∪i∈IYi)=∪i∈I(X∩Yi)X\cap(\cup_{i\inI}Y_i)=\cup_{i\inI}(X\capY_i)X∩(∪​i∈I​​Y​i​​)=∪​i∈I​​(X∩Y​i​​). X∪(∩i∈IYi)=∩i∈I(X∪Yi)X\cup(\cap_{i\inI}Y_i)=\cap_{i\inI}(X\cupY_i)X∪(∩​i∈I​​Y​i​​)=∩​i∈I​​(X∪Y​i​​). 吸收律(absorblaw) X∪(X∩Y)=XX\cup(X\capY)=XX∪(X∩Y)=X. X∩(X∪Y)=XX\cap(X\cupY)=XX∩(X∪Y)=X. 差集與補集運算(differenceandcomplementoperation) 令UUU為宇集合(universalset)，即為全部元素的集合。

差集(difference):元素只屬於第一個集合，但不屬於第二個集合，不符合交換律。

x\Y≡X−Y={z ∣ z∈X and z∉Y}x\backslashY\equivX-Y=\lbracez\\vert\z\inX\and\z\notinY\rbracex\Y≡X−Y={z ∣ z∈X and z∉Y}. resultsmatching"" Noresultsmatching""