無限集合 - 中文百科全書

無限集合(infinite set)亦稱無窮集合，是一類特殊的集合，它有下面幾種定義：1.不是有限集的集合；2.可與其真子集對等的非空集合；3.既不是空集，又不與Mn={1，2，… 無限集合 無限集一般指本詞條 無限集合(infiniteset)亦稱無窮集合，是一類特殊的集合，它有下面幾種定義：1.不是有限集的集合；2.可與其真子集對等的非空集合；3.既不是空集，又不與Mn={1，2，…，n}，n∈N對等的集合。

勢最小的無限集為可數集，即與自然數集N對等的無限集，可以證明：1.無限集必含有可數子集；2.無限集減去一有限子集仍為無限集；3.任一無限集與一可數集之並與該無限集間存在雙射。

基本介紹 中文名：無限集合外文名：infiniteset別稱：無窮集合屬性：一類特殊的集合所屬學科：數學（集合論） 基本介紹,無限集合研究的基本方法,可數無限集合,不可數無限集合,無窮集合基數的比較, 基本介紹直觀地講，有限集（也叫有限集合）是包含有限個元素的集合。

為了更好地理解有限集合，我們給出有限集的正式定義。

定義1一個集合S與集合(定義)之間如果存在一一對應函式，則稱S是有限的。

否則，則稱S是無限的。

例1下列集合均為有限集：(1)集合，該集合可以與集合建立起一一對應的函式關係。

(2)，該集合可以與集合之間建立起一一對應的函式關係。

(3)={1月，2月，3月，…，12月}，該集合可以與集合之間建立起一一對應的函式關係。

(4)={星期一，星期二，…，星期日），該集合可以與集合之間建立起一一對應的函式關係。

定義2有限集S的元素的個數稱為S的基數，記為。

上述，的基數為26，的基數為12，的基數為7。

我們知道，集合之間可以進行各種運算，那么運算後集合的基數該如何給出呢？定理1設A和B是兩個有限集合，則有我們可以通過如圖1所示的維恩圖來理解該定理。

由圖我們可以看出，（圖1中部分）的個數計算了兩次，所以要減去一個。

圖1基於定理1我們可以得到(1)當A和B分離時：；(2)無限集合研究的基本方法當我們面對“無窮”問題時，首先要提醒讀者建立以下幾個基本觀點：1)有限到無限是從量變到質變；2)有限集的性質不能推廣到無限，反之亦然；3)要依靠理性的論證，而不是直觀和常識來認識無限。

判斷兩個有限集合中元素的“多少”，其實仍然是採用“數數”的方法。

“數數”的過程其實就是建立“一一對應”的映射的過程。

例如：給定集合，計算S中元素數目其實就是建立如圖2所示對應關係的過程。

圖2計算有限集合技術的過程這種方法可以進一步推廣到無限集合。

為此我們首先給出“勢”的概念。

定義3集合的勢是一個用來度量集合所含元素多少的量。

對於兩個集合A和B，如果存在從A到B的雙射，就稱A和B是等勢(equipotent)的，記為A～B。

集合的勢越大，所含的元素越多。

當A=B時，一定有A～B。

我們很快就會看到，反之不一定成立。

可數無限集合定義4凡是與自然數集等勢的集合稱為可數集（可列集）。

也可以將有限集合與可列集合稱為可數集，故可列集也可稱為可數無限（無窮）集合。

A為可數無窮集合，若且唯若A可排列為，即可以對它的元素進行編號，也就是建立起該集合與自然數集的一一對應的關係。

定理2任意無窮集合，必含有可數子集。

證明：設A為一無窮集合，從A中取出一個元素，命名為，由於A是無窮集合，從中可以取出元素，而也是非空集合，所以又可取元素。

由於A是無窮集合，所以可以一直取下去，從而得到A的可數子集。

定理3整數集合Z是可數無窮集。

定理4正偶數集合與自然數集合N等勢。

定理5平面上坐標為整數的點的集合與自然數集等勢。

定義如圖3所示的排列規則，可以將中的點逐一列出，從而表明與自然數集等勢。

圖3集合ZXZ中元素排列方法定理6有理數集Q與N等勢。

以下是判斷一個集合是可數集合的一些結論。

●按照可數集合的定義，若A為有限集，則A一定是可數集合，否則若A與自然數集之間存在一個一一對應的映射，則A為可數集合。

●若A與某可數集合之間存在一一對應的映射，則A為可數集合。

●若A中所有元素可按某種規律進行排序，則A是可數集合。

●若A是n(>1)個可數集合的並集，則A是可數集合。

●若A是某個已知是可數集合的子集，則A是可數集合。

●若A是可數無窮多個可數集合的並集，則A是可數集合。

●若A是n(>1)個可數集合的笛卡兒乘積，則A是可數集合。

不可數無限集合現在我們已經知道自然數集、偶數集、整數集、有理數集均是無窮可數集，那么實數集合是不是可數集呢？康托在研究集合時得到的一個重要結論就是：實數集不可數。

這是康托的偉大發現。

定理7實數區間(0，1)是不可數的。

無窮集合基數的比較我們將自然數集的基數命名為，即，是最小的無窮基數。

實數集的基數命名為，即，>。

顯然可數集A的基數：cardA≤。

接下來：無窮集合的基數有多少個?為了回答上述問題，我們需要先了解以下康托基本定理。

該定理是康托在1883年證明的。

定理8(康托基本定理)集合A的元素不能與2A建立一一對應的映射。

有了這個結論，我們就可以構造基數為任意大的集合，如。

所有集合的基數從小到大可排列為：現在的問題是：是否存在集合S，使得。

即能否找到一實數集的子集，它是不可數集合，但又不能與實數集合建立一一對應的映射關係。

這就是康托提出的“連續統假設”。

1900年，第二屆國際數學大會在巴黎召開，20世紀國際數學界的頭號巨人、德國數學家希爾伯特提出了23個基本問題，幾乎指導了一個世紀，而現在只解決了一半。

第一個問題就是如何證明集合論中的連續統假設。

連續統假設是數學中最基本的問題，近百年來一直是數理邏輯的中心問題之一，也是集合論最難的問題之一。

經過許多著名數學家的不懈努力，已取得了重大進展：1930年，數學家證明連續統假設與選擇公理是相容的，從而證明了連續統假設不成立是不可能的。

1963年，美國數學家Cohen證明了選擇公理與連續統假設是相互獨立的，從而得出證明連續統假設成立是不可能的。

由此得到，在我們所使用的公理系統中，連續統假設是不能判定的。

相關詞條 無限集合無限集合(infiniteset)亦稱無窮集合,是一類特殊的集合,它有下面幾種定義:1.不是有限集的集合;2.可與其真子集對等的非空集合;3.既不是空集,又不與Mn={1,...D無限集D無限集(D-infiniteset)一種無限集.若存在集合A到自己的真子集的雙射,則稱A為D無限集.任何一個集合不是D有限集就是D無限集.例如自然數集是D無限集.}A}...數學集合集合A中不同元素的數目稱為集合A的基數,記作card(A)。

當其為有限大時,集合A稱為有限集,反之則為無限集。

無限集:定義:集合里含有無限個元素的集合叫做無限集...絕對無限絕對無限(AbsoluteInfinite)是數學家康托爾的超越超限數的無限概念。

康托爾把絕對無限等同於神。

他堅持絕對無限有各種數學性質,包括絕對無限的所有性質也被某些更...集合存在性公理集合存在性公理(existenceaxiomofset)是GB系統的集合論公理,指GB系統中的第3組(即C組)公理,共有4條,包括無窮公理,並集公理,冪集公理,和替換公理。

...集合(數學概念)集合,簡稱集,是數學中一個基本概念,也是集合論的主要研究對象。

集合論的基本理論創立於19世紀,關於集合的最簡單的說法就是在樸素集合論(最原始的集合論)中的定義...策略集合策略是局中人在對策中採用的一個可行的自始至終通盤籌劃的行動方案,局中人策略的全體稱為策略集合,它可以是有限集,也可以是無限集。

...集合的勢集合的勢是用來度量集合規模大小的屬性的。

對於有限集合,可用集合的元素個數來進行度量,對於無限集合這個辦法就行不通了,為此我們需要採用一種新的方法來比較兩個...基數(數學術語)無窮集合的加法及乘法(假設選擇公理)非常簡單。

若X與Y皆非空而其中之一為無限集,則|X|+|Y|=|X||Y|=max{|X|,|Y|}....非空有限集在數學中,從集合中所含元素個數的角度觀察集合,可有無限集和有限集之分。

若用|A|表示集合A中所含元素的個數,則當|A|為有限數時,稱A為有限集。

否則稱之為...超限數超限數(transfinitenumbers)是大於所有有限數、仍不必定絕對無限的基數或序數。

分別叫做超窮基數(transfinitecardinalnumber)和超窮序數(transfiniteordinalnumber)...並集例如:A∪B∪C是集合{A,B,C}的並集。

同時,若M是空集,M的並集也是空集。

有限並集的概念可以推廣到無限並集。

...勢(數學術語)勢是數學術語,如果存在著從集合A到集合B的雙射,那么稱集合A與集合B等勢,記為A~B。

對於有限集合,可用集合的元素個數來進行度量,對於無限集合這個辦法就行不通...希爾伯特旅館悖論希爾伯特旅館悖論是一個與無限集合有關的數學悖論,由德國數學家大衛·希爾伯特提出。

...阿列夫數阿列夫數是一連串用來表示無限集合的勢(大小)的數,其標記符號為希伯來字母。

......阿列夫數是一連串用來表示無限集合的勢(大小)的數,其標記符號為希伯來字母。

...奇點數學定義無限小且不實際存在的“點”定義奇點通常是一個當數學物件上被稱為未定義的點,或當它在特別的情況下無法完序,以至於此點出現在於異常的集合中。

諸...薩圖恩(聖鬥士星矢Ω中登場的超神)四天王泰坦用他的能力停止了門的時間,雅典娜集合了所有黃金白銀青銅鋼鐵聖鬥士的...薩圖恩身邊的兩條誕生於多元宇宙根源之前的無限之蛇,組成Ouroboros環使昴解開封印...自然數自然數是無限的。

全體非負整數組成的集合稱為非負整數集,即自然數集。

)在數物體的時候,數出的1.2.3.4.5.6.7.8.9……叫自然數。

自然數有數量、次序...艾普塞朗數某些作者,比如Suppes、Rubin使用術語超限基數來稱呼戴德金無限集合的勢,在可以不等於無限基數的上下文中;就是說在不假定可數選擇公理成立的上下文中。

給定這個定義,...描述法描述法是集合的常用表示方法。

描述法的定義﹕常用於表示無限集合,把集合中元素的公共屬性用文字﹐符號或式子等描述出來﹐寫在大括弧內﹐這種表示集合的方法叫做描述... 熱門詞條 鶴頂紅 米 中公教育 Wink 中華人民共和國刑事訴訟法 12daysofchristmas 陶淵明 我們小區藝體能 曹洪 赤柯山 SERUM 賑早見琥珀主 被遺忘的時光 神話放送 乾眼症 李昌勛 鹽 制服 entry Incoterm 保鮮膜 第三性 昆蟲百科 天安號護衛艦 pigi 有教無類 衝浪男人 棒棒棒 無限集合@中文百科全書