极限（正式定义） - 数学乐

趋近…… · 比较正式 · 从语文到数学 · 计算"近" · Delta 和Epsilon · 怎样在证明中应用这个定义 · 例子：证明 · 结论. 极限（正式定义） 请先阅读极限入门 趋近…… 有时我们不能直接计算某个值……可是我们可以去看看逐渐接近它时的情形！ 例子： (x2−1) (x−1) 求x=1的值： (12−1) (1−1) = (1−1) (1−1) = 0 0 0/0不好做！没有人知道0/0是多少（它是"不确定的"），所以我们要另辟蹊径。

我们不直接求当x=1的值，我们趋近它来看看： 例子（续）： x   (x2−1) (x−1) 0.5   1.50000 0.9   1.90000 0.99   1.99000 0.999   1.99900 0.9999   1.99990 0.99999   1.99999 ……   …… 现在我们看到当x越来越接近1的时候， (x2−1) (x−1) 越来越接近2 这很有趣： 当x=1，我们不知道答案（它是不确定的） 但我们也知道答案越来越接近2 我们想说："2"，但我们不能这样说，所以数学家用一个特别的名词来形容这种情况："极限" 当x趋近1时， (x2−1) (x−1) 的极限是2 用符号来写就是： 我们可以这样理解："不管在那里是多少，当x越来越接近1时答案便越来越接近2" 在图上是这样的： 因此，实际上我们不能说当x=1时的值是多少。

但我们可以说："趋近1时，极限是2。

"   比较正式 我们不需要说："极限好像趋近一个值"，而用一个比较正式的定义。

先看一般的概念。

从语文到数学 先用语文来说： "当x趋近某个值，f(x)趋近某个极限" 当x趋近值"a"时，极限为"L"，我们可以说： "当x趋近a"，f(x)趋近L 计算"近" 怎样用数学来形容"近"呢？……看看两个值的差？ 例1：4.01−4=0.01 例2：3.8−4=−0.2 嗯……负的接近？不对……我们需要说的是："不管正负，我只要知道多远"，这就是绝对值。

"多近"=|a−b| 例1：|4.01−4|=0.01 例2：|3.8−4|=0.2 |a−b|越小，我们越近，所以我们这样写： "当|x−a|小的时候，|f(x)−L|也是小的" 这是用动画显示： f(x)= (x2−1) (x−1) 当x趋近a=1时，f(x)趋近L=2， 所以当|x−1|是小的时候，|f(x)−2|也是小的。

Delta和Epsilon 但"小"还是语文而不是"数学语言"。

我们选两个值来代表要"小于的值"：   |x−a|要小于的值   |f(x)−L|要小于的值 （注意：这两个希腊字母δ（英语叫"delta"）和ε（英语叫"epsilon",）经常用来代表这两个意思的） 我们现在可以这样写： "当|x−a|0成立   存在，并>0   x不等于a的意思是00，有>0，从而使得当0