滾動| 學呀- 物理| 物理化、斜面滾動、轉動慣量

滾動中的物體前面的幾個章節裡，我們探討了轉動中的物體，並且計算 ... 如果一顆輪胎在地上等速度滾動，則其除了輪胎上各點本身的向心加速度外，並沒有任何的加速度。

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致教育 感謝以下內容貢獻者的編輯 NeilLu 滾動 課程目錄 編輯課程 分享至Google教室 滾動中的物體 前面的幾個章節裡，我們探討了轉動中的物體，並且計算了轉動慣量和轉動動能。

在這個章節裡，我們將要分析一個比較有趣、特殊，卻在生活中常常遇見的情形—滾動。

滾動=轉動+平移 在尚未學習轉動動能之前，假設你想要計算一顆輪胎在地上滾動時所具有的動能，你可能會以其質心速度與$\frac{1}{2}mv^2$的公式計算它的平移動能；在學習了轉動動能後，你可能會想要以其質心的角速度與$\frac{1}{2}I\omega^2$的公式計算它的轉動動能。

那麼究竟哪一個才是對的呢？其實，這兩種算法都只對了一半。

就以上面的例子來看，一顆滾動中的輪胎，可以被想像成一個正在平移的質點，因此其具有平移動能；它也可以被看成一個繞著中心轉動的物體，因此其具有轉動動能。

也就是說，在計算它的滾動動能時，我們要計算的不是$\frac{1}{2}mv^2$，也不是$\frac{1}{2}I\omega^2$，而是兩者相加後的結果。

於是我們知道，在分析一個滾動中的物體時，可以將其運動拆解為純平移和純轉動，如下圖所示： 值得注意的一點是，滾動中的輪胎與地面接觸的那一點，速度是0；輪胎中心速度等於其質心速度，而輪胎頂部的速度等於兩倍的質心速度。

滾動動能 如同上面所說的，我們可以將物體的滾動拆解成純平移和純轉動。

因此在計算物體滾動時所具有的動能時，我們可以將其平移動能與轉動動能相加。

其中，$I$是物體質心的轉動慣量，$\omega$是物體的角速度，$m$是物體的質量，$v$是物體的質心速度： $$E_k=E_v+E_\omega$$$$=\frac{1}{2}I\omega^2+\frac{1}{2}mv^2$$ 接觸點的摩擦力 如果一顆輪胎在地上等速度滾動，則其除了輪胎上各點本身的向心加速度外，並沒有任何的加速度。

在這樣的情況下，輪胎與地面間不存在任何摩擦力。

的確，在等速度的情況下，加速度$a$ 等於0，則根據牛頓第二定律，受力$F=ma$也會等於0。

然而，如果輪胎開始加速或減速，就代表摩擦力不再是0了。

讓我們想像一顆靜止的輪胎，此時，某些原因使其開始向前轉動。

倘若其與地面間沒有摩擦力，則輪胎只會在原地旋轉，而不會向前滾動。

但是因為接觸面兼具有摩擦力，使得輪胎與地面間沒有滑動的狀況出現，才讓輪胎有向前滾動的趨勢，如同圖中所示： 沿著斜面滾動 在探討完水平面上的滾動後，是時候來討論滾下斜面的物體了。

讓我們假設一顆半徑$R$、質量$M$的輪胎滾下一個角度$\theta$的斜坡。

此時，輪胎只受了三個力：重力$Mg$、斜坡的正向力$N$、斜坡的靜摩擦力$f_s$。

如圖所示： 我們將往斜坡上方的方向定為正，因此，輪子滾下斜坡時的加速度$a_{cm}$應該為負。

接著，因為正向力已經把重力垂直於斜面的分力抵銷掉了，因此在分析力時，我們只需要關注平行於斜面的力。

如此，我們便能寫出力與加速度間的關係式： $$Ma_{cm}=f_s-Mg\cdotsin(\theta)$$ 接著，我們將目光放到輪胎與斜面的接觸點上。

摩擦力在這點上對輪胎的中心作用了一個力矩，這個力矩使得輪胎沿著自己中心旋轉。

接著，因為力矩等於垂直的力臂（此處即為半徑）乘以力，我們能寫下： $$Rf_s=I_{cm}\alpha$$ 其中，$\alpha$即為輪胎繞著中心旋轉的角加速度。

現在，我們有列出了兩個方程式，要想辦法將兩者間建立起關係。

此處，我們得要回想一下，輪胎滾動時的切線加速度等於半徑乘上角加速度（$a=r\alpha$），將其代入得： $$Rf_s=I_{cm}\frac{-a}{R}$$ 注意，我們將逆時針旋轉時的角加速度定為正，然而輪胎的加速度為負，因此上述式子中，$a=-R\alpha$。

再經過一次移項，便能求出摩擦力$f_s$： $$f_s=I_{cm}\frac{-a}{R^2}$$ 接著，我們將$f_s$代入第一個方程式： $$Ma_{cm}=I_{cm}\frac{-a_{cm}}{R^2}-Mg\cdotsin(\theta)$$ 移項後提出$a_{cm}$： $$a_{cm}(M+\frac{I_{cm}}{R^2})=-Mg\cdotsin(\theta)$$ 再經過一次移項，便能得到輪胎滾下斜坡的加速度： $$a_{cm}=\frac{-Mg\cdotsin(\theta)}{M+I_{cm}/R^2}$$$$=\frac{-g\cdotsin(\theta)}{1+I_{cm}/(MR^2)}$$ 上一章節 下一章節 使用者分享的影片來自YouTube。

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