三角形- 维基百科，自由的百科全书

三角形，又稱三邊形，是由三条线段顺次首尾相连，或不共線的三點兩兩連接，所组成的一个闭合的平面几何图形，是最基本和最少邊的多边形。

三角形 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 三角形三角形邊3頂點3施萊夫利符號{3}（正三角形時）面積有各種求面積的公式；見下文內角（度）180°(內角和) 三角形，又稱三邊形，是由三條線段順次首尾相連，或不共線的三點兩兩連接，所組成的一個閉合的平面幾何圖形，是最基本和最少邊的多邊形。

一般用大寫英語字母 A {\displaystyleA} 、 B {\displaystyleB} 和 C {\displaystyleC} 為三角形的頂點標號；用小寫英語字母 a {\displaystylea} 、 b {\displaystyleb} 和 c {\displaystylec} 表示邊；用 α {\displaystyle\alpha} 、 β {\displaystyle\beta} 和 γ {\displaystyle\gamma} 給角標號，又或者以 ∠ A B C {\displaystyle\angleABC} 這樣的頂點標號來表示。

目次 1分類 1.1以角度分類 1.1.1銳角三角形 1.1.2鈍角三角形 1.1.3直角三角形 1.2以邊長分類 1.2.1不等邊三角形 1.2.2等邊三角形 1.2.3等腰三角形 1.2.4退化三角形 2勒洛三角形 3一般性質 3.1三角不等式 3.2角度 3.3畢氏定理 3.4正弦定理 3.5餘弦定理 4全等及相似 4.1全等三角形 4.2相似三角形 5特殊線段 5.1中線長度 5.2高線長度 5.3角平分線長度 6三角形的心 7外接圓和內切圓半徑 8面積 8.1基本公式 8.2已知兩邊及其夾角 8.3已知兩角及其夾邊 8.4已知三邊長 8.5已知坐標系中三頂點坐標 8.6已知周界及內切圓或外接圓半徑 8.7已知兩邊向量 9半角定理 10其他三角形有關的定理 11參考資料 12參看 分類[編輯] 以角度分類[編輯] 銳角三角形 鈍角三角形 直角三角形 銳角三角形[編輯] 銳角三角形的所有內角均為銳角（即小於90°）。

鈍角三角形[編輯] 鈍角三角形是其中一角為鈍角（大於90°）的三角形，其餘兩角均小於90°。

直角三角形[編輯] 有一個角是直角（90°）的三角形為直角三角形。

成直角的兩條邊稱為「直角邊」（cathetus），直角所對的邊是「斜邊」（hypotenuse）；或最長的邊稱為「弦」，底部的一邊稱作「勾」（又作「句」），另一邊稱為「股」。

斜邊乘上斜邊上的高÷2=勾股相乘÷2=此直角三角形面積（ch=ab） 直角三角形各邊與角度的關係，可以三角比表示。

詳見三角函數。

以邊長分類[編輯] 不等邊三角形 等邊三角形 等腰三角形 不等邊三角形[編輯] 三條邊邊長皆不相等的三角形稱為不等邊三角形。

等邊三角形[編輯] 等邊三角形（又稱正三角形），為三邊相等的三角形。

其三個內角相等，均為60°。

它是銳角三角形的一種。

設其邊長是 a {\displaystylea} ，則其面積公式為 a 2 3 4 {\displaystyle{\frac{a^{2}{\sqrt{3}}}{4}}} 。

等邊三角形是正四面體、正八面體和正二十面體這三個正多面體面的形狀。

六個邊長相同的等邊三角形可以拼成一個正六邊形。

等腰三角形[編輯] 等腰直角三角形只有一種形狀，其中兩個角為45度。

等腰三角形是三條邊中有兩條邊相等（或是其中兩隻內角相等）的三角形。

等腰三角形中的兩條相等的邊被稱為「腰」，而另一條邊被稱為「底邊」，兩條腰交叉組成的那個點被稱為「頂點」，它們組成的角被稱為「頂角」。

等邊三角形和等腰直角三角形是等腰三角形的特殊形式。

令其底邊是 b {\displaystyleb} ，腰是 a {\displaystylea} ，則其面積公式為 1 4 b 4 a 2 − b 2 {\displaystyle{\frac{1}{4}}{b{\sqrt{4a^{2}-b^{2}}}}} 退化三角形[編輯] 退化三角形是指面積為零的三角形。

滿足下列條件之一的三角形即可稱為退化三角形：三個內角的度數為(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°)；三邊其中一條邊的長度為0；一條邊的長度等於另外兩條之和。

有人認為退化三角形並不能算是三角形，這是由於它介乎於三角不等式之間，在一些資料中已否定了其中一條邊等於其餘兩條邊之和的情況。

勒洛三角形[編輯] 勒洛三角形（英語：Reuleauxtriangle），也譯作萊洛三角形或弧三角形，又被稱為劃粉形[1]或曲邊三角形，是除了圓形以外，最簡單易懂的勒洛多邊形，一個定寬曲線。

將一個曲線圖放在兩條平行線中間，使之與這兩平行線相切，則可以做到：無論這個曲線圖如何運動，只要它還是在這兩條平行線內，就始終與這兩條平行線相切。

這個定義由十九世紀的德國工程師FranzReuleaux（英語：FranzReuleaux）命名。

一般性質[編輯] 三角不等式[編輯] 三角邊長不等式 三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差的絕對值小於第三邊。

如果兩者相等，則是退化三角形。

三角內外角不等式 三角形任意一個外角大於不相鄰的一個內角。

角度[編輯] 三角形外角 三角形兩內角之和，等於第三角的外角。

三角形內角和 在歐幾里德平面內，三角形的內角和等於180°。

畢氏定理[編輯] 勾股定理 勾股定理，又稱畢氏定理或畢達哥拉斯定理。

設直角三角形的其中一邊 c {\displaystylec} 為斜邊，即 c {\displaystylec} 的對角 γ = 90 ∘ {\displaystyle\gamma=90^{\circ}} ，則 a 2 + b 2 = c 2 {\displaystylea^{2}+b^{2}=c^{2}} 。

勾股定理逆定理 勾股定理的逆定理亦成立，即若三角形滿足 a 2 + b 2 = c 2 {\displaystylea^{2}+b^{2}=c^{2}} ， 則 γ = 90 ∘ {\displaystyle\gamma=90^{\circ}} 正弦定理[編輯] 正弦定理： 設 R {\displaystyleR} 為三角形外接圓半徑，則 a sin ⁡ α = b sin ⁡ β = c sin ⁡ γ = 2 R {\displaystyle{\frac{a}{\sin\alpha}}={\frac{b}{\sin\beta}}={\frac{c}{\sin\gamma}}=2R} 餘弦定理[編輯] 餘弦定理： 對於任意三角形： a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ⁡ α {\displaystylea^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot\cos\alpha} b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ⁡ β {\displaystyleb^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot\cos\beta} c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ⁡ γ {\displaystylec^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot\cos\gamma} 勾股定理是本定理的特殊情況，即當角 α = 90 ∘ {\displaystyle\alpha=90^{\circ}\,} 時， cos ⁡ α = 0 {\displaystyle\cos\alpha=0} ，於是 a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ⁡ α {\displaystylea^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot\cos\alpha} 化簡為 a 2 = b 2 + c 2 {\displaystylea^{2}=b^{2}+c^{2}} 。

全等及相似[編輯] 全等三角形[編輯] 三角形具有穩定性，若二個三角形有以下的邊角關係確定後，它的形狀、大小就不會改變，二個三角形即為全等三角形。

SSS（Side-Side-Side，邊、邊、邊）：各三角形的三條邊的長度都對應地相等。

SAS（Side-Angle-Side，邊、角、邊）：各三角形的其中兩條邊的長度都對應地相等，且兩條邊夾著的角都對應地相等。

ASA（Angle-Side-Angle，角、邊、角）：各三角形的其中兩個角都對應地相等，且兩個角夾著的邊都對應地相等。

RHS（RightAngle-Hypotenuse-Side，直角、斜邊、邊）：在直角三角形中，斜邊及另外一條直角邊對應地相等。

[1] AAS（Angle-Angle-Side，角、角、邊）：各三角形的其中兩個角都對應地相等，且其中一組對應角的對邊也對應地相等。

注意，SSA（Side-Side-Angle、邊、邊、角）不能保證兩個三角形全等，除非該角大於等於90°。

相似三角形[編輯] AA（Angle-Angle，角、角）：各三角形的其中兩個角的都對應地相等。

（或稱AAA（Angle-Angle-Angle，角、角、角）） 三邊成比例（3sidesproportional）：各三角形的三條邊的長度都成同一比例。

兩邊成比例且夾角相等（ratioof2sides,inc.∠）：各三角形的兩條邊之長度都成同一比例，且兩條邊之夾角都對應地相等。

特殊線段[編輯] 三角形中有著一些特殊線段，是三角形研究的重要對象。

中線(median)：三角形一邊中點與這邊所對頂點的連線段。

高線(altitude)：從三角形一個頂點向它的對邊所作的垂線段。

角平分線(anglebisector)：平分三角形一角、一個端點在這一角的對邊上的線段。

垂直平分線(perpendicularbisector)：通過三角形一邊中點與該邊所垂直的線段，又稱中垂線。

以上特殊線段，每個三角形均有三條，且三線共點。

中線長度[編輯] 設在 Δ A B C {\displaystyle\DeltaABC\,} 中，若三邊 a {\displaystylea} 、 b {\displaystyleb} 、 c {\displaystylec\,} 的中線分別為 m a {\displaystylem_{a}} 、 m b {\displaystylem_{b}} 、 m c {\displaystylem_{c}} ，則： m a = 1 2 b 2 + 1 2 c 2 − 1 4 a 2 {\displaystylem_{a}={\sqrt{{\frac{1}{2}}b^{2}+{\frac{1}{2}}c^{2}-{\frac{1}{4}}a^{2}}}} m b = 1 2 a 2 + 1 2 c 2 − 1 4 b 2 {\displaystylem_{b}={\sqrt{{\frac{1}{2}}a^{2}+{\frac{1}{2}}c^{2}-{\frac{1}{4}}b^{2}}}} m c = 1 2 a 2 + 1 2 b 2 − 1 4 c 2 {\displaystylem_{c}={\sqrt{{\frac{1}{2}}a^{2}+{\frac{1}{2}}b^{2}-{\frac{1}{4}}c^{2}}}} 高線長度[編輯] 設在 Δ A B C {\displaystyle\DeltaABC\,} 中，連接三個頂點 A {\displaystyleA} 、 B {\displaystyleB} 、 C {\displaystyleC} 上的高分別記作 h a {\displaystyleh_{a}} 、 h b {\displaystyleh_{b}} 、 h c {\displaystyleh_{c}} ，則： h a = 2 s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) a {\displaystyleh_{a}={\frac{2{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}} h b = 2 s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) b {\displaystyleh_{b}={\frac{2{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{b}}} h c = 2 s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) c {\displaystyleh_{c}={\frac{2{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{c}}} 其中 s = a + b + c 2 {\displaystyles={\frac{a+b+c}{2}}} 。

角平分線長度[編輯] 設在 Δ A B C {\displaystyle\DeltaABC\,} 中，若三個角 A {\displaystyleA} 、 B {\displaystyleB} 、 C {\displaystyleC} 的角平分線分別為 t a {\displaystylet_{a}} 、 t b {\displaystylet_{b}} 、 t c {\displaystylet_{c}} ，則： t a = 1 b + c ( b + c + a ) ( b + c − a ) b c {\displaystylet_{a}={\frac{1}{b+c}}{\sqrt{\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)bc}}} t b = 1 a + c ( a + c + b ) ( a + c − b ) a c {\displaystylet_{b}={\frac{1}{a+c}}{\sqrt{\left(a+c+b\right)\left(a+c-b\right)ac}}} t c = 1 a + b ( a + b + c ) ( a + b − c ) a b {\displaystylet_{c}={\frac{1}{a+b}}{\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)ab}}} 三角形的心[編輯] 三角形的內心、外心、垂心及形心稱為三角形的四心，定義如下： 名稱 定義 圖示 備註 內心 三個內角的角平分線的交點 該點為三角形內切圓的圓心。

外心 三條邊的中垂線的交點 該點為三角形外接圓的圓心。

垂心 三條高線的交點 形心（重心） 三條中線的交點 被交點劃分的線段比例為1:2（靠近角的一段較長）。

關於三角形的四心，有這樣的一首詩： “ 內心全靠角平分， 外心中點垂線伸， 垂心垂直畫三高， 形心角連線中心。

” 垂心（藍）、形心（黃）和外心（綠）能連成一線，且成比例1:2，稱為歐拉線，與九點圓的圓心（紅）四點共線，為垂心和形心線段的中點。

連同以下的旁心，合稱為三角形的五心： 名稱 定義 圖示 備註 旁心 外角的角平分線的交點 有三個，為三角形某一邊上的旁切圓的圓心。

外接圓和內切圓半徑[編輯] 設外接圓半徑為 R {\displaystyleR} ，內切圓半徑為 r {\displaystyler} ，則： R = a b c ( a + b + c ) ( b + c − a ) ( a + c − b ) ( a + b − c ) = a b c 4 △ {\displaystyleR={\frac{abc}{\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}}}={\frac{abc}{4\triangle}}} r = ( a + b + c ) ( b + c − a ) ( a + c − b ) ( a + b − c ) a + b + c = △ s {\displaystyler={\frac{\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}}{a+b+c}}={\frac{\triangle}{s}}} 其中 △ {\displaystyle\triangle} 為三角形面積； s {\displaystyles} 為三角形半周長， s = a + b + c 2 {\displaystyles={\frac{a+b+c}{2}}} 面積[編輯] 基本公式[編輯] 三角形的面積 A {\displaystyleA} 是底邊 b {\displaystyleb} 與高 h {\displaystyleh} 乘積的一半，即： A = 1 2 b h {\displaystyleA={\frac{1}{2}}bh} ， 其中的高是指底邊與對角的垂直距離。

證明 三角形的面積可表示為一長方形面積的一半。

從右圖可知，將兩個全等三角形相拼，可得一平行四邊形。

而將該平行四邊形分割填補，正好能得到一個面積等於 b h {\displaystylebh} 的長方形。

因此原來的三角形面積為 A = 1 2 b h {\displaystyleA={\frac{1}{2}}bh} 。

證畢。

已知兩邊及其夾角[編輯] 設 a {\displaystylea} b {\displaystyleb} 為已知的兩邊， γ {\displaystyle\gamma} 為該兩邊的夾角，則三角形面積是： A = 1 2 a b sin ⁡ γ {\displaystyleA={\frac{1}{2}}ab\sin{\gamma}} 。

證明 三角形的高h能以正弦的定義表示。

觀察右圖，根據正弦的定義： sin ⁡ γ = h a {\displaystyle\sin\gamma={\frac{h}{a}}} 。

因此： h = a sin ⁡ γ {\displaystyleh=a\sin\gamma} 。

將此式代入基本公式，可得： A = 1 2 b ( a sin ⁡ γ ) = 1 2 a b sin ⁡ γ {\displaystyleA={\frac{1}{2}}b(a\sin\gamma)={\frac{1}{2}}ab\sin{\gamma}} 。

證畢。

已知兩角及其夾邊[編輯] β {\displaystyle\beta} 、 γ {\displaystyle\gamma} 為已知的兩角， a {\displaystylea} 為該兩角的夾邊，則三角形面積是： A = a 2 sin ⁡ β sin ⁡ γ 2 sin ⁡ ( β + γ ) {\displaystyleA={\frac{a^{2}\sin\beta\sin\gamma}{2\sin(\beta+\gamma)}}} 。

證明 三角形的面積能從兩角及其夾邊求得。

從正弦定理可知： b sin ⁡ β = a sin ⁡ α b = a sin ⁡ β sin ⁡ α {\displaystyle{\begin{aligned}{\frac{b}{\sin\beta}}&={\frac{a}{\sin\alpha}}\\b&={\frac{a\sin\beta}{\sin\alpha}}\\\end{aligned}}} 代入 A = 1 2 a b sin ⁡ γ {\displaystyleA={\frac{1}{2}}ab\sin\gamma} ，得： A = a 2 sin ⁡ β sin ⁡ γ 2 sin ⁡ α {\displaystyleA={\frac{a^{2}\sin\beta\sin\gamma}{2\sin\alpha}}} 。

注意到 α + β + γ = 180 ∘ {\displaystyle\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}} ，因此： A = a 2 sin ⁡ β sin ⁡ γ 2 sin ⁡ [ 180 ∘ − ( β + γ ) ] = a 2 sin ⁡ β sin ⁡ γ 2 sin ⁡ ( β + γ ) {\displaystyle{\begin{aligned}A&={\frac{a^{2}\sin\beta\sin\gamma}{2\sin[180^{\circ}-(\beta+\gamma)]}}\\&={\frac{a^{2}\sin\beta\sin\gamma}{2\sin(\beta+\gamma)}}\\\end{aligned}}} 證畢。

已知三邊長[編輯] 海龍公式，其表示形式為： A = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyleA={\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}} ， 其中 s {\displaystyles} 等於三角形的半周長，即： s = a + b + c 2 {\displaystyles={\frac{a+b+c}{2}}} 秦九韶亦求過類似的公式，稱為三斜求積法： A = 1 4 [ c 2 a 2 − ( c 2 + a 2 − b 2 2 ) 2 ] {\displaystyleA={\sqrt{{\frac{1}{4}}{\left[c^{2}a^{2}-\left({\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}\right]}}}} 也有用冪和來表示的公式： A = 1 4 ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 − 2 ( a 4 + b 4 + c 4 ) {\displaystyleA={\frac{1}{4}}{\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}} 亦可用Cayley–Menger行列式表示的公式： 16 ⋅ A 2 = − | 0 a 2 b 2 1 a 2 0 c 2 1 b 2 c 2 0 1 1 1 1 0 | {\displaystyle16\cdotA^{2}=-{\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\\\end{vmatrix}}} 基於海倫公式在三角形擁有非常小的角度時並不數值穩定，有一個變化的計法。

設 a ≥ b ≥ c {\displaystylea\geqb\geqc} ，三角形面積為： A = 1 4 [ a + ( b + c ) ] [ c − ( a − b ) ] [ c + ( a − b ) ] [ a + ( b − c ) ] {\displaystyleA={\frac{1}{4}}{\sqrt{[a+(b+c)][c-(a-b)][c+(a-b)][a+(b-c)]}}} 。

證明 設 a {\displaystylea} 、 b {\displaystyleb} 、 c {\displaystylec} 為三角形三條邊， α {\displaystyle\alpha} 、 β {\displaystyle\beta} 、 γ {\displaystyle\gamma} 為相應邊的對角。

從餘弦定理可知： cos ⁡ γ = a 2 + b 2 − c 2 2 a b {\displaystyle\cos\gamma={\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}} 以畢氏三角恆等式可得： sin ⁡ γ = 1 − cos 2 ⁡ γ = 4 a 2 b 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 ) 2 2 a b {\displaystyle\sin\gamma={\sqrt{1-\cos^{2}\gamma}}={\frac{\sqrt{4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}} 。

將此式代入 A = 1 2 a b sin ⁡ γ {\displaystyleA={\frac{1}{2}}ab\sin{\gamma}} ，得： A = 1 4 4 a 2 b 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 ) 2 {\displaystyleA={\frac{1}{4}}{\sqrt{4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}} 。

因式分解及簡化後可得： A = 1 4 ( a + b + c ) ( a + b − c ) ( a + c − b ) ( b + c − a ) {\displaystyleA={\frac{1}{4}}{\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}}} 代入 s = a + b + c 2 {\displaystyles={\frac{a+b+c}{2}}} ，即可證畢。

已知坐標系中三頂點坐標[編輯] 由 ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle(x_{1},y_{1})} 、 ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle(x_{2},y_{2})} 及 ( x 3 , y 3 ) {\displaystyle(x_{3},y_{3})} 三個頂點構成的三角形，其面積可用行列式的絕對值表示： A = | 1 2 | x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 | | {\displaystyleA=\left|{\frac{1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}\right|} 證明 無論三角形的頂點位置如何，該三角形總可以用一個直角梯形（或矩形）和兩個直角三角形面積的和差來表示，而在直角坐標系中，已知直角梯形（或矩形）和直角三角形的頂點的坐標，該三角形的面積容易求出，即用上述的行列式表示。

若三個頂點設在三維座標繫上，即由 ( x 1 , y 1 , z 1 ) {\displaystyle(x_{1},y_{1},z_{1})} 、 ( x 2 , y 2 , z 2 ) {\displaystyle(x_{2},y_{2},z_{2})} 及 ( x 3 , y 3 , z 3 ) {\displaystyle(x_{3},y_{3},z_{3})} 三個頂點構成三角形，其面積等於各自在主平面上投影面積的畢氏和，即： A = 1 2 | x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 | 2 + | y 1 z 1 1 y 2 z 2 1 y 3 z 3 1 | 2 + | z 1 x 1 1 z 2 x 2 1 z 3 x 3 1 | 2 {\displaystyleA={\frac{1}{2}}{\sqrt{{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y_{1}&z_{1}&1\\y_{2}&z_{2}&1\\y_{3}&z_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z_{1}&x_{1}&1\\z_{2}&x_{2}&1\\z_{3}&x_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}}}} 已知周界及內切圓或外接圓半徑[編輯] 設三角形三邊邊長分別為 a {\displaystylea} 、 b {\displaystyleb} 及 c {\displaystylec} ，三角形半周長（ a + b + c 2 {\displaystyle{\frac{a+b+c}{2}}} ）為 s {\displaystyles} ，內切圓半徑為 r {\displaystyler} ，則： A = s r {\displaystyleA=sr} 若設外接圓半徑為 R {\displaystyleR} ，則： A = a b c 4 R {\displaystyleA={\frac{abc}{4R}}} 證明 內切圓半徑公式 三角形被三條角平分線分成三分。

根據右圖，設 A B ¯ = c {\displaystyle{\overline{AB}}=c} ， A C ¯ = b {\displaystyle{\overline{AC}}=b} ， B C ¯ = a {\displaystyle{\overline{BC}}=a} ，則三角形面積可表示為： A = 1 2 a r + 1 2 b r + 1 2 c r = r ( a + b + c ) 2 = r s {\displaystyle{\begin{aligned}A&={\frac{1}{2}}ar+{\frac{1}{2}}br+{\frac{1}{2}}cr\\&={\frac{r(a+b+c)}{2}}\\&=rs\end{aligned}}} 外接圓半徑公式 根據正弦定理： c sin ⁡ γ = 2 R sin ⁡ γ = c 2 R {\displaystyle{\begin{aligned}{\frac{c}{\sin\gamma}}&=2R\\\sin\gamma&={\frac{c}{2R}}\\\end{aligned}}} 因此： A = 1 2 a b sin ⁡ γ = 1 2 a b ( c 2 R ) = a b c 4 R {\displaystyle{\begin{aligned}A&={\frac{1}{2}}ab\sin\gamma\\&={\frac{1}{2}}ab\left({\frac{c}{2R}}\right)\\&={\frac{abc}{4R}}\end{aligned}}} 已知兩邊向量[編輯] 設從一角出發，引出兩邊的向量為 a {\displaystyle\mathbf{a}} 及 b {\displaystyle\mathbf{b}} ，三角形的面積為： A = 1 2 | a × b | {\displaystyleA={\frac{1}{2}}|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|} 證明 根據向量積定義， | a × b | = | a | | b | sin ⁡ γ {\displaystyle|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\gamma} ， 其中 γ {\displaystyle\gamma} 是兩支向量的夾角。

因此： 1 2 | a × b | = 1 2 | a | | b | sin ⁡ γ = A {\displaystyle{\frac{1}{2}}|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|={\frac{1}{2}}|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\gamma=A} 證畢。

半角定理[編輯] 在三角形 A B C {\displaystyleABC\,} 中，三個角的半角的正切和三邊有如下關係： tan ⁡ A 2 = ( a + c − b ) ( a + b − c ) ( a + b + c ) ( b + c − a ) tan ⁡ B 2 = ( a + b − c ) ( b + c − a ) ( a + b + c ) ( a + c − b ) tan ⁡ C 2 = ( b + c − a ) ( a + c − b ) ( a + b + c ) ( a + b − c ) {\displaystyle{\begin{aligned}\tan{\frac{A}{2}}&={\sqrt{\dfrac{(a+c-b)(a+b-c)}{(a+b+c)(b+c-a)}}}\\\tan{\frac{B}{2}}&={\sqrt{\dfrac{(a+b-c)(b+c-a)}{(a+b+c)(a+c-b)}}}\\\tan{\frac{C}{2}}&={\sqrt{\dfrac{(b+c-a)(a+c-b)}{(a+b+c)(a+b-c)}}}\\\end{aligned}}} 證明 以正弦及餘弦之比表示正切： tan ⁡ A 2 = sin ⁡ A 2 cos ⁡ A 2 {\displaystyle\tan{\frac{A}{2}}={\frac{\sin{\frac{A}{2}}}{\cos{\frac{A}{2}}}}} 因為 sin ⁡ A 2 > 0 {\displaystyle\sin{\frac{A}{2}}>0} tan ⁡ A 2 > 0 {\displaystyle\tan{\frac{A}{2}}>0} 所以 sin ⁡ A 2 = 1 − cos ⁡ A 2 = 1 2 ( 1 − b 2 + c 2 − a 2 2 b c ) {\displaystyle\sin{\frac{A}{2}}={\sqrt{\frac{1-\cos{A}}{2}}}={\sqrt{{\frac{1}{2}}\left(1-{\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)}}} = a 2 − ( b − c ) 2 4 b c {\displaystyle={\sqrt{\frac{a^{2}-{\left(b-c\right)}^{2}}{4bc}}}} = ( a + b − c ) ( a + c − b ) 4 b c {\displaystyle={\sqrt{\frac{\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}{4bc}}}} 而 cos ⁡ A 2 = 1 + cos ⁡ A 2 = 1 2 ( 1 + b 2 + c 2 − a 2 2 b c ) {\displaystyle\cos{\frac{A}{2}}={\sqrt{\frac{1+\cos{A}}{2}}}={\sqrt{{\frac{1}{2}}\left(1+{\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)}}} = ( b + c ) 2 − a 2 4 b c {\displaystyle={\sqrt{\frac{{\left(b+c\right)}^{2}-a^{2}}{4bc}}}} = ( b + c + a ) ( b + c − a ) 4 b c {\displaystyle={\sqrt{\frac{\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)}{4bc}}}} 所以 tan ⁡ A 2 = sin ⁡ A 2 cos ⁡ A 2 = ( a + b − c ) ( a + c − b ) 4 b c ( b + c + a ) ( b + c − a ) 4 b c = ( a + b − c ) ( a + c − b ) ( b + c + a ) ( b + c − a ) {\displaystyle{\begin{aligned}\tan{\frac{A}{2}}&={\frac{\sin{\frac{A}{2}}}{\cos{\frac{A}{2}}}}\\&={\frac{\sqrt{\cfrac{(a+b-c)(a+c-b)}{4bc}}}{\sqrt{\cfrac{(b+c+a)(b+c-a)}{4bc}}}}\\&={\sqrt{\frac{(a+b-c)(a+c-b)}{(b+c+a)(b+c-a)}}}\end{aligned}}} 同理可得 tan ⁡ B 2 = ( a + b − c ) ( b + c − a ) ( a + b + c ) ( a + c − b ) {\displaystyle\tan{\frac{B}{2}}={\sqrt{\dfrac{(a+b-c)(b+c-a)}{(a+b+c)(a+c-b)}}}} tan ⁡ C 2 = ( b + c − a ) ( a + c − b ) ( a + b + c ) ( a + b − c ) {\displaystyle\tan{\frac{C}{2}}={\sqrt{\dfrac{(b+c-a)(a+c-b)}{(a+b+c)(a+b-c)}}}} 其他三角形有關的定理[編輯] 外角定理 拿破崙三角形 費馬點 歐拉線 梅涅勞斯定理 樞紐定理 維維亞尼定理 莫雷角三分線定理 參考資料[編輯] ^P.F.Man,C.M.Yeung,K.H.Yeung,Y.F.Kwok,H.Y.Cheung,MATHEMATICSinActionSECONDEDITION1B(PublishedbyLongmanHongKongEducation):pp:9.25 參看[編輯] 維基共享資源中相關的多媒體資源：三角形 三角學 三-橢圓形 閱論編幾何學術語點 頂點 交點 中點 角 極值點 最值點 臨界點 駐點 鞍點 直線和曲線 線段 射線 直線 切線 （主）法線 副法線 曲線 圓錐曲線 雙曲線 拋物線 正弦曲線 螺線（阿基米德螺線、等角螺線……） 擺線（最速降線問題） 懸鏈線 曳物線 漸開線 漸屈線 漸近線 測地線 邊 周界 弦 弧 垂直平分線 二次曲線 代數曲線 橢圓曲線 超橢圓 星形線 三尖瓣線 方圓形 勒洛三角形 平面圖形 圓 橢圓 扇形 弓形 環形 多邊形 三角形 四邊形 五邊形 六邊形 多邊形 正多邊形 梯形 平行四邊形 菱形 矩形 正方形 鷂形 卵形線 梭形 星形 五角星 六角星 立體圖形 多面體 正多面體 四面體 長方體 立方體 平行六面體 稜柱 反稜柱 稜錐 稜台 圓柱體 圓錐 圓台 橢球（長球體、扁球體） 球體 球缺 球冠 球檯 準線 母線 曲面 二次曲面 旋轉曲面 拋物面 雙曲面 馬鞍面 球面 橢球面 類球面 環面 莫比烏斯帶 流形 黎曼曲面 高維空間 超平面 超面 超曲面 胞 多胞形 超球體 超方形 超立方體 克萊因瓶 四維柱體柱 圖形關係 相似 全等 對稱 平行 垂直 相交 相切 相離 鏡像 旋轉 反演 截面 縮放 三角形關係 相似三角形 全等三角形 量 距離 長度 周長 弧長 高度 面積 表面積 體積 容積 角度 曲率 撓率 離心率 凹凸性 有向曲面 可展曲面 直紋曲面 作圖 尺 直尺 三角尺 圓規 尺規作圖 二刻尺作圖 分支 平面幾何 立體幾何 三角學 解析幾何 微分幾何 拓撲學 圖論 摺紙數學 歐幾里得幾何 非歐幾里得幾何（雙曲幾何、球面幾何……） 分形 理論 定理 公理 定義 數學證明 分類 主題 共享資源 專題 閱論編多邊形1–10邊 一角形 二角形 三角形 正三角形 直角三角形 等腰三角形 四邊形 正方形 矩形 菱形 鷂形 梯形 平行四邊形 五邊形 六邊形 七邊形 八邊形 九邊形 十邊形 11–20邊 十一邊形 十二邊形 十三邊形 十四邊形 十五邊形 十六邊形 十七邊形 十八邊形 十九邊形 二十邊形 21–100邊（部分的） 二十四邊形 三十邊形（英語：Triacontagon） 四十邊形（英語：Tetracontagon） 一百邊形（英語：Hectogon） >100邊 二百五十七邊形 一千邊形 一萬邊形（英語：Myriagon） 六萬五千五百三十七邊形 一百萬邊形 無限邊形 超無限邊形 複多邊形 複八邊形 莫比烏斯－坎特八邊形 其他 空多胞形 零角形 扭歪多邊形 扭歪無限邊形 星形多邊形 五角星 六角星 七角星 八角星 九角星 十角星 十一角星 十二角星 無限角星 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=三角形&oldid=68025242」 分類：幾何術語多邊形三角學三角形幾何三 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 已展開 已摺疊 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 已展開 已摺疊 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他專案 維基共享資源維基教科書維基學院 其他語言 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