空集是一切集合的子集 - 華人百科

空集不是無;它是內部沒有元素的集合，而集合就是有。

這通常是初學者的一個難點。

將集合想象成一個裝有其元素的袋子的想法或許會有幫助;袋子可能是空的，但袋子本身確實 ... 空集不含任何元素的集合稱為空集。

空集的性質：空集是一切集合的子集，所以任何子集也包含了空集本身，而子集定義中是需要元素的，所以這是課本規定。

空集是任何非空集合的真子集。

中文名稱空集外文名稱nullset類別數學符號表示方法表示方法:用符號Ø(註:Ø(念oe)為拉丁字母，區別于希臘字母Φ(念fi))或者{}表示。

(註意:{Ø}為有一個空集元素的集合，而不是空集)對任意集合A，空集是A的子集;某種事物不存在，就是空集。

∀A:Ø⊆A對任意集合A,空集和A的並集為A:∀A:A∪Ø=A對任意集合A,空集和A的交集為空集:∀A:A∩Ø=Ø對任意集合A,空集和A的笛卡爾積為空集:∀A:A×Ø=Ø空集的唯一子集是空集本身:∀A:A⊆Ø⊆A=Ø空集的元素個數(即它的勢)為零;特別的，空集是有限的:|Ø|=0對于全集，空集的補集為全集:CuØ=U空集集合論中，兩個集合相等，若它們有相同的元素;那麽僅可能有一個集合是沒有元素的，即空集是唯一的。

考慮到空集是實數線(或任意拓撲空間)的子集，空集既是開集、又是閉集。

空集的邊界點集合是空集，是它的子集，因此空集是閉集。

空集的內點集合也是空集，是它的子集，因此空集是開集。

另外，空集是緊致集合，因為所有的有限集合是緊致的。

空集的閉包是空集。

電腦上按住Alt，再按0216即可打出空集符號Ø。

常見問題空集不是無;它是內部沒有元素的集合，而集合就是有。

這通常是初學者的一個難點。

將集合想象成一個裝有其元素的袋子的想法或許會有幫助;袋子可能是空的，但袋子本身確實是存在的。

空集的符號表示有些人會想不通上述第一條性質，即空集是任意集合A的子集。

按照子集的定義，這條性質是說{}的每個元素x都屬于A。

若這條性質不為真，那{}中至少有一個元素不在A中。

由于{}中沒有元素，也就沒有{}的元素不屬于A了，得到{}的每個元素都屬于A，即{}是A的子集。

公理集合論在諸如策梅羅-弗蘭克爾集合論的公理集合論中，空集的存在性是由空集公理確定的。

空集的唯一性由外延公理得出。

使用分離公理，任何陳述集合存在性的公理將隱含空集公理。

例如:若A是集合，則分離公理允許構造集合B={xinA|x≠x}，它就可以被定義為空集。

運算空集(作為集合)上的運算也可能使人迷惑。

(這是一種空運算。

)例如:空集元素的和為0，而它們的積為1(見空積)。

這可能看上去非常奇怪，空集中沒有元素，他們是怎麽相加和相乘的呢?最終，這些運算的結果更多被看成是運算的問題，而不是空集的。

比如，可以註意到0是加法的單位元，而1是乘法的單位元。

空集和0根據定義，空集有0個元素，或者稱其勢為0。

然而，這兩者的關系可能更進一步:在標準的自然數的集合論定義中，0被定義為空集。

實數0與空集是兩個不同的概念，不能把0或{0}與Φ混為一談。

範疇論若A為集合，則恰好存在從{}到A的函式f，即空函式。

結果，空集是集合和函式的範疇的唯一初始對象。

空集隻能通過一種方式轉變為拓撲空間，即通過定義空集為開集;這個空拓撲空間是有連續對應的拓撲空間的範疇的唯一初始對象。

空集是任何非空集合的真子集。

Ø隻有一個子集，沒有真子集。

{Ø}有兩個子集，一個是Ø一個是它本身定義:不含任何元素的集合稱為空集 一定範圍的，確定的，可以區別的事物，當作一個整體來看待，就叫做集合，簡稱集，其中各事物叫做集合的元素或簡稱元。

如（1）阿Q正傳中出現的不同漢字（2）全體英文大寫字母。

任何集合是它自身的子集.  所以，空集是集合。

因為那個集合隻有一個元素，就是空集。

空集是任何集合的集子。

  任何元素都有集合，不一定是集合就一定是元素，空集沒有元素是集合。

  記住：我們把不含任何元素的集合叫做空集，並規定：空集是任何集合的集子A={1,2,3,4,5}B={1,3,5}c={5,4,3,2,1}例如，"B是A的子集"，意思是B的任何一個元素都是A的元素，即由任一，可以推出，但不能把B是A的子集解釋成B是由A中部分元素所組成的集合.因為B的子集也包括它本身，而這個子集是由B的全體元素組成的.空集也是B的子集，而這個集合中並不含有B中的元素.由此也可看到，把B是A的真子集解釋成B是由A的部分元素組成的集合也是不確切的.正確的說法應該把真子集的兩個特征:"B是A的子集"和"B中至少有一個元素不屬于A"都指出."空集是任何集合的子集"這句話是正確的，但是把空集說成是任何集合的真子集就不確切.因為空集是它本身的子集.正確的說法是"空集是任何非空集合的真子集".總之，對于概念的解釋，語言表達必須確切.再如，"AB是A在全集B中的補集"，不能把它簡單地說成AB是A的補集，因為補集的概念是相對而言的，集合A在不同的全集中的補集是不同的，所以在描述補集概念時，一定要註明是在哪個例如，屬于符號"∈"、不屬于符號"∉"，它們隻能用在元素與集合符號之間;包含符號"⊆"、包含于(被包含)符號"⊇"，它們隻能用在兩​個集合符號之間.對此，必須引起學生充分註意，不能用錯，不要出現把a∈{a}表示成a⊆{a}，或a⊇{a}之類的錯誤。

又如，{0}是含有一個元素的集合，Ø是不含任何元素的集合，因此，有Ø⊆{0}，不能寫成Ø={0}或Ø∈{0}。

關于子集與真子集的記法，教科書中採用的是新的國家標準，與原教科書不盡相同，應該註意。

關于補集，新的國家標準規定，集合A中子集B的補集或餘集記為CAB，如果行文中集合A已經很明確，則常常可以省去符號A，而記為CB。

集合中的補集，簡單的說集合A的補集是沒有意義的。

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