最小公倍數- 维基百科，自由的百科全书
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最小公倍數[编辑] ... ，其中lcm是英语中“最小公倍数”一词（least common multiple）的首字母缩写。
对分數进行加減运算時，要求兩數的分母相同才能計算，故需要通分；标准的 ...
最小公倍數
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最小公倍數是数论中的一个概念。
若有一個數
X
{\displaystyleX}
，可以被另外兩個數
A
{\displaystyleA}
、
B
{\displaystyleB}
整除，且
X
{\displaystyleX}
大於（或等于）
A
{\displaystyleA}
和
B
{\displaystyleB}
，則
X
{\displaystyleX}
為
A
{\displaystyleA}
和
B
{\displaystyleB}
的公倍數。
A
{\displaystyleA}
和
B
{\displaystyleB}
的公倍數有無限個，而所有正的公倍數中，最小的公倍數就叫做最小公倍數。
同样地，若干个整数公有的倍数中最小的正整数称为它们的最小公倍数。
n
{\displaystylen}
整数
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
{\displaystylea_{1},a_{2},\cdots,a_{n}}
的最小公倍数一般记作：
[
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
]
{\displaystyle[a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}]}
，或者参照英文记法记作
lcm
(
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
)
{\displaystyle\operatorname{lcm}(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})}
，其中lcm是英语中“最小公倍数”一词（leastcommonmultiple）的首字母缩写。
对分數进行加減运算時，要求兩數的分母相同才能計算，故需要通分；标准的计算步骤是将兩個分數的分母通分成它们的最小公倍數，然后将通分后的分子相加。
目录
1与最大公因数之关系
2计算方法
2.1递归计算多个整数的最小公倍数
3程式代碼
3.1C#
3.2C
3.3C++
3.4PASCAL
3.5JAVA
3.6RUBY
3.7Python
3.8Golang
4应用
5参见
6参考来源
与最大公因数之关系[编辑]
两个整数的最小公倍数与最大公因数之间有如下的关系：
lcm
(
a
,
b
)
=
|
a
⋅
b
|
gcd
(
a
,
b
)
{\displaystyle\operatorname{lcm}(a,b)={\frac{|a\cdotb|}{\operatorname{gcd}(a,b)}}}
计算方法[编辑]
最小公倍数可以通过多种方法得到，最直接的方法是列举法，从小到大列举出其中一个数（如最大數）的倍数，当这个倍数也是另一个数的倍数时，就求得最小公倍数。
另一个方法是利用公式
lcm
(
a
1
,
a
2
)
=
a
1
a
2
gcd
(
a
1
,
a
2
)
{\displaystyle\operatorname{lcm}(a_{1},a_{2})={\frac{a_{1}a_{2}}{\gcd(a_{1},a_{2})}}}
来求解，这时首先要知道它们的最大公因数。
而最大公因数可以通过短除法得到。
利用整数的唯一分解定理，还可以用質因數分解法。
将每个整数进行质因数分解。
对每个质数，在质因数分解的表达式中寻找次数最高的乘幂，最后将所有这些质数乘幂相乘就可以得到最小公倍数。
譬如求216、384和210的最小公倍數。
对216、384和210来说：
216
=
2
3
×
3
3
{\displaystyle216=2^{3}\times3^{3}}
，
384
=
2
7
×
3
1
{\displaystyle384=2^{7}\times3^{1}}
，
210
=
2
1
×
3
1
×
5
1
×
7
1
{\displaystyle210=2^{1}\times3^{1}\times5^{1}\times7^{1}}
。
其中
2
{\displaystyle2}
对应的最高次乘幂为
2
7
{\displaystyle2^{7}}
；
3
{\displaystyle3}
对应的最高次乘幂为
3
3
{\displaystyle3^{3}}
；
5
{\displaystyle5}
和
7
{\displaystyle7}
对应的最高次乘幂分别是
5
1
{\displaystyle5^{1}}
与
7
1
{\displaystyle7^{1}}
。
将这些乘幂乘起来，就可以得到最小公倍数：
[
216
,
384
,
210
]
=
2
7
×
3
3
×
5
1
×
7
1
=
120960
{\displaystyle[216,384,210]=2^{7}\times3^{3}\times5^{1}\times7^{1}=120960}
。
递归计算多个整数的最小公倍数[编辑]
可以递归求出多个整数的最小公倍数：欲求
lcm
(
a
1
,
.
.
.
,
a
n
)
(
n
≥
3
)
{\displaystyle\operatorname{lcm}(a_{1},...,a_{n})(n\geq3)}
，只需求
lcm
(
a
1
,
.
.
.
,
a
n
−
2
,
lcm
(
a
n
−
1
,
a
n
)
)
{\displaystyle\operatorname{lcm}(a_{1},...,a_{n-2},\operatorname{lcm}(a_{n-1},a_{n}))}
。
这利用了性质
lcm
(
a
1
,
a
2
,
a
3
)
=
lcm
(
lcm
(
a
1
,
a
2
)
,
a
3
)
{\displaystyle\operatorname{lcm}(a_{1},a_{2},a_{3})=\operatorname{lcm}(\operatorname{lcm}(a_{1},a_{2}),a_{3})}
。
该性质证明如下：
记
a
1
,
a
2
,
a
3
{\displaystylea_{1},a_{2},a_{3}}
的质因数分解分别为
∏
i
=
1
n
p
i
e
1
i
,
∏
i
=
1
n
p
i
e
2
i
,
∏
i
=
1
n
p
i
e
3
i
{\displaystyle\prod_{i=1}^{n}p_{i}^{e_{1i}},\prod_{i=1}^{n}p_{i}^{e_{2i}},\prod_{i=1}^{n}p_{i}^{e_{3i}}}
，其中
p
i
{\displaystylep_{i}}
是第
i
{\displaystylei}
个质数。
那么根据最小公倍数的定义，
lcm
(
a
1
,
a
2
,
a
3
)
=
∏
i
=
1
n
p
i
max
(
e
1
i
,
e
2
i
,
e
3
i
)
{\displaystyle\operatorname{lcm}(a_{1},a_{2},a_{3})=\prod_{i=1}^{n}p_{i}^{\max(e_{1i},e_{2i},e_{3i})}}
，
lcm
(
lcm
(
a
1
,
a
2
)
,
a
3
)
=
lcm
(
∏
i
=
1
n
p
i
max
(
e
1
i
,
e
2
i
)
,
a
3
)
=
∏
i
=
1
n
p
i
max
(
max
(
e
1
i
,
e
2
i
)
,
e
3
i
)
=
∏
i
=
1
n
p
i
max
(
e
1
i
,
e
2
i
,
e
3
i
)
{\displaystyle\operatorname{lcm}(\operatorname{lcm}(a_{1},a_{2}),a_{3})=\operatorname{lcm}(\prod_{i=1}^{n}p_{i}^{\max(e_{1i},e_{2i})},a_{3})=\prod_{i=1}^{n}p_{i}^{\max(\max(e_{1i},e_{2i}),e_{3i})}=\prod_{i=1}^{n}p_{i}^{\max(e_{1i},e_{2i},e_{3i})}}
，
证毕。
程式代碼[编辑]
以下使用輾轉相除法求得最大公因數，之後再求最小公倍數。
C#[编辑]
intGCD(inta,intb)
{
returna%b==0?b:GCD(b,a%b);
}
intLCM(inta,intb)
{
returna*b/GCD(a,b);
}
C[编辑]
intGCD(inta,intb){
if(b)while((a%=b)&&(b%=a));
returna+b;
}
intLCM(inta,intb){
returna*b/GCD(a,b);
}
C++[编辑]
template
将分母通分时，会把所有分数的分母通分为它们的最小公倍数，然后将分子相加。
例如：
2
21
+
1
6
=
4
42
+
7
42
=
11
42
{\displaystyle{2\over21}+{1\over6}={4\over42}+{7\over42}={11\over42}}
其中分母42就是21与6的最小公倍数。
参见[编辑]
公倍数
公因数
最大公因数
参考来源[编辑]
柯召，孙绮，孙琦.《数论讲义》.高等教育出版社.2005.ISBN 753205473X.
阿尔伯特·H·贝勒著谈祥柏译.《数论妙趣：数学女王的盛情款待》.上海教育出版社.1998.ISBN 7040091909.
取自“https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=最小公倍數&oldid=69135704”
分类：数论算术二元運算
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