國中數學/國中數學七年級/1-4 指數記法與科學記號 - 维基教科书

6.1 將比1大的數字轉換成科學記號; 6.2 將比1小的數字轉換成科學記號. 7 科學記號的展開. 7.1 大於1的正數展開; 7.2 小於1的正數展開. 8 科學記號的數量級 ... 國中數學/國中數學七年級/1-4指數記法與科學記號 語言 監視 編輯 1 {\displaystylea>1}  時， n {\displaystylen}  愈大， a n {\displaystylea^{n}}  的值就愈大。

例題 3 {\displaystyle3}  計算以下各式的值。

( 1 ) 0.4 3 ( 2 ) ( − 0.4 ) 3 ( 3 ) 0.5 4 ( 4 ) ( − 0.5 ) 4 {\displaystyle{\begin{matrix}(1)&0.4^{3}&(2)&(-0.4)^{3}&(3)&0.5^{4}&(4)&(-0.5)^{4}\end{matrix}}}   解 ( 1 ) 0.4 3 = 0.4 × 0.4 × 0.4 = 0.16 × 0.4 = 0.064 ( 2 ) ( − 0.4 ) 3 = ( − 0.4 ) × ( − 0.4 ) × ( − 0.4 ) = 0.16 × ( − 0.4 ) = − 0.064 ( 3 ) 0.5 4 = 0.5 × 0.5 × 0.5 × 0.5 = 0.25 × 0.5 × 0.5 = 0.125 × 0.5 = 0.0625 ( 4 ) ( − 0.5 ) 4 = ( − 0.5 ) × ( − 0.5 ) × ( − 0.5 ) × ( − 0.5 ) = 0.25 × ( − 0.5 ) × ( − 0.5 ) = ( − 0.125 ) × ( − 0.5 ) = 0.0625 {\displaystyle{\begin{aligned}(1)&0.4^{3}=0.4\times0.4\times0.4=0.16\times0.4=0.064\\(2)&(-0.4)^{3}=(-0.4)\times(-0.4)\times(-0.4)=0.16\times(-0.4)=-0.064\\(3)&0.5^{4}=0.5\times0.5\times0.5\times0.5=0.25\times0.5\times0.5=0.125\times0.5=0.0625\\(4)&(-0.5)^{4}=(-0.5)\times(-0.5)\times(-0.5)\times(-0.5)=0.25\times(-0.5)\times(-0.5)=(-0.125)\times(-0.5)=0.0625\\\end{aligned}}}   小測 答對得到的分數：    錯誤答案減少的分數： 忽略問題的係數： 1.44 {\displaystyle1.44}   14.4 {\displaystyle14.4}   1.44 {\displaystyle1.44}   − 1.44 {\displaystyle-1.44}   14.4 {\displaystyle14.4}   − 14.4 {\displaystyle-14.4}   0.343 {\displaystyle0.343}   34.3 {\displaystyle34.3}   0.343 {\displaystyle0.343}   34.3 {\displaystyle34.3}   − 0.343 {\displaystyle-0.343}   − 34.3 {\displaystyle-34.3}   0.1331 {\displaystyle0.1331}   1.331 {\displaystyle1.331}   − 0.1331 {\displaystyle-0.1331}   − 1.331 {\displaystyle-1.331}   雖然以下兩題都是比較次方數的大小，但是答案卻不盡相同，請讀者好好體會。

例題 4 {\displaystyle4}  在 ( − 0.99 ) 3 , ( − 0.99 ) 4 , ( − 0.99 ) 5 , ( − 0.99 ) 6 {\displaystyle(-0.99)^{3},(-0.99)^{4},(-0.99)^{5},(-0.99)^{6}}  四數當中，哪一個數最大？哪一個數最小？ 解 因為負數的偶數次方為正數，故 ( − 0.99 ) 4 , ( − 0.99 ) 6 {\displaystyle(-0.99)^{4},(-0.99)^{6}}  為正數；負數的奇數次方為負數，故 ( − 0.99 ) 3 , ( − 0.99 ) 5 {\displaystyle(-0.99)^{3},(-0.99)^{5}}  為負數。

而 0.99 < 1 {\displaystyle0.99<1}  ，所以正數的次方愈多就會愈小，所以 ( − 0.99 ) 4 > ( − 0.99 ) 6 {\displaystyle(-0.99)^{4}>(-0.99)^{6}}  ；負數的次方愈多則愈大，故 ( − 0.99 ) 3 < ( − 0.99 ) 5 {\displaystyle(-0.99)^{3} ( − 0.99 ) 6 > ( − 0.99 ) 5 > ( − 0.99 ) 3 {\displaystyle(-0.99)^{4}>(-0.99)^{6}>(-0.99)^{5}>(-0.99)^{3}}  ，最大的數為 ( − 0.99 ) 4 {\displaystyle(-0.99)^{4}}  ，最小的數為 ( − 0.99 ) 3 {\displaystyle(-0.99)^{3}}  。

例題 5 {\displaystyle5}  在 ( − 1.01 ) 3 , ( − 1.01 ) 4 , ( − 1.01 ) 5 , ( − 1.01 ) 6 {\displaystyle(-1.01)^{3},(-1.01)^{4},(-1.01)^{5},(-1.01)^{6}}  四數當中，哪一個數最大？哪一個數最小？ 解 因為負數的偶數次方為正數，故 ( − 1.01 ) 4 , ( − 1.01 ) 6 {\displaystyle(-1.01)^{4},(-1.01)^{6}}  為正數；負數的奇數次方為負數，故 ( − 1.01 ) 3 , ( − 1.01 ) 5 {\displaystyle(-1.01)^{3},(-1.01)^{5}}  為負數。

而 1.01 > 1 {\displaystyle1.01>1}  ，所以正數的次方愈多就會愈大，所以 ( − 1.01 ) 4 < ( − 1.01 ) 6 {\displaystyle(-1.01)^{4} ( − 1.01 ) 5 {\displaystyle(-1.01)^{3}>(-1.01)^{5}}  ，這四個數的大小順序依序為 ( − 1.01 ) 6 > ( − 1.01 ) 4 > ( − 1.01 ) 3 > ( − 1.01 ) 5 {\displaystyle(-1.01)^{6}>(-1.01)^{4}>(-1.01)^{3}>(-1.01)^{5}}  ，最大的數為 ( − 1.01 ) 6 {\displaystyle(-1.01)^{6}}  ，最小的數為 ( − 1.01 ) 5 {\displaystyle(-1.01)^{5}}  。

小測 答對得到的分數：    錯誤答案減少的分數： 忽略問題的係數： 1.44 12 {\displaystyle1.44^{12}}   1.44 13 {\displaystyle1.44^{13}}   1.44 14 {\displaystyle1.44^{14}}   1.44 15 {\displaystyle1.44^{15}}   0.44 12 {\displaystyle0.44^{12}}   0.44 13 {\displaystyle0.44^{13}}   0.44 14 {\displaystyle0.44^{14}}   0.44 15 {\displaystyle0.44^{15}}   ( − 1.69 ) 12 {\displaystyle(-1.69)^{12}}   ( − 1.69 ) 13 {\displaystyle(-1.69)^{13}}   ( − 1.69 ) 14 {\displaystyle(-1.69)^{14}}   ( − 1.69 ) 15 {\displaystyle(-1.69)^{15}}   ( − 0.69 ) 12 {\displaystyle(-0.69)^{12}}   ( − 0.69 ) 13 {\displaystyle(-0.69)^{13}}   ( − 0.69 ) 14 {\displaystyle(-0.69)^{14}}   ( − 0.69 ) 15 {\displaystyle(-0.69)^{15}}   指數與四則運算編輯 在數學式的運算中，有指數必須先算。

如： 3 × 5 2 = 3 × 25 = 75 {\displaystyle3\times5^{2}=3\times25=75}  ，而不是 3 × 5 2 = 15 2 = 225 {\displaystyle3\times5^{2}=15^{2}=225}  。

例題 6 {\displaystyle6}  計算以下各式的值。

( 1 ) 2 4 + ( − 3 ) 3 − 7 2 ( 2 ) [ 20 + ( − 5 ) 2 ] ÷ 5 {\displaystyle{\begin{matrix}(1)&2^{4}+(-3)^{3}-7^{2}\\(2)&[20+(-5)^{2}]\div5\end{matrix}}}   解 ( 1 ) 2 4 + ( − 3 ) 3 − 7 2 = 16 + ( − 27 ) − 49 = 16 + ( − 27 ) + ( − 49 ) = − 60 {\displaystyle{\begin{alignedat}{4}(1)2^{4}+(-3)^{3}-7^{2}&=16+(-27)-49\\&=16+(-27)+(-49)\\&=-60\end{alignedat}}}   ( 2 ) [ 20 + ( − 5 ) 2 ] ÷ 5 = [ 20 + 25 ] ÷ 5 = 45 ÷ 5 = 9 {\displaystyle{\begin{alignedat}{4}(2)[20+(-5)^{2}]\div5&=[20+25]\div5\\&=45\div5\\&=9\end{alignedat}}}   使用計算機計算指數編輯 在工程計算機會有「 x y {\displaystylex^{y}}  」這樣的按鍵。

根據功能的不同也有不同的輸入方式，在大部分的情況都是依序輸入「底數」→「 x y {\displaystylex^{y}}  」→「指數」，不過還是要依據計算機功能來決定。

例如要算 7 4 {\displaystyle7^{4}}  就依序按下「 7 {\displaystyle7}  」→「 x y {\displaystylex^{y}}  」→「 4 {\displaystyle4}  」即可得到螢幕顯示 2401 {\displaystyle2401}  。

如果你只有傳統計算機，你還是可以計算指數為正整數的情形。

只要依序按下「底數」→「 × {\displaystyle\times}  」→「底數」→「 = {\displaystyle=}  」→ ⋯ {\displaystyle\cdots}  →「 = {\displaystyle=}  」，按「 = {\displaystyle=}  」的次數取決於指數數字，要按下「指數 − 1 {\displaystyle-1}  」次。

例如要算 7 4 {\displaystyle7^{4}}  就依序按下「 7 {\displaystyle7}  」→「 × {\displaystyle\times}  」→「 7 {\displaystyle7}  」→「 = {\displaystyle=}  」→「 = {\displaystyle=}  」→「 = {\displaystyle=}  」(共 4 − 1 = 3 {\displaystyle4-1=3}  次「 = {\displaystyle=}  」)即可得到螢幕顯示 2401 {\displaystyle2401}  。

因為螢幕顯示的數字具有上限的限制，故有時計算的結果為近似值。

如「 2 100 {\displaystyle2^{100}}  」實際上是「 1 , 267 , 650 , 600 , 228 , 229 , 401 , 496 , 703 , 205 , 376 {\displaystyle1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376}  」，但用計算機計算「 2 100 {\displaystyle2^{100}}  」可能會出現「 1.2676506 × 10 30 {\displaystyle1.2676506\times10^{30}}  」或「 12676506 E + 30 {\displaystyle12676506E+30}  」的字樣。

那這代表的意思為何？我們會在底下的科學記號做進一步的說明。

指數的應用編輯 林多紙草書第79題[課外連結1] 草履蟲的無性生殖[課外連結2]。

在恰當的環境下，每次分裂1隻可以分裂成2隻，再一次分裂就會從2隻變4隻，再一次分裂就會從4隻變8隻，……，所以經過 n {\displaystylen}  次分裂，原本1隻草履蟲會變成 2 n {\displaystyle2^{n}}  隻草履蟲。

如果能夠摺一張厚度 0.1 {\displaystyle0.1}  毫米的紙 42 {\displaystyle42}  次，那麼就可以抵達月球。

10的次方編輯 比較值得一提的是 10 {\displaystyle10}  的次方。

底下列出一些常用 10 {\displaystyle10}  的次方數。

10 {\displaystyle10}  的次方數 代表數字 中文 10 0 {\displaystyle10^{0}}   1 {\displaystyle1}   一 10 1 {\displaystyle10^{1}}   10 {\displaystyle10}   十 10 2 {\displaystyle10^{2}}   100 {\displaystyle100}   百 10 3 {\displaystyle10^{3}}   1000 {\displaystyle1000}   千 10 4 {\displaystyle10^{4}}   10000 {\displaystyle10000}   萬 10 5 {\displaystyle10^{5}}   100000 {\displaystyle100000}   十萬 10 6 {\displaystyle10^{6}}   1000000 {\displaystyle1000000}   百萬 10 7 {\displaystyle10^{7}}   10000000 {\displaystyle10000000}   千萬 10 8 {\displaystyle10^{8}}   100000000 {\displaystyle100000000}   億 10 12 {\displaystyle10^{12}}   1000000000000 {\displaystyle1000000000000}   兆 可以看得出來， 10 n {\displaystyle10^{n}}  的值等於 1 {\displaystyle1}  後面有 n {\displaystylen}  個 0 {\displaystyle0}  。

另外 10 − n {\displaystyle10^{-n}}  代表 1 10 n {\displaystyle{\frac{1}{10^{n}}}}  ，也就是所謂的十分位、百分位……等數。

10 {\displaystyle10}  的次方數 代表分數 代表小數 位值 10 − 1 {\displaystyle10^{\color{blue}-1}}   1 1 0 {\displaystyle{\frac{1}{1{\color{blue}0}}}}   0. 1 {\displaystyle{\color{blue}0.}1}   十分位 10 − 2 {\displaystyle10^{\color{blue}-2}}   1 1 00 {\displaystyle{\frac{1}{1{\color{blue}00}}}}   0.0 1 {\displaystyle{\color{blue}0.0}1}   百分位 10 − 3 {\displaystyle10^{\color{blue}-3}}   1 1 000 {\displaystyle{\frac{1}{1{\color{blue}000}}}}   0.00 1 {\displaystyle{\color{blue}0.00}1}   千分位 10 − 4 {\displaystyle10^{\color{blue}-4}}   1 1 0000 {\displaystyle{\frac{1}{1{\color{blue}0000}}}}   0.000 1 {\displaystyle{\color{blue}0.000}1}   萬分位 注意藍色鋪底的 0 {\displaystyle0}  數量，恰好等於次方數 − n {\displaystyle-n}  的絕對值。

例題 7 {\displaystyle7}   ( 1 ) 1 10000000 = 10 ◻ {\displaystyle(1){\frac{1}{10000000}}=10^{\Box}}  ，請問 ◻ {\displaystyle\Box}  要填入多少？ ( 2 ) 0.00000000001 = 10 ◻ {\displaystyle(2)0.00000000001=10^{\Box}}  ，請問 ◻ {\displaystyle\Box}  要填入多少？ 解 ( 1 ) 1 1 0000000 {\displaystyle(1){\frac{1}{1{\color{blue}0000000}}}}  有 7 {\displaystyle7}  個零，所以 1 1 0000000 {\displaystyle{\frac{1}{1{\color{blue}0000000}}}}  代表 10 − 7 {\displaystyle10^{\color{blue}-7}}  ，即 ◻ = − 7 {\displaystyle\Box=-7}  。

( 2 ) 0.0000000000 1 {\displaystyle(2){\color{blue}0.0000000000}1}  有 11 {\displaystyle11}  個零，所以 0.0000000000 1 {\displaystyle{\color{blue}0.0000000000}1}  代表 10 − 11 {\displaystyle10^{\color{blue}-11}}  ，即 ◻ = − 11 {\displaystyle\Box=-11}  。

科學記號編輯 在科學上常常會遇到一些很大的數或是很小的數。

比如說地球的質量大約為 5972000000000000000000000 {\displaystyle5972000000000000000000000}  公斤[註4]，又如大腸桿菌的長度大小大約是 0.0000015 {\displaystyle0.0000015}  公尺[註5]。

這樣很大的數或很小的數如果一直重複抄寫，很容易會多寫一個 0 {\displaystyle0}  或少寫一個 0 {\displaystyle0}  導致數據的不正確，於是將這些數字有一個統一的表示法就相當重要了。

將一個整數 m {\displaystylem}  寫成 a × 10 n {\displaystylea\times10^{n}}  [註6]，其中 a {\displaystylea}  介於 1 {\displaystyle1}  到 10 {\displaystyle10}  之間(可以等於 1 {\displaystyle1}  但不能等於 10 {\displaystyle10}  [註7])， n {\displaystylen}  為整數，我們稱 a × 10 n {\displaystylea\times10^{n}}  為 m {\displaystylem}  的科學記號表示法。

如 50000 = 5 × 10000 = 5 × 10 4 {\displaystyle50000=5\times10000=5\times10^{4}}  ， 5 × 10 4 {\displaystyle5\times10^{4}}  是一個科學記號的表示法。

而 37 × 10 4 {\displaystyle37\times10^{4}}  不是科學記號表示法，因為 37 {\displaystyle37}  超過 10 {\displaystyle10}  ； 4.5 × 10 1.3 {\displaystyle4.5\times10^{1.3}}  也不是科學記號表示法，因為 1.3 {\displaystyle1.3}  不是整數[註8]。

那要怎麼把一個正數表示為科學記號呢？ 將比1大的數字轉換成科學記號編輯 首先注意 a × 10 n {\displaystylea\times10^{n}}  就代表 a {\displaystylea}  的小數點往右移動 n {\displaystylen}  位。

如 2 . 345 × 1 000000 = 2 | 345000 . {\displaystyle2{\color{red}.}345\times1{\color{blue}000000}=2{\color{red}|}{\color{blue}345000}{\color{red}.}}  ，所以想要找出 a {\displaystylea}  ，只需要反著作，也就是將小數點往左移動到範圍為 1 {\displaystyle1}  到 10 {\displaystyle10}  之間，可以等於 1 {\displaystyle1}  但不能等於 10 {\displaystyle10}  。

我們以 23450000 {\displaystyle23450000}  來作例子，因為 2 | 3450000 . {\displaystyle2{\color{red}|}{\color{blue}3450000}{\color{red}.}}  ，故 a = 2.345 {\displaystyle{\color{red}a=2.345}}  ；藍色數字總共有 7 {\displaystyle{\color{blue}7}}  個，而且是向左移動，故 23450000 = 2.345 × 10 7 {\displaystyle23450000={\color{red}2.345}\times10^{\color{blue}7}}  。

例題 8 {\displaystyle8}  請寫出以下各數的科學記號。

( 1 ) 2750000 ( 2 ) 48000000 {\displaystyle{\begin{matrix}(1)&2750000&(2)&48000000\end{matrix}}}   解 ( 1 ) 2750000 = 2 | 750000 = 2.75 × 10 6 {\displaystyle{\begin{matrix}(1)&2750000&\\=&2|750000&\\=&2.75\times10^{6}&\end{matrix}}}   ( 2 ) 48000000 = 4 | 8000000 = 4.8 × 10 7 {\displaystyle{\begin{matrix}(2)&48000000&\\=&4|8000000&\\=&4.8\times10^{7}&\end{matrix}}}   將比1小的數字轉換成科學記號編輯 再來我們要學習如何將比 1 {\displaystyle1}  小的數字換成科學記號。

首先注意 a × 10 − n {\displaystylea\times10^{-n}}  就代表 a × 1 10 n {\displaystylea\times{\frac{1}{10^{n}}}}  ，也就是 a {\displaystylea}  的小數點往左移動 n {\displaystylen}  位。

如 2 . 345 × 1 1 00000 = 0 . 00002 | 345 {\displaystyle2{\color{red}.}345\times{\frac{1}{1{\color{blue}00000}}}=0{\color{red}.}{\color{blue}00002}{\color{red}|}345}  ，所以想要找出 a {\displaystylea}  ，只需要反著作，也就是將小數點往右移動到範圍為 1 {\displaystyle1}  到 10 {\displaystyle10}  之間，可以等於 1 {\displaystyle1}  但不能等於 10 {\displaystyle10}  。

我們以 0.00002345 {\displaystyle0.00002345}  來作例子，因為 0 . 00002 | 345 {\displaystyle0{\color{red}.}{\color{blue}00002}{\color{red}|}345}  ，故 a = 2.345 {\displaystyle{\color{red}a=2.345}}  ；藍色數字總共有 5 {\displaystyle{\color{blue}5}}  個，而且是向右移動，故 0.00002345 = 2.345 × 10 − 5 {\displaystyle0.00002345={\color{red}2.345}\times10^{\color{blue}-5}}  。

例題 9 {\displaystyle9}  請寫出以下各數的科學記號。

( 1 ) 0.000007 ( 2 ) 0.000000924 {\displaystyle{\begin{matrix}(1)&0.000007&(2)&0.000000924\end{matrix}}}   解 ( 1 ) 0.000007 = 0.000007 | = 7 × 10 − 6 {\displaystyle{\begin{matrix}(1)&0.000007&\\=&0.000007|&\\=&7\times10^{-6}&\end{matrix}}}   ( 2 ) 0.000000924 = 0.0000009 | 24 = 9.24 × 10 − 7 {\displaystyle{\begin{matrix}(2)&0.000000924&\\=&0.0000009|24&\\=&9.24\times10^{-7}&\end{matrix}}}   習題 請寫出以下各數的科學記號。

( 1 ) 900000 ( 2 ) 58700000 ( 3 ) 0.000023 ( 4 ) 0.000000000314 {\displaystyle{\begin{matrix}(1)&900000&&(2)&58700000&&(3)&0.000023&&(4)&0.000000000314\end{matrix}}}  [習題解答1] 科學記號的展開編輯 科學記號要還原回原本的數字，只要直接乘開即可。

，也可以用移動小數點的方式計算。

大於1的正數展開編輯 如 2.345 × 10 7 = 2.345 × 10000000 = 23450000 {\displaystyle2.345\times10^{7}=2.345\times10000000=23450000}  ，也可以將小數點往左移動 7 {\displaystyle7}  格。

在這邊你可以注意一下 2.345 × 10 7 = 23450000 {\displaystyle2.345\times10^{\color{blue}7}=23450000}  是一個 8 {\displaystyle{\color{blue}8}}  位數。

例題 10 {\displaystyle10}  乘開以下科學記號。

( 1 ) 7.3 × 10 3 ( 2 ) 5.734 × 10 7 {\displaystyle{\begin{matrix}(1)&7.3\times10^{3}&(2)&5.734\times10^{7}\end{matrix}}}   解 ( 1 ) {\displaystyle(1)}  方法一、直接乘開： 7.3 × 10 3 = 7.3 × 1000 = 7300 {\displaystyle7.3\times10^{3}=7.3\times1000=7300}  。

( 1 ) {\displaystyle{\color{white}(1)}}  方法二、移動小數點： 7.3 × 10 3 {\displaystyle7.3\times10^{\color{red}3}}  ，將 7.3 {\displaystyle7.3}  往右移動 3 {\displaystyle{\color{red}3}}  位為 7 | 300. {\displaystyle7{\color{red}|300.}}  。

( 2 ) {\displaystyle(2)}  方法一、直接乘開： 5.734 × 10 7 = 5.734 × 10000000 = 57340000 {\displaystyle5.734\times10^{7}=5.734\times10000000=57340000}  。

( 2 ) {\displaystyle{\color{white}(2)}}  方法二、移動小數點： 5.734 × 10 7 {\displaystyle5.734\times10^{\color{red}7}}  ，將 5.734 {\displaystyle5.734}  往右移動 7 {\displaystyle{\color{red}7}}  位為 5 | 7340000. {\displaystyle5{\color{red}|7340000.}}  。

習題 展開下列各式，並觀察它們整數部分是幾位數。

題號 科學記號 展開的結果 整數部分為幾位數 ( 1 ) {\displaystyle(1)}   4.5 × 10 3 {\displaystyle4.5\times10^{\color{blue}3}}   ( 2 ) {\displaystyle(2)}   4.5 × 10 4 {\displaystyle4.5\times10^{\color{blue}4}}   ( 3 ) {\displaystyle(3)}   7.34 × 10 6 {\displaystyle7.34\times10^{\color{blue}6}}   ( 4 ) {\displaystyle(4)}   7.34 × 10 7 {\displaystyle7.34\times10^{\color{blue}7}}   [習題解答2]你有發現什麼嗎？最後一行的數字和藍色數字有什麼關係？ 小於1的正數展開編輯 又如 2.345 × 10 − 5 = 2.345 × 0.00001 = 0.00002345 {\displaystyle2.345\times10^{-5}=2.345\times0.00001=0.00002345}  。

也可以將小數點往右移動 5 {\displaystyle5}  格。

例題 11 {\displaystyle11}  乘開以下科學記號。

( 1 ) 7.3 × 10 − 3 ( 2 ) 5.734 × 10 − 7 {\displaystyle{\begin{matrix}(1)&7.3\times10^{-3}&(2)&5.734\times10^{-7}\end{matrix}}}   解 ( 1 ) {\displaystyle(1)}  方法一、直接乘開： 7.3 × 10 − 3 = 7.3 × 0.001 = 0.0073 {\displaystyle7.3\times10^{-3}=7.3\times0.001=0.0073}  。

( 1 ) {\displaystyle{\color{white}(1)}}  方法二、移動小數點： 7.3 × 10 − 3 {\displaystyle7.3\times10^{\color{green}-3}}  ，將 7.3 {\displaystyle7.3}  往左移動 3 {\displaystyle{\color{green}3}}  位為 0 .007 | 3 {\displaystyle0{\color{green}.007|}3}  。

( 2 ) {\displaystyle(2)}  方法一、直接乘開： 5.734 × 10 − 7 = 5.734 × 0.0000001 = 0.0000005734 {\displaystyle5.734\times10^{-7}=5.734\times0.0000001=0.0000005734}  。

( 2 ) {\displaystyle{\color{white}(2)}}  方法二、移動小數點： 5.734 × 10 − 7 {\displaystyle5.734\times10^{\color{green}-7}}  ，將 5.734 {\displaystyle5.734}  往左移動 7 {\displaystyle{\color{green}7}}  位為 0 .0000005 | 734 {\displaystyle0{\color{green}.0000005|}734}  。

習題 展開下列各式，並觀察它們小數點後第幾位開始出現不為 0 {\displaystyle0}  的數字。

題號 科學記號 展開的結果 小數點後第幾位開始出現不為 0 {\displaystyle0}  的數字 ( 1 ) {\displaystyle(1)}   4.5 × 10 − 3 {\displaystyle4.5\times10^{\color{green}-3}}   ( 2 ) {\displaystyle(2)}   4.5 × 10 − 4 {\displaystyle4.5\times10^{\color{green}-4}}   ( 3 ) {\displaystyle(3)}   7.34 × 10 − 6 {\displaystyle7.34\times10^{\color{green}-6}}   ( 4 ) {\displaystyle(4)}   7.34 × 10 − 7 {\displaystyle7.34\times10^{\color{green}-7}}   [習題解答3]你有發現什麼嗎？最後一行的數字和綠色數字的絕對值有什麼關係？ 科學記號的數量級編輯 若 a × 10 n {\displaystylea\times10^{n}}  是科學記號，則 10 n {\displaystyle10^{n}}  稱為 a × 10 n {\displaystylea\times10^{n}}  的數量級。

如 23450000 = 2.345 × 10 7 {\displaystyle23450000=2.345\times10^{7}}  ，則稱 10 7 {\displaystyle10^{7}}  為 23450000 = 2.345 × 10 7 {\displaystyle23450000=2.345\times10^{7}}  的數量級。

由前面科學記號的展開，我們可以發現數量級與數的關聯性為： 若 n {\displaystylen}  是 0 {\displaystyle0}  或正整數，則 a × 10 n {\displaystylea\times10^{n}}  的整數部分為 n + 1 {\displaystylen+1}  位數。

若 n {\displaystylen}  是負整數，則 a × 10 n {\displaystylea\times10^{n}}  小數點後第 | n | {\displaystyle|n|}  位開始不是 0 {\displaystyle0}  。

例題 12 {\displaystyle12}   ( 1 ) 3.89 × 10 15 {\displaystyle(1)3.89\times10^{15}}  乘開之後，在小數點與第一個非零數字 9 {\displaystyle9}  之間總共有幾個零？ ( 2 ) 7.47 × 10 − 13 {\displaystyle(2)7.47\times10^{-13}}  乘開之後，小數點後第 15 {\displaystyle15}  位是多少？ 解 ( 1 ) 3.89 × 10 15 {\displaystyle(1)3.89\times10^{15}}  乘開之後是 15 + 1 = 16 {\displaystyle15+1=16}  位數，而其中 3 , 8 , 9 {\displaystyle3,8,9}  占了三個位數，所以會有 16 − 3 = 13 {\displaystyle16-3=13}  個零。

( 2 ) 7.47 × 10 − 13 {\displaystyle(2)7.47\times10^{-13}}  乘開之後，小數點後第 13 {\displaystyle13}  位不是 0 {\displaystyle0}  ，是 7 {\displaystyle7}  ，所以小數點後第 14 {\displaystyle14}  位是 4 {\displaystyle4}  ，小數點後第 15 {\displaystyle15}  位是 7 {\displaystyle7}  。

將不是科學記號的數轉換成科學記號編輯 將一個不是科學記號的數，如 37 × 10 21 {\displaystyle37\times10^{21}}  轉換成科學記號，應該要怎麼做呢？我們底下舉例說明： 例題 13 {\displaystyle13}  將以下各數寫成科學記號。

( 1 ) 37 × 10 21 ( 2 ) 0.00057 × 10 12 ( 3 ) 45000 × 10 − 15 ( 4 ) 0.0000634 × 10 − 17 {\displaystyle{\begin{matrix}(1)&37\times10^{21}&(2)&0.00057\times10^{12}\\(3)&45000\times10^{-15}&(4)&0.0000634\times10^{-17}\end{matrix}}}   解 ( 1 ) 37 × 10 21 {\displaystyle(1)37\times10^{21}}  要將 37 {\displaystyle37}  的小數點向左移動 1 {\displaystyle1}  位變成 3 .7 | {\displaystyle3{\color{red}.7|}}  ，因為是向左移動，所以次方數加1， 37 × 10 21 = 3.7 × 10 21 + 1 = 3.7 × 10 22 {\displaystyle37\times10^{21}=3.7\times10^{21{\color{red}+1}}=3.7\times10^{22}}  。

( 2 ) 0.00057 × 10 12 {\displaystyle(2)0.00057\times10^{12}}  要將 0.00057 {\displaystyle0.00057}  的小數點向右移動 4 {\displaystyle4}  位變成 0 | 0005 .7 {\displaystyle0{\color{blue}|0005}.7}  ，因為是向右移動，所以次方數減4， 0.00057 × 10 12 = 5.7 × 10 21 − 4 = 5.7 × 10 17 {\displaystyle0.00057\times10^{12}=5.7\times10^{21{\color{blue}-4}}=5.7\times10^{17}}  。

( 3 ) 45000 × 10 − 15 {\displaystyle(3)45000\times10^{-15}}  要將 45000 {\displaystyle45000}  的小數點向左移動 4 {\displaystyle4}  位變成 4 .5000 | {\displaystyle4{\color{red}.5000|}}  ，因為是向左移動，所以次方數加4， 45000 × 10 − 15 = 4.5 × 10 − 15 + 4 = 4.5 × 10 − 11 {\displaystyle45000\times10^{-15}=4.5\times10^{-15{\color{red}+4}}=4.5\times10^{-11}}  。

( 4 ) 0.0000634 × 10 − 17 {\displaystyle(4)0.0000634\times10^{-17}}  要將 0.0000634 {\displaystyle0.0000634}  的小數點向右移動 5 {\displaystyle5}  位變成 0 | 00006 .34 {\displaystyle0{\color{blue}|00006}.34}  ，因為是向右移動，所以次方數減5， 0.0000634 × 10 − 17 = 6.34 × 10 − 17 − 5 = 6.34 × 10 − 22 {\displaystyle0.0000634\times10^{-17}=6.34\times10^{-17{\color{blue}-5}}=6.34\times10^{-22}}  。

科學記號的大小編輯 科學記號的大小比較：若 a × 10 m {\displaystylea\times10^{m}}  與 b × 10 n {\displaystyleb\times10^{n}}  皆是科學記號，則： 先比較 m {\displaystylem}  與 n {\displaystylen}  的大小。

如果 m , n {\displaystylem,n}  一樣大，則再比較 a {\displaystylea}  、 b {\displaystyleb}  的大小。

例子如下。

例題 14 {\displaystyle14}  比較以下各題的大小，在 ◻ {\displaystyle\Box}  填入 > {\displaystyle>}  或 < {\displaystyle 13 {\displaystyle15{\color{red}>}13}  ，所以 7.3 × 10 15 > 9.4 × 10 13 {\displaystyle7.3\times10^{15}{\color{red}>}9.4\times10^{13}}  ， ◻ {\displaystyle\Box}  填入 > {\displaystyle>}  。

( 2 ) {\displaystyle(2)}  雖然 10 {\displaystyle10}  的次方數 − 22 = − 22 {\displaystyle-22=-22}  但 5.73 < 6.37 {\displaystyle{\color{blue}5.73<6.37}}  ，所以 5.73 × 10 − 22 < 6.37 × 10 − 22 {\displaystyle5.73\times10^{-22}{\color{blue}