Maple - 維基百科，自由的百科全書

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MapleMaple介面開發者WaterlooMapleInc.(Maplesoft)楓軟初始版本1982年，​39年前​（1982）穩定版本2020.1（2020年6月10日，​18個月前​（2020-06-10））[±][1] 程式語言C語言,Java,Maplelanguage作業系統跨平台類型電腦代數系統許可協定私有網站www.maplesoft.com/products/maple/ MAPLE是一個符號運算和數值計算軟體平臺 目次 1總覽 1.1核心功能 1.2架構 2版本 3Maple代碼範例 3.1開方 3.2求根 3.3求解方程式和不等式 3.4方程組 3.5超幾何函式 3.6矩陣與行列式 3.7積分 3.8求解線性微分方程式 3.9非線性常微分方程式 3.10級數展開 3.11拉普拉斯轉換 3.12傅立葉轉換 3.13繪製單變數函式圖形 3.14繪製雙變數函式 3.15繪製函式動畫 3.16求解偏微分方程組 3.17積分方程式 4注釋 5參考文獻 6外部連結 7參見 總覽[編輯] 核心功能[編輯] 使用者能夠直接使用傳統數學符號進行輸入，也可以客製化個性化的介面。

對於數值計算有額外的支援，能夠擴充到任意精度，同時亦支援符號演算及視覺化。

符號演算的例子參見下文。

Maple內建有一種動態的命令列風格的程式語言，該語言支援具有作用域的變數。

同時亦有其他語言的介面（C、FORTRAN、Java、Matlab和VisualBasic）。

還具有與Excel進行互動的介面。

架構[編輯] Maple由一個很小的由C語言編寫的核心提供Maple語言。

許多功能由各種來源的函式庫提供。

許多數值計算由NAG數值計算庫,ATLAS庫,GNU多精度庫提供。

大部分庫由Maple語言編寫，並且可檢視原始碼。

Maple中不同的功能需要不同格式的數值資料。

符號表達式在記憶體中以有向無環圖的形式儲存。

標準介面和計算介面由Java語言編寫。

經典介面由C語言編寫。

版本[編輯] 版本 年份 Maple1.0 1982年1月 Maple1.1 1982年 Maple2.0 1982年5月 Maple2.1 1982年6月 Maple2.15 1982年8月 Maple2.2 1982年12月 Maple3.0 1983年5月 Maple3.1 1983年10月 Maple3.2 1984年4月 Maple3.3 1985年3月（第一個公開版本） Maple4.0 1986年4月 Maple4.1 1987年5月 Maple4.2 1987年12月 Maple4.3 1989年3月 MapleV 1990年8月 MapleVR2 1992年11月 MapleVR3 1994年3月15日 MapleVR4 1996年1月 MapleVR5 1997年11月1日 Maple6 2000年1月31日 Maple6.01 ？年？月 Maple6.02 ？年？月 Maple7.00 2001年5月28日 Maple7.01 ？年？月 Maple8.00 2002年4月22日 Maple9.00 2003年6月30日 Maple9.01 2003年7月10日 Maple9.02 2003年？月 Maple9.03 2003年11月5日 Maple9.50 2004年4月7日 Maple9.51 2004年8月17日 Maple9.52 2005年1月21日 Maple10 2005年5月13日 Maple10.01 2005年？月 Maple10.02 2005年11月8日 Maple10.03 ？年？月 Maple10.04 2006年5月30日 Maple10.05 2006年6月9日 Maple10.06 2006年10月2日 Maple11.0 2007年2月17日 Maple11.01 2007年7月10日 Maple11.02 2007年11月10日 Maple12.0 2008年4月10日 Maple12.01 2008年10月 Maple12.02 2008年12月 Maple13.0 2009年4月13日 Maple13.01 2009年7月8日 Maple13.02 2009年7月8日 Maple14.00 2010年4月5日 Maple14.01 2010年10月28日 Maple15 2011年4月13日 Maple15.01 2011年6月2日 Maple16 2012年3月28日 Maple16.01 2012年5月16日/8月27日 Maple16.02 2012年11月18日 Maple17.00 2013年2月21日/3月13日/4月10日 Maple18.00 2014年3月6日 Maple18.01 2014年5月 Maple18.01a 2014年7月 Maple18.02 2014年11月 Maple2015 2015年3月 Maple2015.1 2015年11月 Maple2016 2016年3月2日 Maple2016.1 2016年4月20日 Maple2016.1.a 2016年4月27日 Maple2017 2017年5月25日 Maple2017.1 2017年6月28日 Maple2017.2 2017年8月2日 Maple2017.3 2017年10月3日 Maple2018.0 2018年3月21日 Maple2019.0 2019年3月14日 Maple代碼範例[編輯] 簡單指令式程式的構造： myfac:=proc(n::nonnegint) localout,i; out:=1; forifrom2tondo out:=out*i enddo; out endproc; 一些簡單的函式也可以使用直觀的箭頭表示法表示 myfac :=n->product(i,i=1..n); 開方[編輯] evalf[100](2^1/12) 1.059463094359295264561825294946341700779204317494185628559208431458761646063255722383768376863945569 求根[編輯] f:=x^2-63*x+99=0; solve(f,x); 63 2 + 3 2 ∗ ( 397 ) {\displaystyle{\frac{63}{2}}+{\frac{3}{2}}*{\sqrt{(}}397)} , 63 2 − 3 2 ∗ ( 397 ) {\displaystyle{\frac{63}{2}}-{\frac{3}{2}}*{\sqrt{(}}397)} f :=x^7+3*x=7; solve(f,x); RootOf( Z 7 + 3 Z − 7 {\displaystyleZ^{7}+3Z-7} ,index=1), RootOf( Z 7 + 3 Z − 7 {\displaystyleZ^{7}+3Z-7} ,index=2), RootOf( Z 7 + 3 Z − 7 {\displaystyleZ^{7}+3Z-7} ,index=3), RootOf( Z 7 + 3 Z − 7 {\displaystyleZ^{7}+3Z-7} ,index=4), RootOf( Z 7 + 3 Z − 7 {\displaystyleZ^{7}+3Z-7} ,index=5), RootOf( Z 7 + 3 Z − 7 {\displaystyleZ^{7}+3Z-7} ,index=5), RootOf( Z 7 + 3 Z − 7 {\displaystyleZ^{7}+3Z-7} ,index=7), evalf(%); (1.1922047171828134), (0.8658388666792263)+(0.9230818802764879)I, (0.2099602786426775)+(1.3442579297631496)I, (1.2519809466279554)+(0.6424819505558892)I, (1.2519809466279554)-(0.6424819505558892)I, (0.2099602786426775)-(1.3442579297631496)I, (0.8658388666792263)-(0.9230818802764879)I f :=sin(x)^3+5*cosh(x)=0; s i n 3 ( x ) + 5 c o s h ( x ) = 0 {\displaystylesin^{3}(x)+5cosh(x)=0} >solve(f,x); RootOf( s i n 3 ( Z ) − a r c c o s h ( − 1 5 s i n ( Z ) ) ) {\displaystylesin^{3}(Z)-arccosh({\frac{-1}{5}}sin(Z)))} >evalf(%); 0.2873691672-1.111497506I 求解方程式和不等式[編輯] 根據 x − y > 6 {\displaystylex-y>6} ，尋找 ( x + y ) 5 = 9 {\displaystyle(x+y)^{5}=9} 的所有整數解。

solve({x-y>6,(x+y)^5=9},[x,y])[]; 答案： [ x = 3 2 / 5 − y , y < 1 2 3 2 / 5 − 3 ] {\displaystyle[x=3^{2/5}-y,\quadyp1 :=x*y*z-x*y^2-z-x-y;p2 :=x*z-x^2-z-y+x;p3 :=z^2-x^2-y^2; >sys :={p1,p2,p3}; >var :={x,y,z}; >solve(sys,var); {x=0,y=y,z=-y},{x=3,y=4,z=5},{x=1,y=0,z=-1} 三角方程組 >f1 :=cos(x)+sin(3*y)+tan(5*z)=0; >f2 :=cos(3*z)+tan(3*y^2)-sin(2*z^3)=33; >f3 :=tan(4*x+y)-sin(5*y-4*z)=2*x; >sys1 :={f1,f2,f3}; >var1 :={x,y,z}; {x,y,z} >fsolve(sys1,var1); {x=-10.77771790,y=-2.397849343,z=-7.382158103} 超幾何函式[編輯] 矩陣與行列式[編輯] 計算矩陣的行列式。

M:=Matrix([[1,2,3]],[a,b,c],[[x,y,z]]);#矩阵样例 [ 1 2 3 a b c x y z ] {\displaystyle{\begin{bmatrix}1&2&3\\a&b&c\\x&y&z\end{bmatrix}}} with(LinearAlgebra) m:=Determinant(M); 答案： b z − c y + 3 a y − 2 a z + 2 x c − 3 x b {\displaystylebz-cy+3ay-2az+2xc-3xb} 朗斯基行列式 with(VectorCalculus); w:=Wronskian([1,x,x^3+x-1],x) Matrix(3,3,{(1,1)=1,(1,2)=x,(1,3)=x^3+x-1,(2,1)=0,(2,2)=1,(2,3)=3*x^2+1,(3,1)=0,(3,2)=0,(3,3)=6*x}) d:=Determinant(w); 6x 雅可比矩陣 J :=Jacobian([r*sin(t)),r^2*cosh(t)],[r,t]); m:=Matrix(2,2,{(1,1)=cos(t),(1,2)=-r*sin(t),(2,1)=sinh(t),(2,2)=r*cosh(t)}) d:=Determinant(m); sin(t)*r^2*sinh(t)-2r^2cos(t)cosh(t) 海森矩陣 f :=x^3+y*cos(x)+t*tan(y)) with(VectorCalculus); h:=hessian(f,[x,y,t]); [ 6 ∗ x − y ∗ c o s ( x ) − s i n ( x ) 0 − s i n ( x ) 2 ∗ t ∗ t a n ( y ) ∗ ( 1 + t a n ( y ) 2 ) 1 + t a n ( y ) 2 0 1 + t a n ( y ) 2 0 ] {\displaystyle{\begin{bmatrix}6*x-y*cos(x)&-sin(x)&0\\-sin(x)&2*t*tan(y)*(1+tan(y)^{2})&1+tan(y)^{2}\\0&1+tan(y)^{2}&0\end{bmatrix}}} 積分[編輯] 求 ∫ cos ⁡ ( x a ) d x {\displaystyle\int\cos\left({\frac{x}{a}}\right)dx} . int(cos(x/a),x); 答案： a sin ⁡ ( x a ) {\displaystylea\sin\left({\frac{x}{a}}\right)} 求 ∫ sin ⁡ ( x a ) d x {\displaystyle\int\sin\left({\frac{x}{a}}\right)dx} . int(sin(x/a),x); 答案： − a cos ⁡ ( x a ) {\displaystyle-a\cos\left({\frac{x}{a}}\right)} 注意：Maple在積分時不提供常數項C，必須自行補上。

定積分 >int(cos(x/a),x=1..5); 16asin（1/a)*cos^4(1/a)-12asin^2(1/a) 求解線性微分方程式[編輯] 計算以下線性常微分方程式的一個精確解 d 2 y d x 2 ( x ) − 3 y ( x ) = x {\displaystyle{\frac{d^{2}y}{dx^{2}}}(x)-3y(x)=x} 初始條件為 y ( 0 ) = 0 , d y d x | x = 0 = 2 {\displaystyley(0)=0,\quad\left.{\frac{dy}{dx}}\right|_{x=0}=2} dsolve({diff(y(x),x,x)-3*y(x)=x,y(0)=0,D(y)(0)=2},y(x)); 答案： y ( x ) = 7 18 3 e 3 x − 7 18 3 e − 3 x − 1 3 x {\displaystyley(x)={\frac{7}{18}}{\sqrt{3}}e^{{\sqrt{3}}x}-{\frac{7}{18}}{\sqrt{3}}e^{-{\sqrt{3}}x}-{\frac{1}{3}}x} 非線性常微分方程式[編輯] dsolve(diff(y(x),x,x)=x^2*y(x)) 解： y ( x ) = C 1 ( x ) {\displaystyley(x)=C_{1}{\sqrt{(}}x)} BesselI( 1 4 {\displaystyle1\over4} , 1 2 {\displaystyle1\over2} x 2 {\displaystylex^{2}} ) + C 2 ( x ) {\displaystyleC_{2}{\sqrt{(}}x)} BesselK( 1 4 {\displaystyle1\over4} , 1 2 {\displaystyle1\over2} x 2 {\displaystylex^{2}} ) 級數展開[編輯] series(tanh(x),x=0,15) x − 1 3 x 3 + 2 15 x 5 − 17 315 x 7 {\displaystylex-{\frac{1}{3}}\,x^{3}+{\frac{2}{15}}\,x^{5}-{\frac{17}{315}}\,x^{7}} + 62 2835 x 9 − 1382 155925 x 11 + 21844 6081075 x 13 + O ( x 15 ) {\displaystyle+{\frac{62}{2835}}\,x^{9}-{\frac{1382}{155925}}\,x^{11}+{\frac{21844}{6081075}}\,x^{13}+{\mathcal{O}}(x^{15})} f:=int(exp^cosh(x),x) series(f,x=0,15); e x + 1 6 e x 3 + 1 30 e x 5 + 31 5040 e x 7 + 379 362880 e x 9 {\displaystyleex+{\frac{1}{6}}ex^{3}+{\frac{1}{30}}ex^{5}+{\frac{31}{5040}}ex^{7}+{\frac{379}{362880}}ex^{9}} + 149 907200 e x 11 + 150349 6227020800 e x 13 + 4373461 1307674368000 e x 15 + O ( x 17 ) {\displaystyle+{\frac{149}{907200}}ex^{11}+{\frac{150349}{6227020800}}ex^{13}+{\frac{4373461}{1307674368000}}ex^{15}+{\mathcal{O}}(x^{17})} 拉普拉斯轉換[編輯] with(inttrans); 拉普拉斯轉換 >f :=(1+A*t+B*t^2)*exp(c*t); ( 1 + A ∗ t + B ∗ t 2 ) ∗ e c ∗ t {\displaystyle(1+A*t+B*t^{2})*e^{c*t}} >laplace(f,t,s); 1 s − c + A ( s − c ) 2 + 2 B ( s − c ) 3 {\displaystyle{\frac{1}{s-c}}+{\frac{A}{(s-c)^{2}}}+{\frac{2B}{(s-c)^{3}}}} 反拉普拉斯轉換 invlaplace(1/(s-a),s,x) e a x {\displaystylee^{ax}} z :=y(t); y(t) f :=diff(z,t,t)+a*(diff(z,t))=b*z; d 2 d t 2 y ( t ) + a d d t y ( t ) = b y ( t ) {\displaystyle{\frac{d^{2}}{dt^{2}}}y(t)+a{\frac{d}{dt}}y(t)=by(t)} with(inttrans); g :=laplace(f,t,s); s^2*laplace(y(t),t,s)-D(y)(0)-sy(0) +as^2laplace(y(t),t,s)-ay(0)=blaplace(y(t),t,s) invlaplace(g,s,t); d 2 d t 2 y ( t ) + a d d t y ( t ) = b y ( t ) {\displaystyle{\frac{d^{2}}{dt^{2}}}y(t)+a{\frac{d}{dt}}y(t)=by(t)} 傅立葉轉換[編輯] with(inttrans); fourier(sin(x),x,w) Π {\displaystyle\Pi} *(Dirac(w-1)+Dirac(w+1)) 繪製單變數函式圖形[編輯] 繪製函式 y = x ⋅ sin ⁡ x {\displaystyley=x\cdot\sinx} ， x ∈ ( − 10 , 10 ) {\displaystylex\in(-10,10)} plot(x*sin(x),x=-10..10); 繪製雙變數函式[編輯] 繪製函式 x 2 + y 2 {\displaystylex^{2}+y^{2}} ， x {\displaystylex} 和 y {\displaystyley} 的範圍為-1到1 plot3d(x^2+y^2,x=-1..1,y=-1..1); 繪製函式動畫[編輯] 維基教科書中的相關電子教學：繪製函式動畫圖 二維動畫 f := 2 ∗ k 2 / c o s h ( k ∗ ( x − 4 ∗ k 2 ∗ t ) ) 2 {\displaystylef:=2*k^{2}/cosh(k*(x-4*k^{2}*t))^{2}} with(plots); animate(subs(k=.5,f),x=-30..30,t=-10..10,numpoints=200,frames=50,color=red,thickness=3); 鐘形孤立子 三維函式動畫 三維動畫 with(plots) animate3d(cos(t*x)*sin(3*t*y),x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi,t=1..2) 求解偏微分方程組[編輯] 求解偏微分方程式組 ∂ ∂ x v ( x , t ) = − u ( x , t ) v ( x , t ) {\displaystyle{\frac{\partial}{\partialx}}v\left(x,t\right)=-u\left(x,t\right)v\left(x,t\right)} ∂ ∂ t v ( x , t ) = − v ( x , t ) ∂ ∂ x u ( x , t ) + v ( x , t ) ( u ( x , t ) ) 2 {\displaystyle{\frac{\partial}{\partialt}}v\left(x,t\right)=-v\left(x,t\right){\frac{\partial}{\partialx}}u\left(x,t\right)+v\left(x,t\right)\left(u\left(x,t\right)\right)^{2}} ∂ ∂ t u ( x , t ) + 2 u ( x , t ) ∂ ∂ x u ( x , t ) − ∂ 2 ∂ x 2 u ( x , t ) = 0 {\displaystyle{\frac{\partial}{\partialt}}u\left(x,t\right)+2\,u\left(x,t\right){\frac{\partial}{\partialx}}u\left(x,t\right)-{\frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}}}u\left(x,t\right)=0} 條件為 v ( x , t ) ≠ 0 {\displaystylev(x,t)\neq0} . eqn1:=diff(v(x,t),x)=-u(x,t)*v(x,t): eqn2:=diff(v(x,t),t)=-v(x,t)*(diff(u(x,t),x))+v(x,t)*u(x,t)^2: eqn3:=diff(u(x,t),t)+2*u(x,t)*(diff(u(x,t),x))-(diff(diff(u(x,t),x),x))=0: pdsolve({eqn1,eqn2,eqn3,v(x,t)<>0},[u,v]):op(%); 答案：  v ( x , t ) = e _ c 1 x _ C 3 e _ c 1 t _ C 1 + _ C 3 e _ c 1 t _ C 2 e _ c 1 x ,     u ( x , t ) = − _ c 1 ( _ C 1 ( e _ c 1 x ) 2 − _ C 2 ) _ C 1 ( e _ c 1 x ) 2 + _ C 2 {\displaystylev\left(x,t\right)={e^{{\sqrt{{\it{\_c}}_{1}}}x}}{\it{\_C3}}\,{e^{{\it{\_c}}_{1}t}}{\it{\_C1}}+{\frac{{\it{\_C3}}\,{e^{{\it{\_c}}_{1}t}}{\it{\_C2}}}{e^{{\sqrt{{\it{\_c}}_{1}}}x}}},\\u\left(x,t\right)=-{\frac{{\sqrt{{\it{\_c}}_{1}}}\left({\it{\_C1}}\,\left({e^{{\sqrt{{\it{\_c}}_{1}}}x}}\right)^{2}-{\it{\_C2}}\right)}{{\it{\_C1}}\,\left({e^{{\sqrt{{\it{\_c}}_{1}}}x}}\right)^{2}+{\it{\_C2}}}}} 積分方程式[編輯] 尋找函式 f {\displaystylef} 滿足積分方程式 f ( x ) − 3 ∫ − 1 1 ( x y + x 2 y 2 ) f ( y ) d y = h ( x ) {\displaystylef(x)-3\int_{-1}^{1}(xy+x^{2}y^{2})f(y)dy=h(x)} . eqn:=f(x)-3*Integrate((x*y+x^2*y^2)*f(y),y=-1..1)=h(x): intsolve(eqn,f(x)); 答案： f ( x ) = ∫ − 1 1 ( − 15 x 2 y 2 − 3 x y ) h ( y ) d y + h ( x ) {\displaystylef\left(x\right)=\int_{-1}^{1}\!\left(-15\,{x}^{2}{y}^{2}-3\,xy\right)h\left(y\right){dy}+h\left(x\right)} 注釋[編輯] 現在，MATLAB已改用MuPAD替代了matlab的Maple符號計算核心。

參考文獻[編輯] 何青王麗芬編著《Maple教程》科學出版社2010ISBN9787030177445 DavidBetounes,PartialDifferentialEquationsforComputationalScience:WithMapleandVectorAnalysisSpringer,1998ISBN9780387983004 GeorgeArticoloPartialDifferentialEquations&BoundaryValueProblemswithMapleVAcademicPress1998ISBN9780120644759 維基教科書中的相關電子教學：Maple 維基共享資源中相關的多媒體資源：Maple ^MapleProductHistory.[2020-03-20].  外部連結[編輯] Maple首頁（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 參見[編輯] Maxima MATLAB GNUOctave Scilab Mathematica 閱論編數值分析軟體開源軟體 ADMB Euler FreeFem++ FreeMat Genius Gmsh GNUOctave gretl Julia Maxima OpenFOAM R SageMath SALOME ScicosLab Scilab Spyder 專有軟體 Chapel DADiSP Fortress GAUSS LabVIEW Maple Mathcad MATLAB Mathematica Speakeasy（英語：Speakeasy(computationalenvironment)） VisSim X10 列表（英語：Listofnumericalanalysissoftware） ·比較（英語：Comparisonofnumericalanalysissoftware） 閱論編計算機代數系統開源軟體 Axiom CoCoA Erable FriCAS FORM GAP GiNaC Macaulay Macaulay2 Maxima Normaliz PARI/GP Reduce SageMath Singular SymPy Xcas/Giac Yacas 專有軟體 ClassPadManager Fermat KANT Magma Maple MathCad Mathematica MuPAD（MATLAB符號數學工具箱） SMathStudio TIInterActive! 已終止 CAMAL Derive LiveMath Macsyma Mathomatic muMATH 分類 列表 Template:統計軟體 Template:碎形軟體 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=Maple&oldid=66170816」 分類：數值分析軟體C軟體計算筆記本Linux電腦代數系統軟體MacOS電腦代數系統軟體Windows電腦代數系統軟體跨平台軟體資料視覺化軟體資料導向程式語言計量經濟學軟體函式語言程式設計語言IRIX軟體線性代數Maplesoft數學最佳化軟體數學軟體Linux數值分析軟體MacOS數值分析軟體Windows數值分析軟體數值分析語言數值軟體平行計算物理學軟體圖表軟體1982年面世的產品Linux專有商業軟體專有跨平台軟體迴歸和曲線擬合軟體軟體建模語言統計程式語言模擬器程式語言隱藏分類：使用過時圖像語法的頁面有藍鏈卻未移除內部連結助手模板的頁面使用ISBN魔術連結的頁面 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 已展開 已摺疊 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 已展開 已摺疊 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他專案 維基共享資源維基教科書 其他語言 العربيةکوردیČeštinaDanskDeutschEnglishEspañolفارسیSuomiFrançaisעבריתMagyarBahasaIndonesiaItaliano日本語한국어LietuviųNederlandsPolskiPortuguêsРусскийSimpleEnglishSlovenščinaСрпски/srpskiSvenskaTürkçeУкраїнськаTiếngViệt 編輯連結