國中數學3 4 2配方法與公式解 - 9lib TW

4−2 配方法與公式解. 本節課程學習重點： ◎用平方根的概念解形如x2 = (k k≥0)及(ax b± )2 = (c a≠0，c≥0)的一元二次方程式。

◎利用配方法解形如x2+ax b+ = 的 ... menu menu Loading... Home &nbsp 其他 國中數學342配方法與公式解 12  76  Download (0) 顯示更多(11頁) 顯示更多(頁) 立即下載(12頁) 全文 (1)4−2配方法與公式解 本節課程學習重點：  ◎用平方根的概念解形如x2=(kk≥0)及(axb±)2=(ca≠0，c≥0)的一元二次方程式。

◎利用配方法解形如x2+axb+=的一元二次方程式。

0 ◎能理解ax2+bxc+=與0kax(2+bxc+=的解完全相同。

)0 ◎能以配方法導出一元二次方程式的公式解。

◎能由判別式知道一元二次方程式解的性質為兩相異根、兩根相同或無解。

◎能利用公式解求一元二次方程式的解。

一、利用平方根概念解一元二次方程式： 可以利用平方根的概念，解形如2 x=(kk≥0)及(axb±)2=(ca≠0，c>0)的一元二次方程式。

【說明】例如：(1)29 x=，x=±9=±，所以方程式的解為3和－3。

3 (2)(2x＋3)2＝8，2x＋3＝±22，x＝32 2 −± ，所以方程式的解為32 2 −+ 和32 2 −− 。

練習1：解下列各一元二次方程式。

(1)x2＝25(2)(x＋3)2＝16(3)(x＋1)2＝2 練習2：解下列各一元二次方程式。

(1)x2＝121(2)(x－4)2＝25(3)(x－2)2＝3 練習3：解下列各一元二次方程式。

(1)(x＋7)2－3＝0(2)(2x－3)2－7＝4 練習4：解下列各一元二次方程式。

(1)(x－3)2－23＝0(2)(3x＋5)2－15＝2 (2)二、利用配方法解一元二次方程式：(無法用前面學過的因式分解法來求解時，常用配方法來求解。

) ◎完全平方式：若能將一元二次方程式整理成形如(ax＋b)2的式子(a≠0)即稱為完全平方式。

◎配方法：利用和的平方公式(或差的平方公式)，將一個式子配成完全平方式的方法，稱為配方法。

◎將x2＋px配成完全平方式：將形如x2＋px的式子加上(p2)2，可以配成完全平方式。

【說明】x2＋px加上(p2)2可配成完全平方式，即x2＋px＋(p2)2＝(x＋p2)2； x2－px加上(p2)2可配成完全平方式，即x2－px＋(p2)2＝(x－p2)2。

例如：x2＋14x＋(142)2＝x2＋14x＋72＝(x＋7)2。

  【觀念釐清】配方時，加「一次項係數一半的平方」，即可使形如x2＋px的式子配成完全平方式。

練習5：分別找出適當的數填入空格中，使下列各式變成完全平方式。

(1)x2＋12x＋□＝(x＋△)2 (2)x2－10x＋□＝(x－△)2 (3)x2－7x＋□＝(x－△)2 (4)x2＋13x＋□＝(x＋△)2 練習6：分別找出適當的數填入空格中，使下列各式變成完全平方式。

(1)x2＋18x＋□＝(x＋△)2 (2)x2－6x＋□＝(x－△)2 (3)x2＋15x＋□＝(x＋△)2 (4)x2－7 3x＋□＝(x－△)2 ◎利用配方法解一元二次方程式的步驟如下：  (1)利用等量公理使x2項的係數變為1。

(2)將方程式整理為x2＋mx＝c的形式。

(3)等號兩邊同加(m2)2。

(4)等號左邊配成完全平方式。

(5)利用平方根概念解出x。

  【說明】例如：3x2＋6x－6＝0⇒x2＋2x－2＝0⇒x2＋2x＝2⇒x2＋2＋(2 2)2＝2＋( 2 2)2  ⇒(x＋1)2＝3⇒x＋1＝±3，x＝－1±3。

練習7：解一元二次方程式x2＝x＋1。

(3)練習8：解下列各一元二次方程式。

(1)x2－10x＝－3(2)x2＝2－5x 【觀念釐清】一元二次方程式中，常數項的絕對值很大時，不容易用十字交乘法來解，這類的方程式 就常用配方法求解。

練習9：解一元二次方程式x2－4x－396＝0。

練習10：解一元二次方程式x2－6x＝891。

練習11：解下列各一元二次方程式。

(1)3x2－5x＋1＝0(2)－2x2＋3x＋1＝0 練習12：解下列各一元二次方程式。

(1)2x2－8x＋3＝0(2)－2x2＋x＋4＝0 練習13：以配方法解一元二次方程式x2＋10x＋a＝0，可得x＝－5±11，則a為多少？ (Hint：還原法，比較係數。

) (4)練習14：以配方法解一元二次方程式x2－8x＋b＝0，可得x＝4±7，則b為多少？ 三、利用公式解求一元二次方程式的解： ◎利用配方法解一元二次方程式ax2＋bx＋c＝0的步驟如下：  (1)等號兩邊同除以a，使x2項係數為1。

(2)將常數項c a移到等號右邊。

(3)等號兩邊同時加(2a)b2。

(4)將等號左邊配成完全平方式。

  【說明】x2＋b ax＋ c a＝0⇒x 2 ＋b ax＝－ c a⇒x 2 ＋b ax＋( b 2a)2＝－ c a＋( b 2a)2 ⇒(x＋2a)b2＝－4ac＋b 2 4a2＝ b2－4ac 4a2(此時須假設b2－4ac≧0) ⇒x＋2a＝±bb 2－4ac 4a2＝± b2－4ac 4a2＝± b2－4ac 2a ⇒x＝－2a±bb 2－4ac 2a，x＝ －b±b2－4ac 2a。

◎一元二次方程式的公式解： 當a≠0且b2－4ac≧0，一元二次方程式ax2＋bx＋c＝0的公式解為x＝－b±b 2－4ac 2a。

【說明】解x2－6x＋3＝0時，令a＝1、b＝－6、c＝3， 利用公式解可得x＝－(－6)±(－6) 2－4×1×3 2×1＝ 6±24 2＝3±6。

◎一元二次方程式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判別式b2－4ac與方程式的解： (1)當b2－4ac＞0時，方程式有兩個相異的根，兩根為x＝－b±b 2－4ac 2a。

(2)當b2－4ac＝0時，方程式的兩根相等，此時稱x＝－2a為重根。

b (3)當b2－4ac＜0時，方程式無解。

【說明】在前面討論公式解時，假設b2－4ac≧0，得到x＝－b±b 2－4ac 2a。

其實，方程式的公式解可以分別由判別式b2－4ac為正數、0或負數來討論： (1)當b2－4ac＞0時，方程式的兩根為x＝－b＋b 2－4ac 2a和x＝ －b－b2－4ac 2a， 即方程式有兩個相異的根。

(2)當b2－4ac＝0時，方程式的兩根為x＝－b±b 2－4ac 2a＝ －b±0 2a＝－ b 2a， 即方程式的兩根相等，此時稱x＝－2a為重根。

b (3)當b2－4ac＜0時，因為4a2＞0，所以b 2－4ac 4a2＜0，得方程式(x＋ b 2a)2＝ b2－4ac 4a2＜0。

目前學過的任意數，其平方都不是負數，因此在b2－4ac＜0的情況下，此方程式無解。

(5)練習15：利用判別式判斷下列各方程式解的情形。

(1)4x2＋2x＋14＝0(2)2x2－9x＋5＝0(3)x2＋x＋1＝0 練習16：利用公式解求下列一元二次方程式的解。

(1)5x2－13x＋7＝0(2)3x2＋7x＝－2 練習17：利用公式解求下列一元二次方程式的解。

(1)x2＋8x＋12＝0(2)3x2＋5x＝7 練習18：利用公式解求下列一元二次方程式的解。

(1)x2＋22x＋121＝0(2)2x2＋3x＋4＝0 練習19：利用公式解求下列一元二次方程式的解。

(1)x2＋x＋14＝0(2)x2－4x＋5＝0 練習20：利用公式解求一元二次方程式－2x2＋3x＋1＝0的解。

(6)練習21：已知x的一元二次方程式x2－10x＋5m＋10＝0有重根，求m之值及此方程式的解。

練習22：已知x的一元二次方程式x2－8x＋3m＋7＝0有重根，求m之值及此方程式的解。

【觀念釐清】解一元二次方程式的方法有：因式分解(提出公因式、乘法公式、十字交乘法)、配方法和 公式解，只要根據題型選擇適當的方法，即能順利求出一元二次方程式的解。

◎補充：根與係數關係(韋達定理)：設一元二次方程式ax2＋bx＋c＝0的兩根為α、β，則 (1)兩根之和αβ+＝－ba。

(2)兩根之積αβ＝c a。

【說明】因為x2bxc(x)(x)x2()x aaαβαβαβ ++=−−=−++，比較係數可知αβ+＝－ba，αβ＝c a。

自我評量 1.已知下列各式都是完全平方式，試求出a、b的值。

(1)x2＋18x＋＝(x＋)2 (2)x2－x＋＝(x－)2 2.解下列各一元二次方程式。

(1)(x＋3)2＝19 (2)(3x－2)2－16＝0 (3)2x2－8x－1792＝0 (4)3x2＋5x＋1＝0 (5)9x2＋4＝12x (6)－3x2－6x＋6＝2x2－x＋2 (7)3.利用判別式判斷下列各方程式解的情形。

(A)5x2－13x＋8＝0(B)25x2＋1＝10x(C)12x－3x2＝5(D)15x2＝－27x＋4 (1)有相異兩根：。

(2)有重根：。

(3)無解：。

4.已知一元二次方程式ax2－(a＋1)x＋1＝0有重根，試求a的值及此方程式的解。

習作 1.解下列各一元二次方程式。

(1)3x2＝21(2)(x－3)2＝25(3)(3x－2)2－18＝0(4)16(3x－2)2＝1 2.若5是x的一元二次方程式(x＋a)2＝36的一個解，則a＝。

3.在下列空格中填入適當的數，使式子成為完全平方式。

(1)x2＋24x＋＝(x＋)2 (2)x2－5 3x＋＝(x－)2 4.利用配方法解下列各一元二次方程式。

(1)x2＋4x＋1＝0(2)－x2－5x＋11＝0(3)2x2＋7x＋2＝0(4)x(x－8)＝1584 (8)5.以配方法解一元二次方程式2x2＋px－3＝0，可得x＝－1±102，則p為多少？ 6.利用判別式判斷下列各方程式解的情形。

(A)－2x2－x＋1＝0(B)x2＋x＋1＝0(C)4x2＋20x＋25＝0(D)x2＋x－1＝0 (1)有相異兩根：。

(2)有重根：。

(3)無解：。

7.利用公式解求下列各一元二次方程式的解。

(1)x2＋2x＋3＝0(2)4x2＋12x＝－9(3)－x2＋2x＋1＝0(4)1 3x2－ 1 6x－5＝0 8.已知下列各式都是完全平方式，試求出a、b的值。

(1)9x2＋ax＋16 (2)bx2－30x＋9 9.解一元二次方程式x2－6x＋7＝0得兩根為a與b，則ab＝？ 10.已知x的二次方程式mx2－3mx＋9＝0有重根，求m的值及此方程式的解。

(9)類題補充 1.若方程式5x2－6x＋p＝0可推得x－3 5＝± 19 5，則p＝。

2.一元二次方程式x2－x－1＝0，若x＞0，則x＝？ 3.若x2＋ax－1＝0可以寫成(x＋3 2)2＝b，則a＋b的值為何？ 4.設α、β為方程式5x2＋6x－3＝0的兩根，則α×β的值為多少？ 5.二次方程式ax2＋x＋c＝0的二根為2、－1，則a－c是多少？ 6.已知a、b、c為整數且x的一元二次方程式ax2－bx＋c＝0可以用十字交乘因式分解的方法求得兩根， 那麼b2－4ac可能為下列何數？(A)－16(B)24(C)60(D)121。

7.若4x2－(m－2)x＋49為一完全平方式，則m＝？ (10)8.設－4＋215為二次式5x2－bx－1＝0之一根，則b＝？ 9.設k是常數，若x2－(k－1)x＋1＝0的解是二重根，則k值為？ 10.若方程式ax2＋x＋c＝0有重根為2，則a＋c＝？ 11.將－3x2＋6x－1化為a(x－1)2＋b的形式，則a＋b＝？ 12.當x＝1＋20082，則(4x3－2011x－2009)3＝？ 13.設a為x2－2x－4＝0的正根，b是x2－4x－1＝0的負根，則a＋b＝？ 14.若方程式5x2＋7x－2＝0的兩根為m、n，則m¯n＋m＋n＝？ (11)加強練習  1.分解9x2－30x＋□＝(3x－△)2，則下列何者正確？ (A)□＝100(B)□＝16(C)△＝4(D)△＝5。

2.下列是用配方法解4x2＋5x－3＝0的過程，哪一個步驟開始發生錯誤？ 第一步：x2＋54x＝34； 第二步：x2＋54x＋(52)2＝34＋(52)2； 第三步：(x＋52)2＝284； 第四步：x＋52＝±7，得x＝－52±7。

(A)第一步(B)第二步(C)第三步(D)第四步。

3.將x2＋b ax配成完全平方式時，須再加上下列何者？(A) b 2a(B) b2 a2(C) b2 2a2(D) b2 4a2。

4.方程式x2＋ax＋1＝0和x2－x－a＝0有相同實根之a值有幾個？(A)1(B)2(C)3(D)4。

5.方程式3x2－5x－1＝0的兩根為何？(A)無解(B)一正根一負根(C)二負根(D)二正根。

6.利用配方法解3x2＋16x－9＝0，得x＝－8±m3，則整數m＝？ 7.已知x2＋4x＋b＝0可配方成(x＋a)2＝8的形式，則x2＋4x＋b＝5可配方成下列何種形式？ (A)(x＋a)2＝3(B)(x＋a)2＝13(C)(x＋a－5)2＝3(D)(x＋a－5)2＝13。

8.將3x2－16x－16＝0化為(x－p)2＝q的形式，則p＋q＝。

9.若a、b為方程式(53x－2)2＝35的兩根，且a＞b，則53a－53b＝。

10.設x的二次方程式x2－ax＋6＝0有一根為a2＋1，且a＞0，則 (1)a之值為。

(2)x2－ax＋6＝0的兩根為。

11.一元二次方程式ax2＋2x＋c＝0，則x＝？(4－4ac≧0) (A)－1±2－2ac a(B) －2±4－4ac a(C) －1±1－ac a(D) 2±4－4ac a。

12.若a、b為整數，則方程式x2＋ax＋b＝0在下列哪一個情況下一定有解？ (A)a＞0，b＞0(B)a＜0，b＜0(C)ab＜0(D)a＋b＞0。

13.設a、b、c為整數，x的一元二次方程式ax2－bx＋c＝0的兩根都是有理數，則b2－4ac可能為下列 何數？(A)－16(B)25(C)38(D)60。

14.若(x＋b)2＝3的一根為1＋3，則此方程式的另一根為何？ (A)－1＋3(B)－1－3(C)1－3(D)1＋3。

15.設a為整數，則有關x2＋2ax＋a＝1的敘述，哪一個是正確的？ (A)a＝4(B)判別式D＝4a2＋4a(C)方程式有相異兩根(D)無法判斷根的性質。

16.若已知一元二次方程式ax2＋x＋b＝0有一根為1－52，則4a－3b＝。

17.若方程式x2＋mx＋12＝0有相異的兩根，則m值可能為下列哪一個選項？ (A)－7(B)－2(C)3(D)6。

18.若2x2－5x＋1＋k可利用配方法整理成2(x＋p)2的型式，則k＝？ 19.已知方程式x2－4x＋(3k－1)＝0無解，則k的範圍為？ 20.若x＝5是方程式(x＋a)2＝36的一個解，則a＝？ (12)Ans：1.(D)；2.(B)；3.(D)；4.(A)；5.(B)；6.91；7.(B)；8.136 9；9.235；10.(1)27，(2)71±； 11.(C)；12.(B)；13.(B)；14.(C)；15.(C)；16.－7；17.(A)；18.178；19.5 3 k>；20.1或－11。

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