E (数学常数) - 维基百科，自由的百科全书

作为數學常數，是自然對數函數的底數，亦称自然常数、自然底数，或是歐拉數（Euler's number），以瑞士數學家歐拉命名；還有個較少見的名字納皮爾常數，用來紀念蘇格蘭 ... e(數學常數) 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋   提示：此條目的主題不是科學記數法。

尤拉數命名數字2.7182818284名稱尤拉數納皮爾常數識別種類無理數超越數發現雅各布·伯努利代號 e {\displaystylee} 位數數列編號 A001113定義 e = lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n {\displaystylee=\lim_{n\to\infty}\left(1+{\frac{1}{n}}\right)^{n}} e = lim t → 0 ( 1 + t ) 1 t {\displaystylee=\lim_{t\to0}(1+t)^{\frac{1}{t}}} 連分數[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12...]表示方式值2.7182818284無窮級數 ∑ n = 0 ∞ 1 n ! {\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}} 閱論編 各式各樣的數 基本 N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C {\displaystyle\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}} 正數 R + {\displaystyle\mathbb{R}^{+}} 自然數 N {\displaystyle\mathbb{N}} 正整數 Z + {\displaystyle\mathbb{Z}^{+}} 小數 有限小數 無限小數 循環小數 有理數 Q {\displaystyle\mathbb{Q}} 代數數 A {\displaystyle\mathbb{A}} 實數 R {\displaystyle\mathbb{R}} 複數 C {\displaystyle\mathbb{C}} 高斯整數 Z [ i ] {\displaystyle\mathbb{Z}[i]} 負數 R − {\displaystyle\mathbb{R}^{-}} 整數 Z {\displaystyle\mathbb{Z}} 負整數 Z − {\displaystyle\mathbb{Z}^{-}} 分數 單位分數 二進分數 規矩數 無理數 超越數 虛數 I {\displaystyle\mathbb{I}} 二次無理數 艾森斯坦整數 Z [ ω ] {\displaystyle\mathbb{Z}[\omega]} 延伸 二元數 四元數 H {\displaystyle\mathbb{H}} 八元數 O {\displaystyle\mathbb{O}} 十六元數 S {\displaystyle\mathbb{S}} 超實數 ∗ R {\displaystyle^{*}\mathbb{R}} 大實數 上超實數 雙曲複數 雙複數 複四元數 共四元數（英語：Dualquaternion） 超複數 超數 超現實數 其他 質數 P {\displaystyle\mathbb{P}} 可計算數 基數 阿列夫數 同餘 整數數列 公稱值 規矩數 可定義數 序數 超限數 p進數 數學常數 圓周率 π = 3.141592653 … {\displaystyle\pi=3.141592653\dots} 自然對數的底 e = 2.718281828 … {\displaystylee=2.718281828\dots} 虛數單位 i = − 1 {\displaystylei={\sqrt{-1}}} 無窮大 ∞ {\displaystyle\infty} e {\displaystylee} 是使在 x = 0 {\displaystylex=0} 點上  f ( x ) = a x {\displaystylef(x)=a^{x}} （藍色曲線）的導數（切線的斜率）值為1之 a {\displaystylea} 的唯一值。

對比一下，函數 2 x {\displaystyle2^{x}} （虛點曲線）和 4 x {\displaystyle4^{x}} （虛線曲線）和斜率為1、y-截距為1的直線（紅色）並不相切。

e {\displaystylee} ，作為數學常數，是自然對數函數的底數，亦稱自然常數、自然底數，或是尤拉數（Euler'snumber），以瑞士數學家尤拉命名；還有個較少見的名字納皮爾常數，用來紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾引進對數。

它是一個無限不循環小數，數值約是（小數點後20位， A001113）： e = 2.71828182845904523536 ⋯ {\displaystylee=2.71828182845904523536\cdots} 目次 1歷史 2定義 3性質 4無理數證明 4.1反證法 4.2二項式定理 5已知位數 6諧取 7參見 8參考文獻 歷史 第一次提到常數 e {\displaystylee} ，是約翰·納皮爾於1618年出版的對數著作附錄中的一張表。

但它沒有記錄這常數，只有由它為底計算出的一張自然對數列表，通常認為是由威廉·奧特雷德製作。

第一次把 e {\displaystylee} 看為常數的是雅各布·伯努利，他嘗試計算下式的值： lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+{\frac{1}{n}}\right)^{n}} 。

已知的第一次用到常數 e {\displaystylee} ，是萊布尼茨於1690年和1691年給惠更斯的通信，以 b {\displaystyleb} 表示。

1727年尤拉開始用 e {\displaystylee} 來表示這常數；而 e {\displaystylee} 第一次在出版物用到，是1736年尤拉的《力學》（Mechanica）。

雖然往後年日有研究者用字母 c {\displaystylec} 表示，但 e {\displaystylee} 較常用，終於成為標準。

用 e {\displaystylee} 表示的原因確實不明，但可能因為 e {\displaystylee} 是「指數」（exponential）一字的首字母。

另一看法則稱 a , b , c , d {\displaystylea,b,c,d} 有其他經常用途，而 e {\displaystylee} 是第一個可用字母。

定義 就像圓周率 π {\displaystyle\pi} 和虛數單位i， e {\displaystylee} 是數學中最重要的常數之一。

它有幾種等價定義，下面列出一部分。

定義 e {\displaystylee} 爲下列極限值： e = lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n {\displaystylee=\lim_{n\to\infty}\left(1+{\frac{1}{n}}\right)^{n}} e = lim t → 0 ( 1 + t ) 1 t {\displaystylee=\lim_{t\to0}(1+t)^{\frac{1}{t}}} 定義 e {\displaystylee} 爲階乘倒數之無窮級數的和[1]： e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! = 1 0 ! + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3 ! + 1 4 ! + ⋯ {\displaystylee=\sum_{n=0}^{\infty}{1\overn!}={1\over0!}+{1\over1!}+{1\over2!}+{1\over3!}+{1\over4!}+\cdots} 其中 n ! {\displaystylen!} 代表 n {\displaystylen} 的階乘。

定義 e {\displaystylee} 爲唯一的正數 x {\displaystylex} 使得 ∫ 1 x d t t = 1 {\displaystyle\int_{1}^{x}{\frac{\mathrm{d}t}{t}}=1} 定義 e {\displaystylee} 爲唯一的實數 x {\displaystylex} 使得 lim h → 0 x h − 1 h = 1 {\displaystyle\lim_{h\to0}{\frac{x^{h}-1}{h}}=1} 這些定義可證明是等價的，請參見文章指數函數的特徵描述（英語：Characterizationsoftheexponentialfunction）。

性質 x x {\displaystyle{\sqrt[{x}]{x}}} 的極大值在 x = e {\displaystylex=e} . 很多增長或衰減過程都可以用指數函數模擬。

指數函數 e x {\displaystylee^{x}} 的重要性在於，唯獨該函數（或其常數倍，即 x ↦ k e x {\displaystylex\mapstoke^{x}} ，其中 k {\displaystylek} 為任意常數）與自身導數相等。

即： d d x e x = e x {\displaystyle{\frac{d}{dx}}e^{x}=e^{x}} 。

e x {\displaystylee^{x}} 的泰勒級數為 e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! ∀ x {\displaystylee^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{n}}{n!}}\quad\forallx} = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + . . . {\displaystyle=1+x+{\frac{x^{2}}{2!}}+{\frac{x^{3}}{3!}}+...} x {\displaystylex} 為複數時依然成立，因此根據 sin ⁡ x {\displaystyle\sinx} 及 cos ⁡ x {\displaystyle\cosx} 的泰勒級數，得出在數學中一條稱為尤拉公式的重要等式： e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystylee^{\mathrm{i}x}=\cosx+{\rm{i}}\sinx} 當 x = π {\displaystylex=\pi} 的特例是尤拉恆等式： e i π + 1 = 0 {\displaystylee^{\mathrm{i}\pi}+1=0} 此式被理察·費曼稱為「尤拉的寶石」。

( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) n = ( e i x ) n = e i n x = cos ⁡ ( n x ) + i sin ⁡ ( n x ) {\displaystyle(\cosx+i\sinx)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx)} 即棣美弗公式。

e {\displaystylee} 是無理數和超越數（見林德曼－魏爾斯特拉斯定理）。

這是第一個獲證為超越數的數，而非故意構造的（比較劉維爾數）；由夏爾·埃爾米特（CharlesHermite）於1873年證明。

有猜想它為正規數。

當 x = e {\displaystylex=e} 時函數 f ( x ) = x x {\displaystylef(x)={\sqrt[{x}]{x}}} 有最大值。

e {\displaystylee} 的無窮連分數展開式有個有趣的模式，可以表示如下（ A003417） e = [ 2 ; 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 6 , 1 , 1 , 8 , 1 , 1 , 10 , 1 , 1 , 12 , … ] {\displaystylee=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,\ldots]} 就像以下的展開式： e = 2 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 1 + 1 4 + 1 1 + 1 1 + 1 6 + 1 1 + ⋱ {\displaystylee=2+{\cfrac{1}{1+{\cfrac{1}{\mathbf{2}+{\cfrac{1}{1+{\cfrac{1}{1+{\cfrac{1}{\mathbf{4}+{\cfrac{1}{1+{\cfrac{1}{1+{\cfrac{1}{\mathbf{6}+{\cfrac{1}{1+\ddots}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 無理數證明 反證法 證明 e {\displaystylee} 是無理數可以用反證法。

假設 e {\displaystylee} 是有理數，則可以表示成 a b {\displaystyle{\frac{a}{b}}}  ，其中 a , b {\displaystylea,b} 為正整數。

以 e {\displaystylee} 的無窮級數展開式可以得出矛盾。

考慮數字 x = b ! ( e − ∑ i = 0 b 1 i ! ) {\displaystylex=b!\left(e-\sum_{i=0}^{b}{1\overi!}\right)} ， 以下將推導出 x {\displaystylex} 是小於1的正整數；由於不存在這樣的正整數，得出矛盾，所以得證 e {\displaystylee} 是無理數。

x {\displaystylex} 是整數，因為 0 < x = b ! ( e − ∑ i = 0 b 1 i ! ) = b ! ( a b − ∑ i = 0 b 1 i ! ) {\displaystyle0