二次函數的圖像及係數之關係 - 學校沒有教的數學

已知某二次函數(quadratic function) y =ax2+bx+c及其圖像，我們懂得從其圖像判斷係數(coefficient) a 及c 之正負，但係數b 的正負呢? 學校沒有教的數學數學易、易學數閣下在此:首頁»二次函數的圖像及係數之關係二次函數的圖像及係數之關係 ThomasFok•13/10/2014已知某二次函數(quadraticfunction)y=ax2+bx+c及其圖像，我們懂得從其圖像判斷係數(coefficient)a及c之正負，但係數b的正負呢?我們的課本並無清晰交代。

例子:下圖展示某二次函數的圖像。

由於拋物線開口向下(opendownward)，所以係數a必定是負數。

從圖像得知y截距(y-intercept)是正數，所以係數c必定是正數。

那麼係數b的正負又怎樣判斷?頂點的x坐標首先說明一些背景知識，就是頂點的x坐標和係數之間的關係。

要找二次函數的頂點vertex的坐標，課程教我們用配方法completingthesquare，但其實有更簡單的方法。

假設該函數的根是α及β，由拋物線的對稱性質可推斷，頂點的x坐標就在α及β的正中間。

即是根據中點公式(mid-pointformula)， $$\begin{align*} \therefore頂點的\x\坐標&=\frac{\alpha+\beta}{2}\\ &=\frac{-\frac{b}{a}}{2}\\\\(\because\alpha+\beta=-\frac{b}{a})\\ &=-\frac{b}{2a} \end{align*}$$頂點的x坐標=##\large–\frac{b}{2a}##應用1:求頂點坐標其實根本不需要配方法，只要運用以上結果，我們便能找到頂點的x坐標。

要求頂點的y坐標，就只要把頂點的x坐標代入其二次函數，找出對應的y值。

例子:求##y=2x^2+4x-1##的頂點坐標$$\begin{align*} 頂點的\x\坐標&=-\frac{4}{(2)(2)}\\ &=-1\\ \\ 頂點的\y\坐標&=2(-1)^2+4(-1)-1\\ &=2-4-1\\ &=-3 \end{align*}$$##\therefore頂點坐標=(-1,-3)##既然這麼簡單就能求頂點坐標，我們還要學配方法嗎?答案是須要，因為公開試題目會指定運用配方法，不可用其他方法求頂點坐標。

應用2:從圖像求係數b的正負回到最初的問題，從圖像得知，頂點的x坐標是負數，而由於$$頂點的\x\坐標=-\frac{b}{2a}$$我們已知係數a是負數，所以係數b必定要是負數，等式的右方才可得到負值。

所以，從其圖像我們可判斷各係數的正負，即是:a<0 b<0 c>0總結頂點的x坐標=##\large-\frac{b}{2a}##這結果很有用，可快捷地求頂點的坐標。

再者，只要知道二次函數的圖像，我們便可判斷各係數的正負。

思考題下圖為##y=x^2+kx+12##的圖像，已知AB=1，求k的值。

提示:k的值只有一個。

顯示題解題解:設α及β是##x^2+kx+12=0##的根。

$$\begin{align*} \alpha\-\\beta&=1\\ (\alpha\-\\beta)^2&=1^2\\ (\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta&=1\\ \Big(\frac{-k}{1}\Big)^2–4\Big(\frac{12}{1}\Big)&=1\\ k^2-48&=1\\ k^2&=49\\ k&=\pm7 \end{align*}$$從圖像得知，頂點的x坐標為負數。

$$\begin{align*} \therefore\frac{-k}{2(1)}&\lt0\\ -k&\lt0\\ k&\gt0 \end{align*}$$$$\thereforek=+7$$ 標籤:completingthesquare,quadraticfunction,vertex,二次函數,配方法,頂點分類:代數及百分數相關文章:被忽視的配方法Completingthesquare代數分式的陷阱二次函數的極值OptimumValueofQuadraticFunctions進階對數AdvancedLogarithm揭開餘式定理RemainderTheorem的真面目Ifyouenjoyedthisarticle,subscribetoreceivemorejustlikeit.SubscribeviaRSSFeed回應(5)TrackbackURL|CommentsRSSFeed kiojioj說： 15/01/2015at9:23下午由於拋物線開口向下(opendownward)，所以係數a必定是負數。

從圖像得知y截距(y-intercept)是正數，所以係數c必定是負數。

c唔係正數咩回覆 ThomasFok說： 16/01/2015at12:25下午打錯字，已修正。

Thankyou!回覆 BILLY說： 22/02/2018at12:08上午題目AB=1係咩意思 同ALPHA-BETA=1有咩關系?回覆 ThomasFok說： 22/02/2018at10:27上午AB=1是指A點和B點之距離是1。

回覆 BILLY說： 27/02/2018at1:08下午唔怪得下邊係ALPHA-BETA=1 攪到我睇左半日都唔明做咩回覆發表回應取消回覆回應內容:姓名(必需)電郵地址(必需；不會發佈) HKDSEPaperII試卷二題解線上計算機GoogleAdSidebar 請讚好以獲取本網站更新資訊學校沒有教的數學熱門分類存檔標籤 HKDSE2019MathsPaperII題解HKDSE2018MathsPaperII題解HKDSE2014MathsPaperII題解HKDSE2015MathsPaperII題解HKDSE2020MathsPaperII題解M1專區M2專區代數及百分數幾何、坐標及三角學文憑試實戰篇消閒、生活計數機應用及歷屆試題誤差、概率及統計學2021年十月2021年五月2021年三月2021年二月2021年一月2020年十一月2020年十月2020年五月2020年四月2020年二月2020年一月2019年十二月2019年十一月2019年十月2019年七月2019年五月2019年四月2019年二月2019年一月2018年十二月2018年十一月2018年九月2018年八月2018年五月2018年三月2018年二月2018年一月2017年十二月2017年十一月2017年十月2017年九月2017年六月2017年四月2017年三月2017年二月2017年一月2016年十二月2016年十一月2016年十月2016年九月2016年八月2016年五月2016年四月2016年三月2016年二月2016年一月2015年十二月2015年十一月2015年十月2015年九月2015年八月2015年七月2015年六月2015年五月2015年四月2015年三月2015年二月2015年一月2014年十二月2014年十一月2014年十月2014年九月2013年四月2013年三月2012年七月2012年五月2012年四月2011年十二月2011年十月2011年八月2011年六月2011年五月2011年四月2011年三月2011年二月2011年一月2010年十二月2010年十一月2010年十月 binarynumberscirclegeometrycompletingthesquarecomplexnumberequationofcirclegeometryHKDSEHKDSEAnswersHKDSESolutionsincentrelogLogarithmoptimumvaluepaper2_solutionPastPaperprobabilityquadraticfunctionratioremaindertheoremTrigonometricRatio三角比二進制內心圓形幾何圓形方程對數推介文憑試文憑試答案文憑試題解極值概率歷屆試題比筆記等比數列複數角平分線配方法餘式定理 ©學校沒有教的數學2010-2021.Allrightsreserved.