常用對數- 维基百科，自由的百科全书

在數學中，標準對數，也称常用對數（英語：Common logarithm）是以10為底數的對數函數，其逆函數是以10作為基數的指數函數。

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Agraphofthecommonlogarithmofnumbersfrom0.1to100. 在數學中，標準對數，也稱常用對數（英語：Commonlogarithm[註1]）是以10為底數的對數函數，其逆函數是以10作為基數的指數函數。

底為10的對數表達式以log10(x)表示，或者有時以英文的大寫字母L表示Log(x)[註2]。

在計算機上的標記通常是「log」，但數學家通常區分對待自然對數[註3]和常用對數。

為了區分這種模糊性，ISO80000規範建議log10(x)應該寫成lg (x)，loge(x)應該是ln (x)。

目次 1數學表達 2用途 3歷史 4數值 5注釋 6參見 數學表達[編輯] 常用對數的一般表示方法為 log ⁡ x {\displaystyle\logx} ，或簡寫成 lg ⁡ x {\displaystyle\lgx} ，正式寫法是 log 10 ⁡ x {\displaystyle\log_{10}x} ；而常用對數逆函數為 10 x {\displaystyle10^{x}} 。

用途[編輯] Pagefromatableofcommonlogarithms.Thispageshowsthelogarithmsfornumbersfrom1000to1500tofivedecimalplaces.Thecompletetablecoversvaluesupto9999. 常用對數多數應用於表達聲音強度（分貝）、酸鹼值、芮氏規模、星等等數值相差的層次很大的比較，因為它可以「令十變成一，令一億變成八」（數算整數位以上的零的數目）。

最常見的例子之一是化學中使用的氫離子指數。

這被定義如下。

p H = − log 10 ⁡ [ H + ] m o l / L . {\displaystyle\mathrm{pH}=-\log_{10}{\frac{[\mathrm{H}^{+}]}{\mathrm{mol/L}}}.} 在20世紀70年代初之前，還沒有手持的電子計算器可用，能進行倍增的機械計算器體積龐大，價格昂貴並不廣泛使用。

相反，當計算所需的精度比使用計算尺能達到的要求更高時，科學，工程和導航中使用的是底數為10的對數表格。

對數的使用避免了繁瑣且容易出錯的筆算乘法和分割。

由於對數非常有用，在許多教科書的附錄中都有底為10的對數表格。

數學和導航手冊也包括三角函數的對數表。

底為10的對數一個重要特性使得它們在計算中非常有用，因為大於1的對數相差10倍的冪，都具有相同的小數部分。

小數部分被稱為尾數。

因此表格只需顯示小數部分。

常用對數表通常列出範圍內每個數字的尾數，小數點後4位或5位，例如1000到9999。

這樣的範圍將涵蓋尾數的所有可能值。

稱為特徵的整數部分可以通過簡單地計算小數點必須移動多少個位置來計算，以便它僅在第一個有效位的右側。

例如，120的對數由以下計算給出： log 10 ⁡ 120 = log 10 ⁡ ( 10 2 × 1.2 ) = 2 + log 10 ⁡ 1.2 ≈ 2 + 0.07918. {\displaystyle\log_{10}120=\log_{10}(10^{2}\times1.2)=2+\log_{10}1.2\approx2+0.07918.} 最後一個數字（0.07918）-小數部分或120的常用對數的尾數-可以在下表中找到。

120中小數點的位置告訴我們120的常用對數的整數部分，特徵是2。

大於0且小於1的數字具有負對數。

例如， log 10 ⁡ 0.012 = log 10 ⁡ ( 10 − 2 × 1.2 ) = − 2 + log 10 ⁡ 1.2 ≈ − 2 + 0.07918 = − 1.92082. {\displaystyle\log_{10}0.012=\log_{10}(10^{-2}\times1.2)=-2+\log_{10}1.2\approx-2+0.07918=-1.92082.} 為了避免需要單獨的表格將正負對數轉換回原始數字，使用了一個小節符號： log 10 ⁡ 0.012 ≈ − 2 + 0.07918 = 2 ¯ .07918 . {\displaystyle\log_{10}0.012\approx-2+0.07918={\bar{2}}.07918.} 超過特徵的橫線表明其為負值，而尾數仍為正值。

朗讀時，這個符號 n ¯ {\displaystyle{\bar{n}}} 讀作「barn」，所以 2 ¯ .07918 {\displaystyle{\bar{2}}.07918} 被讀作「bar2point07918...」。

以下示例使用小節符號來計算0.012×0.85=0.0102： Asfoundabove, log 10 ⁡ 0.012 ≈ 2 ¯ .07918 Since log 10 ⁡ 0.85 = log 10 ⁡ ( 10 − 1 × 8.5 ) = − 1 + log 10 ⁡ 8.5 ≈ − 1 + 0.92942 = 1 ¯ .92942 , log 10 ⁡ ( 0.012 × 0.85 ) = log 10 ⁡ 0.012 + log 10 ⁡ 0.85 ≈ 2 ¯ .07918 + 1 ¯ .92942 = ( − 2 + 0.07918 ) + ( − 1 + 0.92942 ) = − ( 2 + 1 ) + ( 0.07918 + 0.92942 ) = − 3 + 1.00860 = − 2 + 0.00860 ∗ ≈ log 10 ⁡ ( 10 − 2 ) + log 10 ⁡ ( 1.02 ) = log 10 ⁡ ( 0.01 × 1.02 ) = log 10 ⁡ ( 0.0102 ) . {\displaystyle{\begin{array}{rll}{\text{Asfoundabove,}}&\log_{10}0.012\approx{\bar{2}}.07918\\{\text{Since}}\;\;\log_{10}0.85&=\log_{10}(10^{-1}\times8.5)=-1+\log_{10}8.5&\approx-1+0.92942={\bar{1}}.92942\;,\\\log_{10}(0.012\times0.85)&=\log_{10}0.012+\log_{10}0.85&\approx{\bar{2}}.07918+{\bar{1}}.92942\\&=(-2+0.07918)+(-1+0.92942)&=-(2+1)+(0.07918+0.92942)\\&=-3+1.00860&=-2+0.00860\;^{*}\\&\approx\log_{10}(10^{-2})+\log_{10}(1.02)&=\log_{10}(0.01\times1.02)\\&=\log_{10}(0.0102).\end{array}}} 下表顯示了如何將相同的尾數，用於不同於10次方的數字範圍： Commonlogarithm,characteristic,andmantissaofpowersof10timesanumber number logarithm characteristic mantissa combinedform n(=5×10i) log10(n) i(=floor(log10(n))) log10(n)−characteristic 5000000 6.698970... 6 0.698970... 6.698970... 50 1.698970... 1 0.698970... 1.698970... 5 0.698970... 0 0.698970... 0.698970... 0.5 −0.301029... −1 0.698970... 1.698970... 0.000005 −5.301029... −6 0.698970... 6.698970... 請注意，尾數對於所有5×10i都是通用的。

這適用於任何正實數 x {\displaystylex} 因為 log 10 ⁡ ( x × 10 i ) = log 10 ⁡ ( x ) + log 10 ⁡ ( 10 i ) = log 10 ⁡ ( x ) + i {\displaystyle\log_{10}(x\times10^{i})=\log_{10}(x)+\log_{10}(10^{i})=\log_{10}(x)+i} . 這允許一個對數表包含每個尾數只有一個條目。

在5×10i的例子中，一旦以5（或0.5或500等）索引，將列出0.698970（004336018...）。

歷史[編輯] 因為以10為底的對數對計算最常用，所以工程師通常簡單地寫成「lg(x)」另一方面，數學家在表示自然對數的loge(x)時，會寫成「ln(x)」。

今天，這兩種符號都被廣泛使用。

由於手持式電子計算器是由工程師而非數學家設計的，因此它們遵循工程師的符號已成為慣例。

所以記法「ln(x)」依靠電子計算器的發明而進一步普及。

數值[編輯] 注釋[編輯] ^或稱為布里格斯對數，以紀念率先使用的英國數學家HenryBriggs命名 ^然而這個符號是不明確的，因為它也可能意味著複數自然對數多值函數 ^底數e≈2.71828的對數 參見[編輯] 自然對數 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=常用對數&oldid=69000406」 分類：對數隱藏分類：自2018年6月擴充中的條目自2020年7月缺少來源的條目含有多個問題的條目含有英語的條目 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 已展開 已摺疊 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 已展開 已摺疊 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他語言 العربيةAzərbaycancaCatalàکوردیЧӑвашлаDeutschEnglishEspañolEestiEuskaraفارسیSuomiFrançaisNordfriiskहिन्दीՀայերենBahasaIndonesia日本語Қазақша한국어BahasaMelayuNederlandsPolskiPortuguêsRomânăРусскийதமிழ்TürkçeУкраїнськаOʻzbekcha/ўзбекчаTiếngViệtBân-lâm-gú 編輯連結