因式分解- 维基百科，自由的百科全书

因式分解（英語：Factorization），在數學中一般理解為把一個多項式分解為兩個或多個的因式的過程。

在這個過後會得出一堆較原式簡單的多項式的積。

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一多項式x2 + cx + d可因式分解成(x + a)(x + b)。

其中：ab = d，a + b =&%&⋯nbsp;c。

因式分解（英語：Factorization[註1]），在數學中一般理解為把一個多項式分解為兩個或多個的因式[註2]的過程。

在這個過後會得出一堆較原式簡單的多項式的積。

例如多項式 x 2 − 4 {\displaystylex^{2}-4} 可被因式分解為 ( x + 2 ) ( x − 2 ) {\displaystyle\left(x+2\right)\left(x-2\right)} 。

目次 1因式分解定理 2分解方法 2.1公因式分解(抽) 2.2公式重組(拼) 2.3添項法(增) 2.4分項法(拆) 2.5十字交乘法 2.6兩個n次方數之和與差 3一次因式檢驗法 4參見 5注釋 6延伸閱讀 因式分解定理[編輯] 數體F上每個次數 ≥ 1 {\displaystyle\geq1} 的多項式 f ( x ) {\displaystylef(x)} 都可以分解成數體F上一些不可約多項式的乘積，並是唯一的，即如果有兩個分解式 f ( x ) = p 1 ( x ) p 2 ( x ) p 3 ( x ) ⋯ p s ( x ) = q 1 ( x ) q 2 ( x ) ⋯ q t ( x ) {\displaystylef(x)=p_{1}(x)p_{2}(x)p_{3}(x)\cdotsp_{s}(x)=q_{1}(x)q_{2}(x)\cdotsq_{t}(x)} 其中 p i ( x ) ( i = 1 , 2 , ⋯ , s ) {\displaystylep_{i}(x)(i=1,2,\cdots,s)} 和 q j ( x ) ( j = 1 , 2 , ⋯ , t ) {\displaystyleq_{j}(x)(j=1,2,\cdots,t)} 都是數體F上的不可約多項式，那麼必有 s = t {\displaystyles=t} ，而且可以適當排列因式的次序，使得 p i ( x ) = c i q i ( x ) ( i = 1 , 2 , ⋯ , s ) {\displaystylep_{i}(x)=c_{i}q_{i}(x)(i=1,2,\cdots,s)} ,其中 c i ( i = 1 , 2 , ⋯ , s ) {\displaystylec_{i}(i=1,2,\cdots,s)} 是一些非零常數 分解方法[編輯] 公因式分解(抽)[編輯] 原則： 1、分解必須要徹底（即分解後之因式均不能再做分解） 2、結果最後只留下小括號 3、結果的多項式首項為正。

在一個公式內把其公因子抽出，例子： 7 a + 98 a b {\displaystyle7a+98ab} 其中， 7 a {\displaystyle7a} 是公因子。

因此，因式分解後得到的答案是： 7 a ( 1 + 14 b ) {\displaystyle7a(1+14b)} 51 a 4 b 7 + 24 a 3 b 2 + 75 a 5 b 5 {\displaystyle51a^{4}b^{7}+24a^{3}b^{2}+75a^{5}b^{5}} 其中， 3 a 3 b 2 {\displaystyle3a^{3}b^{2}} 是公因子。

因此，因式分解後得到的答案是： 3 a 3 b 2 ( 17 a b 5 + 25 a 2 b 3 + 8 ) {\displaystyle3a^{3}b^{2}(17ab^{5}+25a^{2}b^{3}+8)} 公式重組(拼)[編輯] 透過公式重組，然後再抽出公因數，例子： 3 a 2 b − 5 y + 12 a 3 b 2 − 20 a b y {\displaystyle3a^{2}b-5y+12a^{3}b^{2}-20aby} = ( 3 a 2 b + 12 a 3 b 2 ) − ( 5 y + 20 a b y ) {\displaystyle=(3a^{2}b+12a^{3}b^{2})-(5y+20aby)} = 3 a 2 b ( 1 + 4 a b ) − 5 y ( 1 + 4 a b ) {\displaystyle=3a^{2}b(1+4ab)-5y(1+4ab)} = ( 1 + 4 a b ) ( 3 a 2 b − 5 y ) {\displaystyle=(1+4ab)(3a^{2}b-5y)} 15 n 2 + 2 m − 3 n − 10 m n {\displaystyle15n^{2}+2m-3n-10mn} = ( 15 n 2 − 3 n ) + ( 2 m − 10 m n ) {\displaystyle=(15n^{2}-3n)+(2m-10mn)} = 3 n ( 5 n − 1 ) + 2 m ( 1 − 5 n ) {\displaystyle=3n(5n-1)+2m(1-5n)} = 3 n ( 5 n − 1 ) − 2 m ( 5 n − 1 ) {\displaystyle=3n(5n-1)-2m(5n-1)} = ( 5 n − 1 ) ( 3 n − 2 m ) {\displaystyle=(5n-1)(3n-2m)} 添項法(增)[編輯] 透過添項然後減掉，然後再抽出公因數，例子： x 4 + x 2 + 1 {\displaystylex^{4}+x^{2}+1} = x 4 + x 2 + x 2 − x 2 + 1 {\displaystyle=x^{4}+x^{2}+x^{2}-x^{2}+1} = x 4 + 2 x 2 − x 2 + 1 {\displaystyle=x^{4}+2x^{2}-x^{2}+1} = x 4 + 2 x 2 + 1 − x 2 {\displaystyle=x^{4}+2x^{2}+1-x^{2}} = ( x 2 ) 2 + ( 2 ) ( x 2 ) ( 1 ) + ( 1 ) 2 − x 2 {\displaystyle=(x^{2})^{2}+(2)(x^{2})(1)+(1)^{2}-x^{2}} = ( x 2 + 1 ) 2 − x 2 {\displaystyle=(x^{2}+1)^{2}-x^{2}} = ( x 2 + 1 − x ) ( x 2 + 1 + x ) {\displaystyle=(x^{2}+1-x)(x^{2}+1+x)} = ( x 2 − x + 1 ) ( x 2 + x + 1 ) {\displaystyle=(x^{2}-x+1)(x^{2}+x+1)} 分項法(拆)[編輯] 透過分裂某項，然後再抽出公因數，例子： x 3 − 7 x + 6 {\displaystylex^{3}-7x+6} 其中， − 7 x {\displaystyle-7x} 可以被拆成 − x {\displaystyle-x} 和 − 6 x {\displaystyle-6x} 。

所以， x 3 − 7 x + 6 {\displaystylex^{3}-7x+6} 可以被寫成 x 3 − x − 6 x + 6 {\displaystylex^{3}-x-6x+6} 。

因此， x 3 − 7 x + 6 {\displaystylex^{3}-7x+6} = x 3 − x − 6 x + 6 {\displaystyle=x^{3}-x-6x+6} = ( x 3 − x ) − ( 6 x − 6 ) {\displaystyle=(x^{3}-x)-(6x-6)} = x ( x 2 − 1 ) − 6 ( x − 1 ) {\displaystyle=x(x^{2}-1)-6(x-1)} = x ( x + 1 ) ( x − 1 ) − 6 ( x − 1 ) {\displaystyle=x(x+1)(x-1)-6(x-1)} = ( x ( x + 1 ) − 6 ) ( x − 1 ) {\displaystyle=(x(x+1)-6)(x-1)} = ( x 2 + x − 6 ) ( x − 1 ) {\displaystyle=(x^{2}+x-6)(x-1)} 其中， + x {\displaystyle+x} 可以被拆成 + 3 x {\displaystyle+3x} 和 − 2 x {\displaystyle-2x} 。

所以， x 2 + x − 6 {\displaystylex^{2}+x-6} 可以被寫成 x 2 + 3 x − 2 x − 6 {\displaystylex^{2}+3x-2x-6} 。

因此， ( x 2 + x − 6 ) ( x − 1 ) {\displaystyle(x^{2}+x-6)(x-1)} = ( x 2 + 3 x − 2 x − 6 ) ( x − 1 ) {\displaystyle=(x^{2}+3x-2x-6)(x-1)} = ( ( x 2 + 3 x ) − ( 2 x + 6 ) ) ( x − 1 ) {\displaystyle=((x^{2}+3x)-(2x+6))(x-1)} = ( x ( x + 3 ) − 2 ( x + 3 ) ) ( x − 1 ) {\displaystyle=(x(x+3)-2(x+3))(x-1)} = ( x − 2 ) ( x + 3 ) ( x − 1 ) {\displaystyle=(x-2)(x+3)(x-1)} = ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x + 3 ) {\displaystyle=(x-1)(x-2)(x+3)} 十字交乘法[編輯] 主條目：十字交乘法 十字交乘法(crossmethod)，也叫做十字相乘法。

它實際上是拆項法的一個變形，只不過用十字形矩陣來表示。

兩個n次方數之和與差[編輯] 兩個立方數之和 a 3 + b 3 {\displaystylea^{3}+b^{3}\,\!} 可分解為 ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) {\displaystyle(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!} 兩個立方數之差 a 3 − b 3 {\displaystylea^{3}-b^{3}\,\!} 可分解為 ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) {\displaystyle(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,\!} 兩個奇數次方數之差 a n − b n = ( a − b ) ( a n − 1 + a n − 2 b + . . . . . . + b n − 1 ) {\displaystylea^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+......+b^{n-1})} 兩個偶數次方數之差 a n − b n = ( a + b ) ( a n − 1 − a n − 2 b + . . . . . . − b n − 1 ) {\displaystylea^{n}-b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+......-b^{n-1})} 兩個奇數次方數之和 a n + b n = ( a + b ) ( a n − 1 − a n − 2 b + . . . . . . + b n − 1 ) {\displaystylea^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+......+b^{n-1})} 。

一次因式檢定法[編輯] 一個整係數的一元多項式 a n x n + a n − 1 x n − 1 + . . . . . . a 1 x + a 0 {\displaystylea_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+......a_{1}x+a_{0}} ，假如它有整係數因式 p x + q {\displaystylepx+q} ，且p,q互質，則以下兩條必成立：（逆敘述並不真） p | a n {\displaystylep|a_{n}} q | a 0 {\displaystyleq|a_{0}} 不過反過來說，即使當 p | a n {\displaystylep|a_{n}} 和 q | a 0 {\displaystyleq|a_{0}} 都成立時，整係數多項式 p x + q {\displaystylepx+q} 也不一定是整係數多項式 a n x n + a n − 1 x n − 1 + . . . . . . a 1 x + a 0 {\displaystylea_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+......a_{1}x+a_{0}} 的因式 另外一個看法是： 一個整係數的ｎ次多項式 a n x n + a n − 1 x n − 1 + . . . . . . a 1 x + a 0 {\displaystylea_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+......a_{1}x+a_{0}} ，若 p x − q {\displaystylepx-q} 是f(x)之因式，且p,q互質，則：（逆敘述並不真） p − q | f ( 1 ) {\displaystylep-q|f(1)} p + q | f ( − 1 ) {\displaystylep+q|f(-1)} 參見[編輯] 因數分解 多項式 根 十字相乘 乘法公式 注釋[編輯] ^也有factorisation或factoring的用法 ^因式即多項式。

延伸閱讀[編輯] Burnside,WilliamSnow;Panton,ArthurWilliam(1960)[1912],TheTheoryofEquationswithanintroductiontothetheoryofbinaryalgebraicforms(Volumeone),Dover Dickson,LeonardEugene(1922),FirstCourseintheTheoryofEquations,NewYork:JohnWiley&Sons Fite,WilliamBenjamin(1921),CollegeAlgebra(Revised),Boston:D.C.Heath&Co. Klein,Felix(1925),ElementaryMathematicsfromanAdvancedStandpoint;Arithmetic,Algebra,Analysis,Dover Selby,SamuelM.,CRCStandardMathematicalTables(18thed.),TheChemicalRubberCo 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=因式分解&oldid=69284889」 分類：多項式初等代數隱藏分類：含有英語的條目自2014年11月缺少來源的條目 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 已展開 已摺疊 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 已展開 已摺疊 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他專案 維基學院 其他語言 Afrikaansالعربيةঅসমীয়াAzərbaycancaБългарскиবাংলাCatalàکوردیČeštinaЧӑвашлаCymraegDanskDeutschΕλληνικάEnglishEsperantoEspañolEuskaraفارسیSuomiFøroysktFrançaisGalegoעבריתहिन्दीMagyarBahasaIndonesiaIdoÍslenskaItaliano日本語한국어LatinaLombardLietuviųМакедонскиNederlandsNorsknynorskNorskbokmålਪੰਜਾਬੀPolskiPortuguêsРусскийSimpleEnglishSlovenčinaSlovenščinaSoomaaligaСрпски/srpskiSvenskaதமிழ்ไทยTürkçeУкраїнськаاردوOʻzbekcha/ўзбекчаTiếngViệt吴语ייִדיש文言粵語 編輯連結