自然對數- 维基百科，自由的百科全书

自然对数（英語：Natural logarithm）為以数学常数e為底數的对数函数，標記作 ln ⁡ x ... 您现在使用的中文变体可能会影响一些词语繁简转换的效果。

自然對數 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 自然對數 ln ⁡ ( x ) {\displaystyle\ln(x)} 的函數圖像。

自然對數的積分定義。

自然對數（英語：Naturallogarithm）為以數學常數e為底數的對數函數，標記作 ln ⁡ x {\displaystyle\lnx} 或 log e ⁡ x {\displaystyle\log_{e}x} ，其反函數為指數函數 e x {\displaystylee^{x}} 。

根據微積分學，某函數之定義域為其反函數之值域，反之其值域為其反函數之定義域。

因 e x {\displaystylee^{x}} 的值域為 ( 0 , ∞ ) {\displaystyle(0,\infty)} ，且其為 ln ⁡ x {\displaystyle\lnx} 之反函數，故可知 ln ⁡ x {\displaystyle\lnx} 之定義域為 ( 0 , ∞ ) {\displaystyle(0,\infty)} ，即 ln ⁡ x {\displaystyle\lnx} 在非正實數系無法定義。

自然對數定義為：對任何正實數 x {\displaystylex} ，由 1 {\displaystyle1} 到 x {\displaystylex} 所圍成， x y = 1 {\displaystylexy=1} 曲線下的面積。

如果 x {\displaystylex} 小於1，則計算面積為負數。

ln ⁡ x = ∫ 1 x d t t {\displaystyle\lnx=\int_{1}^{x}{\frac{dt}{t}}\,} e {\displaystylee} 則定義為唯一的實數 x {\displaystylex} 使得 ln ⁡ x = 1 {\displaystyle\lnx=1} 。

目次 1數學表示方法 2歷史 2.1十七世紀 2.2十八世紀 3形式定義 4性質 5導數 6冪級數 7積分 7.1例子 8與雙曲函數的關係 9連分數 10複數對數 10.1主值定義 11常見科學用法 12註釋與引用 13參考 數學表示方法[編輯] 自然對數的一般表示方法為 ln ⁡ x {\displaystyle\lnx\!} ，數學中亦有以 log ⁡ x {\displaystyle\logx\!} 表示自然對數。

[1]若要避免與底為10的常用對數 log ⁡ x {\displaystyle\logx\!} 混淆，可用「全寫」 log e ⁡ x {\displaystyle\log_{\boldsymbol{e}}x\!} 。

歷史[編輯] 十七世紀[編輯] 雙曲線扇形是笛卡兒平面 { ( x , y ) } {\displaystyle\{(x,y)\}} 上的一個區域，由從原點到 ( a , 1 a ) {\displaystyle(a,{\frac{1}{a}})} 和 ( b , 1 b ) {\displaystyle(b,{\frac{1}{b}})} 的射線，以及雙曲線 x y = 1 {\displaystylexy=1} 圍成。

在標準位置的雙曲線扇形有 a = 1 {\displaystylea=1} 且 b > 1 {\displaystyleb>1} ，它的面積為 ln ⁡ ( b ) {\displaystyle\ln(b)} [2]，此時雙曲線扇形對應正雙曲角。

當直角雙曲線下的兩段面積相等時， x {\displaystylex} 的值呈等比數列， x 2 x 1 = x 1 x 0 = k {\displaystyle{\frac{x_{2}}{x_{1}}}={\frac{x_{1}}{x_{0}}}=k} ， y {\displaystyley} 的值也呈等比數列， x 2 x 1 = x 1 x 0 = 1 k {\displaystyle{\frac{x_{2}}{x_{1}}}={\frac{x_{1}}{x_{0}}}={\frac{1}{k}}} 。

約翰·納皮爾在1614年[3]以及約斯特·比爾吉在6年後[4]，分別發表了獨立編制的對數表，當時通過對接近1的底數的大量乘冪運算，來找到指定範圍和精度的對數和所對應的真數，當時還沒出現有理數冪的概念。

按後世的觀點，約斯特·比爾吉的底數1.000110000相當接近自然對數的底數 e {\displaystylee} ，而約翰·納皮爾的底數0.999999910000000相當接近 1 e {\displaystyle{\frac{1}{e}}} [5]。

實際上不需要做開高次方這種艱難運算，約翰·納皮爾用了20年時間進行相當於數百萬次乘法的計算，HenryBriggs（英語：HenryBriggs(mathematician)）建議納皮爾改用10為底數未果，他用自己的方法[6]於1624年部份完成了常用對數表的編制。

形如 f ( x ) = x p {\displaystylef(x)=x^{p}} 的曲線都有一個代數反導數，除了特殊情況 p = − 1 {\displaystylep=-1} 對應於雙曲線的弓形面積（英語：Quadrature(mathematics)），即雙曲線扇形；其他情況都由1635年發表的卡瓦列里弓形面積公式（英語：Cavalieri'squadratureformula）給出[7]，其中拋物線的弓形面積由公元前3世紀的阿基米德完成（拋物線的弓形面積（英語：TheQuadratureoftheParabola）），雙曲線的弓形面積需要發明一個新函數。

1647年GrégoiredeSaint-Vincent（英語：GrégoiredeSaint-Vincent）將對數聯繫於雙曲線 x y = 1 {\displaystylexy=1} 的弓形面積，他發現x軸上 [ a , b ] {\displaystyle[a,b]} 兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的雙曲線扇形同 [ c , d ] {\displaystyle[c,d]} 對應的扇形，在 a b = c d {\displaystyle{\frac{a}{b}}={\frac{c}{d}}} 時面積相同，這指出了雙曲線從 x = 1 {\displaystylex=1} 到 x = t {\displaystylex=t} 的積分 f ( t ) {\displaystylef(t)} 滿足[8]： f ( t u ) = f ( t ) + f ( u ) . {\displaystylef(tu)=f(t)+f(u).\,} 1649年，AlphonseAntoniodeSarasa（英語：AlphonseAntoniodeSarasa）將雙曲線下的面積解釋為對數。

大約1665年，伊薩克·牛頓推廣了二項式定理，他將 1 1 + x {\displaystyle{\frac{1}{1+x}}} 展開並逐項積分，得到了自然對數的無窮級數。

「自然對數」最早描述見於尼古拉斯·麥卡托在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中[9]，他也獨立發現了同樣的級數，即自然對數的麥卡托級數。

十八世紀[編輯] 大約1730年，歐拉定義互為逆函數的指數函數和自然對數為[10][11]： e x = lim n → ∞ ( 1 + x n ) n , {\displaystylee^{x}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+{\frac{x}{n}}\right)^{n},} ln ⁡ ( x ) = lim n → ∞ n ( x 1 n − 1 ) {\displaystyle\ln(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}n\left(x^{\frac{1}{n}}-1\right)} 1742年威廉·瓊斯發表了現在的冪指數概念[12]。

形式定義[編輯] 歐拉定義自然對數為序列的極限： ln ⁡ ( x ) = lim n → ∞ n ( x 1 n − 1 ) . {\displaystyle\ln(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}n\left(x^{\frac{1}{n}}-1\right).} ln ⁡ ( a ) {\displaystyle\ln(a)} 正式定義為積分， ln ⁡ ( a ) = ∫ 1 a 1 x d x . {\displaystyle\ln(a)=\int_{1}^{a}{\frac{1}{x}}\,dx.} 這個函數為對數是因滿足對數的基本性質: ln ⁡ ( a b ) = ln ⁡ ( a ) + ln ⁡ ( b ) . {\displaystyle\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b).\,\!} 這可以通過將定義了 ln ⁡ ( a b ) {\displaystyle\ln(ab)} 的積分拆分為兩部份，並在第二部份中進行換元 x = t a {\displaystylex=ta} 來證實: ln ⁡ ( a b ) = ∫ 1 a b 1 x d x = ∫ 1 a 1 x d x + ∫ a a b 1 x d x = ∫ 1 a 1 x d x + ∫ 1 b 1 a t d ( a t ) {\displaystyle\ln(ab)=\int_{1}^{ab}{\frac{1}{x}}\;dx=\int_{1}^{a}{\frac{1}{x}}\;dx\;+\int_{a}^{ab}{\frac{1}{x}}\;dx=\int_{1}^{a}{\frac{1}{x}}\;dx\;+\int_{1}^{b}{\frac{1}{at}}\;d(at)} = ∫ 1 a 1 x d x + ∫ 1 b 1 t d t = ln ⁡ ( a ) + ln ⁡ ( b ) . {\displaystyle=\int_{1}^{a}{\frac{1}{x}}\;dx\;+\int_{1}^{b}{\frac{1}{t}}\;dt=\ln(a)+\ln(b).} 冪公式 ln ⁡ ( t r ) = r ln ⁡ ( t ) {\displaystyle\ln(t^{r})=r\ln(t)} 可如下推出: ln ⁡ ( t r ) = ∫ 1 t r 1 x d x = ∫ 1 t 1 u r d ( u r ) = ∫ 1 t 1 u r ( r u r − 1 d u ) = r ∫ 1 t 1 u d u = r ln ⁡ ( t ) . {\displaystyle\ln(t^{r})=\int_{1}^{t^{r}}{\frac{1}{x}}dx=\int_{1}^{t}{\frac{1}{u^{r}}}d\left(u^{r}\right)=\int_{1}^{t}{\frac{1}{u^{r}}}\left(ru^{r-1}\,du\right)=r\int_{1}^{t}{\frac{1}{u}}\,du=r\ln(t).} 第二個等式使用了換元 u = x 1 r {\displaystyleu=x^{\frac{1}{r}}} 。

自然對數還有在某些情況下更有用的另一個積分表示： ln ⁡ ( x ) = − lim ϵ → 0 ∫ ϵ ∞ d t t ( e − x t − e − t ) . {\displaystyle\ln(x)=-\lim_{\epsilon\to0}\int_{\epsilon}^{\infty}{\frac{dt}{t}}\left(e^{-xt}-e^{-t}\right).} 性質[編輯] ln ⁡ ( 1 ) = ∫ 1 1 1 t d t = 0 {\displaystyle\ln(1)=\int_{1}^{1}{\frac{1}{t}}\,dt=0\,} ln ⁡ ( − 1 ) = i π {\displaystyle\operatorname{ln}(-1)=i\pi\,} (參見複數對數) ln ⁡ ( x ) < ln ⁡ ( y ) f o r 0 < x < y {\displaystyle\ln(x) 0 {\displaystyle{\frac{x-1}{x}}\leq\ln(x)\leqx-1\quad{\rm{for}}\quadx>0\,} ln ⁡ ( 1 + x α ) ≤ α x f o r x ≥ 0 , α ≥ 1 {\displaystyle\ln{(1+x^{\alpha})}\leq\alphax\quad{\rm{for}}\quadx\geq0,\alpha\geq1\,} 證明 lim h → 0 ln ⁡ ( 1 + h ) h = lim h → 0 ln ⁡ ( 1 + h ) − ln ⁡ 1 h = d d x ln ⁡ x | x = 1 = 1 {\displaystyle\lim_{h\to0}{\frac{\ln(1+h)}{h}}=\lim_{h\to0}{\frac{\ln(1+h)-\ln1}{h}}={\frac{d}{dx}}\lnx{\Bigg|}_{x=1}=1} 導數[編輯] 自然對數的圖像和它在 x = 1.5 {\displaystylex=1.5} 處的切線。

ln ⁡ ( 1 + x ) {\displaystyle\ln(1+x)} 的泰勒多項式只在 − 1 < x ≤ 1 {\displaystyle-1