一元二次方程：隻含有一個未知數（即“元”） - 華人百科

隻含有一個未知數（即“元”），並且未知數的最高次數為2（即“次”）的整式方程叫做一元二次方程（英文名：quadratic equation of one unknown）。

一元二次方程的標準 ... 一元二次方程隻含有一個未知數（即“元”），並且未知數的最高次數為2（即“次”）的整式方程叫做一元二次方程（英文名：quadraticequationofoneunknown）。

一元二次方程的標準形式（即所有一元二次方程經整理都能得到的形式）是ax²+bx+c=0（a，b，c為常數，x為未知數，且a≠0）。

求根公式：x=[-b±√(b²-4ac)]/2a。

中文名稱一元二次方程外文名稱quadraticequationofoneunknown類型整式方程標準形式ax²+bx+c=0（a≠0）求根公式x=-b±√(b^2-4ac)/2a概述隻有一個未知數且未知數最高次數為2的整式方程叫做一元二次方程，其一般形式為ax²+bx+c=0（a≠0）。

一元二次方程的求根公式方程定義若是，再對它進行整理。

如果能整理為ax²+bx+c=0(a≠0)的形式，則這個方程就為一元二次方程。

裏面要有等號，且分母裏不含未知數。

求解任何一元二次方程，都可以直接用求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/2a。

其中b²-4ac>=0，是根的判別式。

也可以用其他特殊方法求根。

 方程形式一般式y=ax²+bx+c（a、b、c是實數，a≠0）配方式a(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a　兩根式a(x-x1)(x-x2)=0解題方法公式法x=(-b±√(b^2-4ac))/2a求根公式十字相乘法x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）解法分解因式法因式分解法又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”兩種），另外還有“十字相乘法”，因式分解法是通過將方程左邊因式分解所得，因式分解的內容在八年級上學期學完。

用因式分解法解一元二次方程的步驟（1）將方程右邊化為0；（2）將方程左邊分解為兩個一次式的積；（3）令這兩個一次式分別為0，得到兩個一元一次方程；（4）解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.如1.解方程：x²+2x+1=0解：利用完全平方公式因式解得：（x+1)²=0解得：x=-12.解方程x（x+1）-2（x+1）=0解：利用提公因式法解得：（x-2）（x+1）=0即x-2=0或x+1=0∴x1=2，x2=-13.解方程x²-4=0解：（x+2）（x-2）=0x+2=0或x-2=0∴x1=-2，x2=2十字相乘法公式x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)例：1.ab+2b+a-b-2=ab+a+b²-b-2=a(b+1)+(b-2)(b+1)=(b+1)(a+b-2)公式法（可解全部一元二次方程）求根公式首先要通過Δ=b²-4ac的根的判別式來判斷一元二次方程有幾個根1.當Δ=b²-4ac<0時x無實數根（國中）2.當Δ=b²-4ac=0時x有兩個相同的實數根即x1=x23.當Δ=b²-4ac>0時x有兩個不相同的實數根當判斷完成後，若方程有根可根屬于2、3兩種情況方程有根則可根據公式：x={-b±√（b²－4ac）}/2a來求得方程的根配方法（可解全部一元二次方程）如：解方程：x²+2x－3=0解：把常數項移項得：x²+2x=3等式兩邊同時加1（構成完全平方式）得：x²+2x+1=4因式分解得：（x+1)²=4解得：x1=-3,x2=1用配方法的小口訣：二次系數化為一分開常數未知數一次系數一半方兩邊加上最相當開方法（可解部分一元二次方程）如：x²-24=1解：x²=25x=±5∴x1=5x2=-5均值代換法（可解部分一元二次方程）ax²+bx+c=0同時除以a，得到x²+bx/a+c/a=0設x1=-b/(2a)+m，x2=-b/(2a)-m(m≥0)根據x1·x2=c/a求得m。

再求得x1,x2。

如：x²-70x+825=0均值為35，設x1=35+m，x2=35-m(m≥0)x1·x2=825所以m=20所以x1=55，x2=15。

一元二次方程根與系數的關系（以下兩個公式很重要，經常在考試中運用到）（韋達定理）一般式：ax²+bx+c=0的兩個根x1和x2關系：x1+x2=-b/ax1·x2=c/a簡單解法1．看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中，先考慮提公因式法，再考慮平方公式法，最後考慮十字相乘   法）2．看是否可以直接開方解3．使用公式法求解4．最後再考慮配方法（配方法雖然可以解全部一元二次方程，但是有時候解題太麻煩）。

如果要參加競賽，可按如下順序：A.因式分解B.韋達定理C.判別式D.公式法E.配方法F.開平方G.求根公式H.表示法課外拓展一元二次方程一元二次方程（quadraticequationofonevariable）是指含有一個未知數且未知數的最高次項是二次的整式方程。

一般形式為ax^2+bx+c=0,(a≠0)。

在公元前兩千年左右，一元二次方程及其解法已出現于古巴比倫人的泥板文書中：已知一個數與它的倒數之和等于一個已給數，求出這個數，使x1+x2=b,x1·x2=1,x2-bx+1=0...他們再做出解答。

可見巴比倫人已知道一元二次方程的求根公式。

但他們當時並不接受負數，所以負根是略而不提的。

埃及的紙草文書中也涉及到最簡單的二次方程，例如：ax^2=b。

在公元前4、5世紀時，我國已掌握了一元二次方程的求根公式。

希臘的丟番圖（246-330）卻隻取二次方程的一個正根，即使遇到兩個都是正根的情況，他亦隻取其中之一。

公元628年，從印度的婆羅摩笈多寫成的《婆羅摩修正體系》中，得到二次方程x2+px+q=0的一個求根公式。

在阿拉伯阿爾．花拉子米的《代數學》中討論到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六種不同的形式，令a、b、c為正數，如ax^2=bx、ax^2=c、ax^2+c=bx、ax^2+bx=c、ax^2=bx+c等。

把二次方程分成不同形式作討論，是依照丟番圖的做法。

阿爾．花拉子米除了給出二次方程的幾種特殊解法外，還第一次給出二次方程的一般解法，承認方程有兩個根，並有無理根存在，但卻未有虛根的認識。

十六世紀義大利的數學家們為了解三次方程而開始套用負數根。

韋達（1540-1603）除已知一元方程在復數範圍內恆有解外，還給出根與系數的關系。

我國《九章算術．勾股》章中的第二十題是通過求相當于2x+34x-71000=0的正根而解決的。

我國數學家還在方程的研究中套用了內插法。

發展求解一元三次方程的問題求解一元二次方程是最基礎和最簡單的數學問題，而求解一元三次方程就是比較復雜的數學問題了。

義大利數學家帕西奧利（LucaPacioli，1445年～1514年或1517年）于1494年在威尼斯發表了文藝復興時期最偉大的數學著作《Summadearithmetica，geometrica，proportionietproportionalita》，他在書中記錄了對一元三次方程解法的艱辛探索，並下結論認為在當時的數學，求解一元三次方程是根本不可能的。

帕西奧利曾于1501年至1502年間來到博洛尼亞大學任教，期間與同在博洛尼亞大學的費羅討論過許多數學問題，人們並不知曉他們是否也曾討論過一元三次方程問題，但是在帕西奧利離開博洛尼亞後不久，費羅就至少解決了一元三次方程在一種情況下（x3+mx=n）的解，這在求解一元三次方程的道路上是一個突破性的成功。

然而費羅並沒有馬上發表自己的成果，而是對解法保密，這很大程度上是因為他拒絕公開交流他的思想，他更願意與他的朋友和學生交流，而不是將它們寫下來出版，因此費羅的手稿並沒有流傳至今。

盡管如此，他曾有過一本筆記簿，記錄了他所有的重要發現，其中包括一元三次方程的解法。

在他1526年去世後，這本筆記簿由他的女婿HannivalNave繼承了，Nave也是一個數學家，他替代費羅繼續在博洛尼亞大學授課。

同時被傳授這一解法的還有費羅的學生菲奧爾。

一元三次方程解法的進展在費羅去世後充滿了戲劇性，先是菲奧爾在得到秘傳後吹噓自己能夠解所有的一元三次方程，其實他隻會費羅傳授他的x3+mx=n，而另一位義大利塔塔利亞（尼科洛·馮塔納的綽號，義大利語“口吃者”的意思，1499年～1557年12月13日）在1534年宣稱自己發現了形如x3+mx2=n的方程的解，兩人相約在米蘭進行公開比賽。

1535年就在比賽前夕，塔塔利亞苦思冥想出來其他多種形式的一元三次方程解，從而輕而易舉地贏得了比賽，並在1541年終于完全解決了一元三次方程的求解問題。

與費羅相同的是，塔塔利亞同樣選擇保守解法的秘密。

同樣研究一元三次方程的義大利醫生、哲學家和數學家卡爾丹在允諾不公開的條件下，1539年從塔塔利亞那裏得到了他的解法，在其基礎上也發現了所有一元三次方程的解法。

而在1543年，卡爾丹和他的學生費拉裏（LudovicoFerrari，1522年2月2日～1565年10月5日）曾前往博洛尼亞，從費羅的女婿Nave處得知，其實費羅早于塔塔利亞已經發現了一元三次方程的解法，他便摒棄了給塔塔利亞的承諾，將他拓展的解法在1545年的著作《大術》（又譯《數學大典》，ArsMagns）中發表，他在書中稱，是費羅第一個發現了一元三次方程的解法，而他所給出的解法其實就是費羅的解法。

由于卡爾丹的失信，激怒了塔塔利亞，兩人互相在書信中指責對方，並進行公開論戰，最終卡爾丹派人秘密刺殺了塔塔利亞。

塔塔利亞消逝了，由于卡爾丹最早發表了求解一元三次方程的方法，因而該解法至今仍被稱為“卡爾丹公式”。

卡爾丹是第一個把負數寫在二次根號內的數學家，並由此引進了虛數的概念，後來經過許多數學家的努力，發展成了復數的理論。

從這個意義上，卡爾丹公式對數學的發展作出了巨大貢獻，史稱卡爾丹公式是偉大的公式。

解一元三次方程問題是世界數學史上較著名且較為復雜而又有趣味的問題，虛數概念的引進、復數理論的建立，就是起源于解三次方程問題。

一元三次方程套用廣泛，如電力工程、水利工程、建築工程、機械工程、動力工程、數學教學及其他領域等。

用根號解一元三次方程，雖然有著名的卡爾丹公式，並有相應的判別法，但是使用卡爾丹公式解題比較復雜，缺乏直觀性。

80年代，中國的一名中學數學教師範盛金對解一元三次方程問題進行了深入的研究和探索，發明了比卡爾丹公式更實用的新求根公式——盛金公式，並建立了簡明的、直觀的、實用的新判別法——盛金判別法，同時提出了盛金定理，盛金定理清晰地回答了解三次方程的疑惑問題，且很有趣味。

盛金公式與判別法及定理形成了一套完整的、簡明的、實用的、具有數學美的解三次方程的理論體系，範盛金創造出的這套萬能的系統方法，對研究解高次方程問題及提高解三次方程的效率作出了貢獻。

   求解一元四次方程問題卡爾丹在1545年的著作《大術》（又譯《數學大典》，ArsMagns）中同時發表的還有費拉裏的一元四次方程一般解法。

費拉裏是卡爾達諾的學生。

解一元四次方程的公式稱為費拉裏公式。

當時數學家們非常樂觀，以為馬上就可以寫出五次方程、六次方程，甚至更高次方程的求根公式了。

然而，時光流逝了幾百年，誰也找不出這樣的求根公式。

大約三百年之後，在1825年，挪威學者阿貝爾（Abel）終于證明了：一般的一個代數方程，如果方程的次數n≥5，那麽此方程不可能用根式求解。

即不存在根式表達的一般五次方程求根公式。

這就是著名的阿貝爾定理。

由于受阿貝爾定理的影響，世界上絕大多數的數學家早已放棄了對一元五次方程求根公式的探索。

但如今，由于社會的發展，仍然有一群愛好數學的知識分子，在不斷的尋求突破！參考資料1．一元二次方程講解．道客巴巴[引用日期2013-05-1]2．一元二次方程，國中數學【2013-0120】相關詞條二元一次方程一元一次方程二元二次方程直接開平方法配方法因式分解法公式法二次函式韋達定理十字相乘法分解因式二元一次方程組一元二次不等式二次方程整式方程反比例函式一次函式一元一次不等式完全平方公式三元一次方程一元三次方程求根公式實數一元二次方程·國中數學分式實數根不等式勾股定理復數三角函式一元四次方程求根公式根式解方程盛金公式整式正比例函式開平方頂點坐標相關搜尋一元二次方程的根的分布其它詞條NBA全明星賽O²勁樂團PROCESSEXPLORERSCI期刊seeUS-984XN三生道訣京華煙雲哈弗H2守護者：世紀戰元心臟導管術有機米溜馬愛澤有紗牛蒡王以文生朱古力羅美薇騰訊視頻項羽虞姬一元二次方程@華人百科一元二次方程