階乘- 维基百科，自由的百科全书

在數學中，正整数的階乘（英語：factorial）是所有小於及等於該數的正整數的積，計為n!，例如5的階乘計為 5!，其值為120：. 5 ! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 . 階乘 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 階乘，定義於整個實數（負整數除外）。

例如： 1 ! = 0 ! = 1 {\displaystyle1!=0!=1\,} ， ( − 0.5 ) ! = π {\displaystyle(-0.5)!={\sqrt{\pi}}} ， 0.5 ! = 0.5 π . {\displaystyle0.5!=0.5{\sqrt{\pi}}.} 在數學中，正整數的階乘（英語：factorial）是所有小於及等於該數的正整數的積，計為n!，例如5的階乘計為5!，其值為120： 5 ! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 . {\displaystyle5!=5\times4\times3\times2\times1=120\,.} 並定義，1的階乘1!為1、0的階乘0!亦為1，其中，0的階乘表示一個空積[2]。

1808年，基斯頓·卡曼引進這個表示法： n ! = ∏ k = 1 n k ∀ n ≥ 1 {\displaystylen!=\prod_{k=1}^{n}k\quad\foralln\geq1} ，符號 Π {\displaystyle\Pi} 表示連續乘積，亦即n!=1×2×3×...×n。

階乘亦可以遞迴方式定義：0!=1，n!=(n-1)!×n。

除了自然數之外，階乘亦可定義於整個實數（負整數除外），其與伽瑪函數的關係為： z ! = Γ ( z + 1 ) = ∫ 0 ∞ t z e − t d t {\displaystylez!=\Gamma(z+1)=\int_{0}^{\infty}t^{z}e^{-t}\,dt} 階乘應用在許多數學領域中，最常應用在組合學、代數學和數學分析中。

在組合學中，階乘代表的意義為n個相異物件任意排列的數量，例如前述例子，5!=120其代表了5個相異物件共有120種排列法。

在正整數的情形下，n的階乘又可以稱為n的排列數。

目次 1歷史 2定義 2.10的階乘 3性質 4計算 5部分函數值 6非正整數的階乘 6.1Γ函數和Π函數 6.2複數的階乘 6.3負整數的階乘 6.4其他數學結構的階乘 7變化 7.1定義擴展 7.2遞進/遞降階乘 7.3雙階乘 7.4廣義的雙階乘 7.5多重階乘 7.6廣義的多重階乘 7.7四次階乘 7.8hyper階乘 7.9超階乘 7.9.1另一種定義 7.10質數階乘 7.11自然數階冪 7.12倒數階乘 8符號史 9參見 10註釋 11參考文獻 歷史[編輯] 早在12世紀，印度學者就已有使用階乘的概念來計算排列數的紀錄[3]。

1677年時，法比安·斯特德曼使用Changeringing（英語：Changeringing）來解釋階乘的概念[5]。

在描述遞迴方法之後，斯特德將階乘描述為：「現在這些方法的本質是這樣的：一個數字的變化數包含了所有比他小的數字（包括本身）的所有變化數……因為一個數字的完全變化數是將較小數字的變化數視為一個整體，並透過將所有數字的完整變化聯合起來。

」，其原文如下： Nowthenatureofthesemethodsissuch,thatthechangesononenumbercomprehends[includes]thechangesonalllessernumbers...insomuchthatacompleatPealofchangesononenumberseemethtobeformedbyunitingofthecompleatPealsonalllessernumbersintooneentirebody.[6] 而符號n!是由法國數學家克里斯蒂安·克蘭普在1808年使用[8]。

定義[編輯] 階乘可透過連乘積來定義： n ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋯ ( n − 2 ) ⋅ ( n − 1 ) ⋅ n , {\displaystylen!=1\cdot2\cdot3\cdots(n-2)\cdot(n-1)\cdotn,} 用連乘積符號可表示為： n ! = ∏ i = 1 n i . ∀ n ≥ 1 {\displaystylen!=\prod_{i=1}^{n}i.\quad\foralln\geq1} 從上述公式中，可以推導出遞迴關係： n ! = n ⋅ ( n − 1 ) ! {\displaystylen!=n\cdot(n-1)!} 但遞迴定義須給出basecase，因此需要定義零的階乘。

除此之外，遞迴關係在階乘函數中各個值皆成立，例如： 5 ! = 5 ⋅ 4 ! 6 ! = 6 ⋅ 5 ! 50 ! = 50 ⋅ 49 ! {\displaystyle{\begin{aligned}5!&=5\cdot4!\\6!&=6\cdot5!\\50!&=50\cdot49!\end{aligned}}} 0的階乘[編輯] 為了將遞迴關係擴展到n=0，因此需要定義0的階乘： 0 ! = 1 {\displaystyle0!=1} 可以得到 1 ! = 1 ⋅ 0 ! = 1 {\displaystyle1!=1\cdot0!=1} 有幾個獨立的理由認為這個定義是和諧的。

其中包括： 在n=0的情況，n!定義為「沒有任何數字相乘的結果」，所以更廣泛之慣例的例子是以不存在任何因數的乘法單位元素來當作其解。

（參閱空積） 對於零個物品只有一種排列方式，因為沒有任何東西可以置換，唯一的重新排列就是什麼都不做。

它使組合數學中的許多恆等式對所有適用的值皆有效，例如從空集合中選擇0個元素的方法數，可由二項式係數給出： ( 0 0 ) = 1 {\displaystyle{\binom{0}{0}}=1} . 而從空集合中選擇0個元素的方法數為一種，即沒有任何東西可以取，唯一的取法就是什麼都不做。

定義 0 ! = 1 {\displaystyle0!=1} 可以滿足： ( 0 0 ) = 0 ! 0 ! 0 ! = 1 {\displaystyle{\binom{0}{0}}={\frac{0!}{0!0!}}=1} . 更一般地，在n個相異元素的集合中取出n個相異元素的方法數，可由二項式係數給出： ( n n ) = 1 {\displaystyle{\binom{n}{n}}=1} . 其方法數只有一種，即全部取出。

定義 0 ! = 1 {\displaystyle0!=1} 可以滿足： ( n n ) = n ! n ! 0 ! = 1 {\displaystyle{\binom{n}{n}}={\frac{n!}{n!0!}}=1} 此定義允許將許多公式更嚴謹地表達為冪級數，例如指數函數： e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! . {\displaystylee^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{n}}{n!}}.} 性質[編輯] n!可質因子分解為 ∏ p ≤ n p ∑ r = 1 n [ n p r ] {\displaystyle\prod_{p\leqn}p^{\sum_{r=1}^{n}[{\frac{n}{p^{r}}}]}} ，如6!=24×32×51。

[9] 計算[編輯] 階乘與斯特靈公式 n ! {\displaystylen!} （藍色）、 2 π n ( n e ) n {\displaystyle{\sqrt{2\pin}}\left({\frac{n}{e}}\right)^{n}} （橘色），數字越大 2 π n ( n e ) n , {\displaystyle{\sqrt{2\pin}}\left({\frac{n}{e}}\right)^{n},} 會越趨近 n ! {\displaystylen!} 。

但 2 π n ( n e ) n {\displaystyle{\sqrt{2\pin}}\left({\frac{n}{e}}\right)^{n}} 在負值則會因為出現虛數而無法使用。

計算n!時，若n不太大，普通的科學計算機都可以計算，能夠處理不超過 10 100 {\displaystyle10^{100}} （古高爾）數值的計算機可以計算至69!，而雙精度浮點數的計算機則可計算至170!。

當n很大時，可用斯特林公式估計： n ! ≈ 2 π n ( n e ) n {\displaystylen!\approx{\sqrt{2\pin}}\;\left({\frac{n}{e}}\right)^{n}} 更精確的估計是： n ! = 2 π n ( n e ) n e λ n {\displaystylen!={\sqrt{2\pin}}\;\left({\frac{n}{e}}\right)^{n}e^{\lambda_{n}}} 其中 1 12 n + 1 < λ n < 1 12 n {\displaystyle{\frac{1}{12n+1}}10^(10^50).  ^IwanamiSūgakuJitenFourth,Tokyo:IwanamiShoten,2007,ISBN 978-4-00-080309-0,MR 2383190（日語） 142.D ^Finch,S.R."Fransén-RobinsonConstant."§4.6inMathematicalConstants.Cambridge,England:CambridgeUniversityPress,pp.262-264,2003. 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=階乘&oldid=68951957」 分類：階乘與二項式主題組合數學整數數列伽瑪及相關函數乘法隱藏分類：使用擴充複變函數庫的頁面含有缺少網址的網站引用的頁面引文格式1錯誤：日期自2018年10月帶有失效連結的條目CS1英語來源(en)CS1日語來源(ja)含有英語的條目有圖表的頁面 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 已展開 已摺疊 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 已展開 已摺疊 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他專案 維基共享資源 其他語言 AfrikaansአማርኛالعربيةAsturianuAzərbaycancaБашҡортсаБеларускаяБългарскиবাংলাBosanskiCatalàکوردیČeštinaЧӑвашлаDanskDeutschΕλληνικάEnglishEsperantoEspañolEestiEuskaraفارسیSuomiFrançaisGalegoעבריתहिन्दीHrvatskiMagyarՀայերենInterlinguaBahasaIndonesiaIdoÍslenskaItaliano日本語ქართულიҚазақшаಕನ್ನಡ한국어LatinaLombardLietuviųLatviešuМакедонскиമലയാളംमराठीBahasaMelayuNederlandsNorsknynorskNorskbokmålOccitanਪੰਜਾਬੀPolskiPiemontèisPortuguêsRomânăРусскийSicilianuSrpskohrvatski/српскохрватскиසිංහලSimpleEnglishSlovenčinaSlovenščinaShqipСрпски/srpskiSvenskaதமிழ்ไทยTürkçeУкраїнськаاردوOʻzbekcha/ўзбекчаTiếngViệt吴语文言粵語 編輯連結