差集- 維基百科，自由的百科全書

在集合論和數學的其他分支中，存在差集的兩種定義：相對差集（差集）和絕對差集（補集）。

... 下列命題給出一些差集同聯集和交集等集合論運算相關的一些常用性質。

差集 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 在集合論和數學的其他分支中，存在差集的兩種定義：相對差集（差集）和絕對差集（補集）。

目次 1相對差集 2絕對差集 3補集的符號 4參考文獻 5參見 相對差集[編輯] 差集 A ∖ B {\displaystyleA\setminusB} 若 A {\displaystyleA} 和 B {\displaystyleB} 是集合，則 A {\displaystyleA} 在 B {\displaystyleB} 中的相對差集（簡稱差集）是由所有屬於 B {\displaystyleB} 但不屬於 A {\displaystyleA} 的元素組成的集合。

A {\displaystyleA} 在 B {\displaystyleB} 中的差集記為 B ∖ A {\displaystyleB\setminusA} 或 B − A {\displaystyleB-A} 。

形式上： B ∖ A = { x ∈ B ∣ x ∉ A } {\displaystyleB\setminusA=\{x\inB\midx\not\inA\}} 例如： { 1 , 2 , 3 } ∖ { 2 , 3 , 4 } = { 1 } {\displaystyle\{1,2,3\}\setminus\{2,3,4\}=\{1\}} { 2 , 3 , 4 } ∖ { 1 , 2 , 3 } = { 4 } {\displaystyle\{2,3,4\}\setminus\{1,2,3\}=\{4\}} 若 R {\displaystyle\mathbb{R}} 是實數集合， Q {\displaystyle\mathbb{Q}} 是有理數集合，則 R ∖ Q {\displaystyle\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}} 為無理數集合。

下列命題給出一些差集同聯集和交集等集合論運算相關的一些常用性質。

命題1：若 A , B , C {\displaystyleA,B,C} 是集合，則下列等式恆成立： C ∖ ( A ∩ B ) = ( C ∖ A ) ∪ ( C ∖ B ) {\displaystyleC\setminus(A\capB)=(C\setminusA)\cup(C\setminusB)} C ∖ ( A ∪ B ) = ( C ∖ A ) ∩ ( C ∖ B ) {\displaystyleC\setminus(A\cupB)=(C\setminusA)\cap(C\setminusB)} C ∖ ( B ∖ A ) = ( A ∩ C ) ∪ ( C ∖ B ) {\displaystyleC\setminus(B\setminusA)=(A\capC)\cup(C\setminusB)} ( B ∖ A ) ∩ C = ( B ∩ C ) ∖ A = B ∩ ( C ∖ A ) {\displaystyle(B\setminusA)\capC=(B\capC)\setminusA=B\cap(C\setminusA)} ( B ∖ A ) ∪ C = ( B ∪ C ) ∖ ( A ∖ C ) {\displaystyle(B\setminusA)\cupC=(B\cupC)\setminus(A\setminusC)} A ∖ A = ∅ {\displaystyleA\setminusA=\varnothing} ∅ ∖ A = ∅ {\displaystyle\varnothing\setminusA=\varnothing} A ∖ ∅ = A {\displaystyleA\setminus\varnothing=A} 絕對差集[編輯] 補集 A C {\displaystyleA^{C}} 若給定全集 U {\displaystyleU} ，則 A {\displaystyleA} 在 U {\displaystyleU} 中的差集稱為 A {\displaystyleA} 的絕對差集（又稱為補集），記為 A C {\displaystyleA^{C}} ，即： A C = U ∖ A {\displaystyleA^{C}=U\setminusA} （注意：根據ISO與中華人民共和國國家標準， A {\displaystyleA} 中子集 B {\displaystyleB} 的補集記作 ∁ A B {\displaystyle\complement_{A}B} 。

） 例如，若全集為自然數集合，則奇數集合的補集為偶數集合。

下列命題給出一些補集同聯集和交集等集合論運算相關的一些重要性質。

命題2：若 A {\displaystyleA} 和 B {\displaystyleB} 是全集 U {\displaystyleU} 的子集，則下列恆等式成立： 德摩根定律： ( A ∪ B ) C = A C ∩ B C {\displaystyle(A\cupB)^{C}=A^{C}\capB^{C}} ( A ∩ B ) C = A C ∪ B C {\displaystyle(A\capB)^{C}=A^{C}\cupB^{C}} 補集律： A ∪ A C = U {\displaystyleA\cupA^{C}=U} A ∩ A C = ∅ {\displaystyleA\capA^{C}=\varnothing} ∅ C = U {\displaystyle\varnothing^{C}=U} U C = ∅ {\displaystyleU^{C}=\varnothing} 對合： ( A C ) C = A {\displaystyle(A^{C})^{C}=A} 差集和補集的關係： A ∖ B = A ∩ B C {\displaystyleA\setminusB=A\capB^{C}} ( A ∖ B ) C = A C ∪ B {\displaystyle(A\setminusB)^{C}=A^{C}\cupB} 上述表明，若 A {\displaystyleA} 為 U {\displaystyleU} 的非空子集，則 A , A C {\displaystyle{A,A^{C}}} 是 U {\displaystyleU} 的一個分割。

補集的符號[編輯] 補集的符號為「∁」（Unicode：U+2201）。

參考文獻[編輯] 參見[編輯] 數學主題 集合代數 樸素集合論 對稱差 布林運算 交集 聯集 閱論編集合論公理 選擇 可數 相關（英語：Axiomofdependentchoice） 外延 無窮 配對 冪集 正則性 聯集 馬丁公理（英語：Martin'saxiom） 公理模式 替代 分類 運算 笛卡兒積 德摩根定律 交集 冪集 補集 對稱差 聯集 概念方法 勢 基數（大基數） 類 可構造全集（英語：Constructibleuniverse） 連續統假設 對角論證法 元素 有序對 多元組 集族 力迫 一一對應 序數 超限歸納法 文氏圖 集合類型 可數集 空集 有限集合（繼承有限集合） 模糊集 無限集合 遞迴集合 子集 遞移集合 不可數集 泛集（英語：Universalset） 理論 可替代的集合論 集合論 樸素集合論 康托爾定理 策梅洛 廣義（英語：Generalsettheory） 數學原理 新基礎 策梅洛-弗蘭克 馮諾伊曼-博內斯-哥德爾 Morse–Kelley（英語：Morse–Kelleysettheory） 克里普克–普拉特克（英語：Kripke–Plateksettheory） 塔斯基–格羅滕迪克（英語：Tarski–Grothendiecksettheory） 悖論（英語：Paradoxesofsettheory）問題 羅素悖論 薩斯林問題（英語：Suslin'sproblem） ZFC系統無法確定的命題列表 集合論者 亞伯拉罕·弗蘭克爾（英語：AbrahamFraenkel） 伯特蘭·羅素 恩斯特·策梅洛 格奧爾格·康托爾 約翰·馮·諾伊曼 庫爾特·哥德爾 盧菲特·澤德 保爾·貝爾奈斯（英語：PaulBernays） 保羅·寇恩 理察·戴德金 托馬斯·耶赫（英語：ThomasJech） 威拉德·蒯因 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=补集&oldid=68311100」 分類：抽象代數集合論基本概念二元運算 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 已展開 已摺疊 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 已展開 已摺疊 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他語言 አማርኛالعربيةБеларускаяБългарскиCatalàČeštinaCymraegDeutschEnglishEsperantoEspañolEuskaraفارسیSuomiFrançaisעבריתHrvatskiBahasaIndonesiaÍslenskaItaliano日本語한국어МакедонскиNederlandsNorsknynorskNorskbokmålOccitanPolskiPortuguêsRomânăРусскийSlovenčinaSlovenščinaSvenskaதமிழ்ไทยTagalogУкраїнськаTiếngViệt吴语Хальмг文言粵語 編輯連結