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這樣定義了後，很易想到如何一般化指數0 和負數的情況：除0 外所有數的零次方都是1 ；指數是負數時 ... 有理數冪可以通過N次方根定義，任何非0實數次冪都可以這樣定義 ... 冪 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋   提示：此條目的主題不是楊冪。

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關於幾何定理，請見「圓冪定理」。

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冪運算（英語：Exponentiation），又稱指數運算，是數學運算，表達式為 b n {\displaystyleb^{n}} ，讀作「 b {\displaystyleb} 的 n {\displaystylen} 次方」或「 b {\displaystyleb} 的 n {\displaystylen} 次冪」。

其中， b {\displaystyleb} 稱為底數，而 n {\displaystylen} 稱為指數，通常指數寫成上標，放在底數的右邊。

當不能用上標時，例如在編程語言或電子郵件中， b n {\displaystyleb^{n}} 通常寫成b^n或b**n；也可視為超運算，記為b[3]n；亦可以用高德納箭號表示法，寫成b↑n。

若n為正整數，可以把 b n {\displaystyleb^{n}} 看作乘方的結果，等同於 b {\displaystyleb} 自乘 n {\displaystylen} 次。

b n = b × ⋯ × b ⏟ n {\displaystyleb^{n}=\underbrace{b\times\cdots\timesb}_{n}} 當指數為1時，通常不寫出來，因為運算出的值和底數的數值一樣；指數為2時，可以讀作「 b {\displaystyleb} 的平方」；指數為3時，可以讀作「 b {\displaystyleb} 的立方」。

起始值1（乘法的單位元素）乘上底數（ b {\displaystyleb} ）自乘指數（ n {\displaystylen} ）這麼多次。

這樣定義了後，很易想到如何一般化指數0和負數的情況：除0外所有數的零次方都是1；指數是負數時就等於重複除以底數（或底數的倒數自乘指數這麼多次），即： b 0 = 1 {\displaystyleb^{0}=1\qquad} b − n = 1 b × ⋯ × b ⏟ n = 1 b n = ( 1 b ) n ( b ≠ 0 ) {\displaystyleb^{-n}={1\over\underbrace{b\times\cdots\timesb}_{n}}={\frac{1}{b^{n}}}=\left({\frac{1}{b}}\right)^{n}\qquad(b\neq0)} 。

以分數為指數的冪定義為 b m n = b m n {\displaystyleb^{\frac{m}{n}}={\sqrt[{n}]{b^{m}}}} ，即 b {\displaystyleb} 的 m {\displaystylem} 次方再開 n {\displaystylen} 次方根 0的0次方目前沒有數學家給予正式的定義。

在部分數學領域中，如組合數學，常用的慣例是定義為1，也有人主張定義為1。

因為在十進位，十的次方很易計算，只需在後面加零即可，所以科學記數法藉此簡化記錄的數字；二的冪在計算機科學相當重要。

當n是複數及b是正實數時, b n = exp ⁡ ( n ln ⁡ ( b ) ) {\displaystyleb^{n}=\exp(n\ln(b))} exp是指數函數而ln是自然對數。

目次 1重要的恆等式 1.1運算法則 1.2其他等式 2運算律 3整數指數冪 3.1正整數指數冪 3.2指數是1或者0 3.3零的零次方'"`UNIQ--postMath-00000045-QINU`"' 3.4負數指數 3.5特殊數的冪 3.5.110的冪 3.5.22的冪 3.5.31的冪 3.5.40的冪 3.5.5負1的冪 3.6指數非常大時的冪 4正實數的實數冪 4.1N次方根 4.2有理數冪 4.3e的冪 4.4實數指數冪 5負實數的實數冪 6正實數的複數冪 6.1e的虛數次冪 6.2三角函數 6.3e的複數指數冪 6.4正實數的複數冪 7複數的複數冪 7.1複數的虛數冪 7.2複數的複數冪 7.3一般情況 8在函數中 9在抽象代數中 10計算自然數（正整數）'"`UNIQ--postMath-000000F7-QINU`"'的'"`UNIQ--postMath-000000F8-QINU`"'的算法 11註釋 12另見 13外部連結 重要的恆等式[編輯] 運算法則[編輯] 同底數冪相乘，底數不變，指數相加： a m × a n = a m + n {\displaystylea^{m}\timesa^{n}=a^{m+n}} 同底數冪相除，底數不變，指數相減： a m ÷ a n = a m − n {\displaystylea^{m}\diva^{n}=a^{m-n}} 同指數冪相除，指數不變，底數相除： a n b n = ( a b ) n {\displaystyle{\frac{a^{n}}{b^{n}}}=\left({\frac{a}{b}}\right)^{n}} 其他等式[編輯] x m n = x m n {\displaystylex^{\frac{m}{n}}={\sqrt[{n}]{x^{m}}}} x − m = 1 x m ( x ≠ 0 ) {\displaystylex^{-m}={\frac{1}{x^{m}}}\qquad(x\neq0)} x 0 = 1 ( x ≠ 0 ) {\displaystylex^{0}=1\qquad(x\neq0)} x 1 = x {\displaystylex^{1}=x\,\!} x − 1 = 1 x ( x ≠ 0 ) {\displaystylex^{-1}={\frac{1}{x}}\qquad(x\neq0)} 運算律[編輯] 加法和乘法存在交換律，比如： 2 + 3 = 5 = 3 + 2 {\displaystyle2+3=5=3+2} ， 2 × 3 = 6 = 3 × 2 {\displaystyle2\times3=6=3\times2} ，但是冪的運算不存在交換律， 2 3 = 8 {\displaystyle2^{3}=8} ，但是 3 2 = 9 {\displaystyle3^{2}=9} 。

同樣，加法和乘法存在結合律，比如： ( 2 + 3 ) + 4 = 9 = 2 + ( 3 + 4 ) {\displaystyle(2+3)+4=9=2+(3+4)} ， ( 2 × 3 ) × 4 = 24 = 2 × ( 3 × 4 ) {\displaystyle(2\times3)\times4=24=2\times(3\times4)} 。

不過，冪運算沒有結合律： ( 2 3 ) 4 = 8 4 = 4096 {\displaystyle(2^{3})^{4}=8^{4}=4096} ，而 2 ( 3 4 ) = 2 81 = 2 , 417 , 851 , 639 , 229 , 258 , 349 , 412 , 352 {\displaystyle2^{(3^{4})}=2^{81}=2,417,851,639,229,258,349,412,352} ，所以 ( 2 3 ) 4 ≠ 2 ( 3 4 ) {\displaystyle(2^{3})^{4}\neq2^{(3^{4})}} 。

但是冪運算仍然有其運算律，稱為指數律： a m × a n = a m + n {\displaystylea^{m}\timesa^{n}=a^{m+n}} a m ÷ a n = a m − n {\displaystylea^{m}\diva^{n}=a^{m-n}} ( a m ) n = a m × n {\displaystyle(a^{m})^{n}=a^{m\timesn}} a m n = a m ÷ n {\displaystyle{\sqrt[{n}]{a^{m}}}=a^{m\divn}} a n × b n = ( a × b ) n {\displaystylea^{n}\timesb^{n}=(a\timesb)^{n}} a n ÷ b n = ( a ÷ b ) n {\displaystylea^{n}\divb^{n}=(a\divb)^{n}} 整數指數冪[編輯] 整數指數冪的運算只需要初等代數的知識。

正整數指數冪[編輯] 表達式 a 2 = a ⋅ a {\displaystylea^{2}=a\cdota} 被稱作 a {\displaystylea} 的平方，因為邊長為 a {\displaystylea} 的正方形面積是 a 2 {\displaystylea^{2}} 。

表達式 a 3 = a ⋅ a ⋅ a {\displaystylea^{3}=a\cdota\cdota} 被稱作 a {\displaystylea} 的立方，因為邊長為 a {\displaystylea} 的正方體體積是 a 3 {\displaystylea^{3}} 。

所以 3 2 {\displaystyle3^{2}} 讀作「3的平方」， 2 3 {\displaystyle2^{3}} 讀作「2的立方」。

指數表示的是底數反覆相乘多少次。

比如 3 5 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243 {\displaystyle3^{5}=3\times3\times3\times3\times3=243} ，指數是5，底數是3，表示3反覆相乘5次。

或者，整數指數冪可以遞迴地定義成： a n = { 1 ( n = 0 ) a ⋅ a n − 1 ( n > 0 ) ( 1 a ) − n ( n < 0 ) {\displaystylea^{n}={\begin{cases}1&(n=0)\\a\cdota^{n-1}&(n>0)\\\left({\frac{1}{a}}\right)^{-n}&(n<0)\end{cases}}} 指數是1或者0[編輯] 注意 3 1 {\displaystyle3^{1}} 表示僅僅1個3的乘積，就等於3。

注意 3 5 = 3 × 3 4 {\displaystyle3^{5}=3\times3^{4}} ， 3 4 = 3 × 3 3 {\displaystyle3^{4}=3\times3^{3}} ， 3 3 = 3 × 3 2 {\displaystyle3^{3}=3\times3^{2}} ， 3 2 = 3 × 3 1 {\displaystyle3^{2}=3\times3^{1}} ， 繼續，得到 3 1 = 3 × 3 0 = 3 {\displaystyle3^{1}=3\times3^{0}=3} ，所以 3 0 = 1 {\displaystyle3^{0}=1} 另一個得到此結論的方法是：通過運算法則 x n x m = x n − m {\displaystyle{\frac{x^{n}}{x^{m}}}=x^{n-m}} 當 m = n {\displaystylem=n} 時， 1 = x n x n = x n − n = x 0 {\displaystyle1={\frac{x^{n}}{x^{n}}}=x^{n-n}=x^{0}} 任何數的1次方是它本身。

零的零次方 0 0 {\displaystyle0^{0}} [編輯] 主條目：零的零次方 0 0 {\displaystyle0^{0}} 其實還並未被數學家完整的定義，但部分看法是 0 0 = 1 {\displaystyle0^{0}=1} ，在程式語言中（python） 0 ∗ ∗ 0 = 1 {\displaystyle0**0=1} 在這裡給出這一種極限的看法 lim x → 0 + x x = 0 0 {\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}x^{x}=0^{0}} 於是，可以求出x取值從1到0.0000001計算得到的值，如圖 負數指數[編輯] 我們定義任何不為0的數a的-1次方等於它的倒數。

a − 1 = 1 a {\displaystylea^{-1}={\frac{1}{a}}} 對於非零 a {\displaystylea} 定義 a − n = 1 a n {\displaystylea^{-n}={\frac{1}{a^{n}}}} , 而 a = 0 {\displaystylea=0} 時分母為0沒有意義。

證法一： 根據定義 a m ⋅ a n = a m + n {\displaystylea^{m}\cdota^{n}=a^{m+n}} ，當 m = − n {\displaystylem=-n} 時 a − n a n = a − n + n = a 0 = 1 , {\displaystylea^{-n}\,a^{n}=a^{-n\,+\,n}=a^{0}=1,} 得 a − n a n = 1 {\displaystylea^{-n}\,a^{n}=1} ,所以 a − n = 1 a n {\displaystylea^{-n}={\frac{1}{a^{n}}}} 。

證法二： 通過運算法則 a m a n = a m − n {\displaystyle{\frac{a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}} 當 m = 0 {\displaystylem=0} 時，可得 a − n = a 0 − n = a 0 a n = 1 a n {\displaystylea^{-n}=a^{0-n}={\frac{a^{0}}{a^{n}}}={\frac{1}{a^{n}}}} 負數指數 a − n {\displaystylea^{-n}} 還可以表示成1連續除以 n {\displaystylen} 個 a {\displaystylea} 。

比如： 3 − 4 = 1 3 3 3 3 = 1 81 = 1 3 4 {\displaystyle3^{-4}={\frac{\frac{\frac{\frac{1}{3}}{3}}{3}}{3}}={\frac{1}{81}}={\frac{1}{3^{4}}}} . 特殊數的冪[編輯] 10的冪[編輯] 主條目：科學計數法 在十進位的計數系統中，10的冪寫成1後面跟著很多個0。

例如： 10 3 = 1000 ,   10 − 3 = 0.001 {\displaystyle10^{3}=1000,\10^{-3}=0.001} 因此10的冪用來表示非常大或者非常小的數字。

如：299,792,458（真空中光速，單位是米每秒），可以寫成 2.99792458 × 10 8 {\displaystyle2.99792458\times10^{8}} ，近似值 2.998 × 10 8 {\displaystyle2.998\times10^{8}} 或 3 × 10 8 {\displaystyle3\times10^{8}} . 國際單位制詞頭也使用10的冪來描述特別大或者特別小的數字，比如：詞頭「千」就是 10 3 {\displaystyle10^{3}} ，詞頭「毫」就是 10 − 3 {\displaystyle10^{-3}} 2的冪[編輯] 主條目：2的冪 1的冪[編輯] 1的任何次冪都為1 0的冪[編輯] 0的正數冪都等於0。

0的負數冪沒有定義。

任何非0之數的0次方都是1；而0的0次方是懸而未決的，某些領域下常用的慣例是約定為1。

[1]但某些教科書表示0的0次方為無意義。

[2]也有人主張定義為1。

負1的冪[編輯] -1的奇數冪等於-1 -1的偶數冪等於1 指數非常大時的冪[編輯] 一個大於1的數的冪趨於無窮大，一個小於-1的數的冪趨於負無窮大 當 a > 1 {\displaystylea>1} ， n → ∞ {\displaystylen\to\infty} ， a n → ∞ {\displaystylea^{n}\to\infty} 當 a < − 1 {\displaystylea 0 {\displaystyleb>0} ，滿足 b = e ln ⁡ b {\displaystyleb=e^{\lnb}} 根據對數和指數運算的規則： b x = ( e ln ⁡ b ) x = e x ⋅ ln ⁡ b {\displaystyleb^{x}=(e^{\lnb})^{x}=e^{x\cdot\lnb}} 這就是實數指數冪的定義： b x = e x ⋅ ln ⁡ b {\displaystyleb^{x}=e^{x\cdot\lnb}\,} 實數指數冪 b x {\displaystyleb^{x}} 的這個定義和上面使用有理數指數和連續性的定義相吻合。

對於複數，這種定義更加常用。

負實數的實數冪[編輯] 如果 a {\displaystylea} 是負數且 n {\displaystylen} 是偶數，那麼 x = a n {\displaystylex=a^{n}} 是正數。

如果 a {\displaystylea} 是負數且 n {\displaystylen} 是奇數，那麼 x = a n {\displaystylex=a^{n}} 是負數。

使用對數和有理數指數都不能將 a k {\displaystylea^{k}} （其中 a {\displaystylea} 是負實數， k {\displaystylek} 實數）定義成實數。

在一些特殊情況下，給出一個定義是可行的：負指數的整數指數冪是實數，有理數指數冪對於 a m n {\displaystylea^{\frac{m}{n}}} （ n {\displaystylen} 是奇數）可以使用 n {\displaystylen} 次方根來計算，但是因為沒有實數 x {\displaystylex} 使 x 2 = − 1 {\displaystylex^{2}=-1} ，對於 a m n {\displaystylea^{\frac{m}{n}}} （ n {\displaystylen} 是偶數）時必須使用虛數單位 i {\displaystylei} 。

使用對數的方法不能定義 a ≤ 0 {\displaystylea\leq0} 時的 a k {\displaystylea^{k}} 為實數。

實際上， e x {\displaystylee^{x}} 對於任何實數 x {\displaystylex} 都是正的，所以 ln ⁡ ( a ) {\displaystyle\ln(a)} 對於負數沒有意義。

使用有理數指數冪來逼近的方法也不能用於負數 a {\displaystylea} 因為它依賴於連續性。

函數 f ( r ) = a r {\displaystylef(r)=a^{r}} 對於任何正的有理數 a {\displaystylea} 是連續的，但是對於負數 a {\displaystylea} ，函數 f {\displaystylef} 在有些有理數 r {\displaystyler} 上甚至不是連續的。

例如：當 a = − 1 {\displaystylea=-1} ，它的奇數次根等於-1。

所以如果 n {\displaystylen} 是正奇數整數， − 1 m n = − 1 {\displaystyle-1^{\frac{m}{n}}=-1} 當 m {\displaystylem} 是奇數， − 1 m n = 1 {\displaystyle-1^{\frac{m}{n}}=1} 當 m {\displaystylem} 是偶數。

雖然有理數 q {\displaystyleq} 使 − 1 q = 1 {\displaystyle-1^{q}=1} 的集合是稠密集，但是有理數 q {\displaystyleq} 使 − 1 q = − 1 {\displaystyle-1^{q}=-1} 的集合也是。

所以函數 − 1 q {\displaystyle-1^{q}} 在有理數體不是連續的。

因此，如果要求負實數的任意實數冪，必須將底數和指數看成複數，按複數的正實數冪或複數的複數冪方法計算。

正實數的複數冪[編輯] e的虛數次冪[編輯] 主條目：指數函數 指數函數ez可以通過(1+z/N)N當N趨於無窮大時的極限來定義，那麼eiπ就是(1+iπ/N)N的極限。

在這個動畫中n從1取到100。

(1+iπ/N)N的值通過N重複增加在複數平面上展示，最終結果就是(1+iπ/N)N的準確值。

可以看出，隨著N的增大，(1+iπ/N)N逐漸逼近極限-1。

這就是歐拉公式。

複數運算的幾何意義和e的冪可以幫助我們理解 e i x {\displaystylee^{ix}} （ x {\displaystylex} 是實數），即純虛數指數函數。

想像一個直角三角形 ( 0 , 1 , 1 + i x n ) {\displaystyle(0,1,1+{\frac{ix}{n}})} （括號內是複數平面內三角形的三個頂點），對於足夠大的 n {\displaystylen} ，這個三角形可以看作一個扇形，這個扇形的中心角就等於 x n {\displaystyle{\frac{x}{n}}} 弧度。

對於所有 k {\displaystylek} ，三角形 ( 0 , ( 1 + i x n ) k , ( 1 + i x n ) k + 1 ) {\displaystyle(0,(1+{\frac{ix}{n}})^{k},(1+{\frac{ix}{n}})^{k+1})} 互為相似三角形。

所以當 n {\displaystylen} 足夠大時 ( 1 + i x n ) n {\displaystyle(1+{\frac{ix}{n}})^{n}} 的極限是複數平面上的單位圓上 x {\displaystylex} 弧度的點。

這個點的極坐標是 ( r , θ ) = ( 1 , x ) {\displaystyle(r,\theta)=(1,x)} ，直角坐標是 ( cos ⁡ x , sin ⁡ x ) {\displaystyle(\cosx,\sinx)} 。

所以 e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystylee^{ix}=\cosx+i\sinx} ，而這個函數可以稱為純虛數指數函數。

這就是歐拉公式，它通過複數的意義將代數學和三角學聯繫起來了。

等式 e z = 1 {\displaystylee^{z}=1} 的解是一個整數乘以 2 i π {\displaystyle2i\pi} [4]： { z : e z = 1 } = { 2 k π i : k ∈ Z } . {\displaystyle\{z:e^{z}=1\}=\{2k\pii:k\in\mathbb{Z}\}.} 更一般地，如果 e b = a {\displaystylee^{b}=a} ，那麼 e z = a {\displaystylee^{z}=a} 的每一個解都可以通過將 2 i π {\displaystyle2i\pi} 的整數倍加上 b {\displaystyleb} 得到： { z : e z = a } = { b + 2 k π i : k ∈ Z } . {\displaystyle\{z:e^{z}=a\}=\{b+2k\pii:k\in\mathbb{Z}\}.} 這個複指數函數是一個有週期 2 i π {\displaystyle2i\pi} 的週期函數。

更簡單的： e i π = − 1 ;   e x + i y = e x ( cos ⁡ y + i sin ⁡ y ) {\displaystylee^{i\pi}=-1;\e^{x+iy}=e^{x}(\cosy+i\siny)} 。

三角函數[編輯] 主條目：歐拉公式 根據歐拉公式，三角函數餘弦和正弦是： cos ⁡ z = e i ⋅ z + e − i ⋅ z 2 sin ⁡ z = e i ⋅ z − e − i ⋅ z 2 ⋅ i {\displaystyle\cosz={\frac{e^{i\cdotz}+e^{-i\cdotz}}{2}}\qquad\sinz={\frac{e^{i\cdotz}-e^{-i\cdotz}}{2\cdoti}}} 歷史上，在複數發明之前，餘弦和正弦是用幾何的方法定義的。

上面的公式將複雜的三角函數的求和公式轉換成了簡單的指數方程式 e i ⋅ ( x + y ) = e i ⋅ x ⋅ e i ⋅ y . {\displaystylee^{i\cdot(x+y)}=e^{i\cdotx}\cdote^{i\cdoty}.\,} 使用了複數指數冪之後，很多三角學問題都能夠使用代數方法解決。

e的複數指數冪[編輯] e x + i y {\displaystylee^{x+iy}} 可以分解成 e x ⋅ e i y {\displaystylee^{x}\cdote^{iy}} 。

其中 e x {\displaystylee^{x}} 是 e x + i y {\displaystylee^{x+iy}} 的模， e i y {\displaystylee^{iy}} 決定了 e x + i y {\displaystylee^{x+iy}} 的方向 正實數的複數冪[編輯] 如果 a {\displaystylea} 是一個正實數， z {\displaystylez} 是任何複數， a z {\displaystylea^{z}} 定義成 e z ⋅ ln ⁡ ( a ) {\displaystylee^{z\cdot\ln(a)}} ，其中 x = ln ⁡ ( a ) {\displaystylex=\ln(a)} 是方程式 e x = a {\displaystylee^{x}=a} 的唯一解。

所以處理實數的方法同樣可以用來處理複數。

例如： 2 i = e i ⋅ ln ⁡ ( 2 ) = cos ⁡ ln ⁡ 2 + i ⋅ sin ⁡ ln ⁡ 2 = 0.7692 + 0.63896 i {\displaystyle2^{i}=e^{i\cdot\ln(2)}=\cos{\ln2}+i\cdot\sin{\ln2}=0.7692+0.63896i} e i = 0.54030 + 0.84147 i {\displaystylee^{i}=0.54030+0.84147i} 10 i = − 0.66820 + 0.74398 i {\displaystyle10^{i}=-0.66820+0.74398i} ( e 2 π ) i = 535.49 i = 1 {\displaystyle(e^{2\pi})^{i}=535.49^{i}=1} 複數的複數冪[編輯] 複數的虛數冪[編輯] 讓我們從一個簡單的例子開始：計算 ( 1 + i ) i {\displaystyle\left(1+i\right)^{i}} 。

( 1 + i ) i = [ 2 ( 2 2 + 2 2 i ) ] i = ( 2 e π 4 i ) i = e − π 4 2 i = e − π 4 cos ⁡ ln ⁡ 2 2 + i e − π 4 sin ⁡ ln ⁡ 2 2 {\displaystyle{\begin{aligned}\left(1+i\right)^{i}&=\left[{\sqrt{2}}\left({\frac{\sqrt{2}}{2}}+{\frac{\sqrt{2}}{2}}i\right)\right]^{i}\\&=\left({\sqrt{2}}e^{{\tfrac{\pi}{4}}i}\right)^{i}\\&=e^{-{\tfrac{\pi}{4}}}{\sqrt{2}}^{i}\\&=e^{-{\tfrac{\pi}{4}}}\cos{\frac{\ln2}{2}}+ie^{-{\tfrac{\pi}{4}}}\sin{\frac{\ln2}{2}}\\\end{aligned}}} 其中 2 i {\displaystyle{\sqrt{2}}^{i}} 的得法參見上文正實數的複數冪 複數的複數冪[編輯] 類似地，在計算複數的複數冪時，我們可以將指數的實部與虛部分開以進行冪計算。

例如計算 ( 1 + i ) 2 + i {\displaystyle\left(1+i\right)^{2+i}} ： ( 1 + i ) 2 + i = ( 1 + i ) 2 ( 1 + i ) i = 2 i e − π 4 ( cos ⁡ ln ⁡ 2 2 + i sin ⁡ ln ⁡ 2 2 ) = − 2 e − π 4 sin ⁡ ln ⁡ 2 2 + 2 i e − π 4 cos ⁡ ln ⁡ 2 2 {\displaystyle{\begin{aligned}\left(1+i\right)^{2+i}&=\left(1+i\right)^{2}\left(1+i\right)^{i}\\&=2ie^{-{\tfrac{\pi}{4}}}\left(\cos{\frac{\ln2}{2}}+i\sin{\frac{\ln2}{2}}\right)\\&=-2e^{-{\tfrac{\pi}{4}}}\sin{\frac{\ln2}{2}}+2ie^{-{\tfrac{\pi}{4}}}\cos{\frac{\ln2}{2}}\\\end{aligned}}} 一般情況[編輯] 複數的複數冪必須首先化為底數為 e {\displaystylee} 的形式： w z = e z ln ⁡ w {\displaystylew^{z}=e^{z\lnw}} 又，由複數的極坐標表示法： w = r e i θ {\displaystylew=re^{i\theta}} 故 w z = e z ln ⁡ ( w ) = e z ( ln ⁡ ( r ) + i θ ) {\displaystylew^{z}=e^{z\ln(w)}=e^{z(\ln(r)+i\theta)}} 。

然後，使用歐拉公式處理即可。

由於複數的極坐標表示法中，輻角 θ {\displaystyle\theta} 的取值是具有週期性的，因此複數的複數冪在大多數情況下是多值函數。

不過實際應用中，為了簡便起見，輻角都只取主值，從而使冪值唯一。

在函數中[編輯] 當函數名後有上標的數（即函數的指數），一般指要重複它的運算。

例如 f 3 ( x ) {\displaystylef^{3}(x)} 即 f ( f ( f ( x ) ) ) {\displaystylef(f(f(x)))} 。

特別地， f − 1 ( x ) {\displaystylef^{-1}(x)} 指 f ( x ) {\displaystylef(x)} 的反函數。

但三角函數的情況有所不同，一個正指數應用於函數的名字時，指答案要進行乘方運算，而指數為-1時則表示其反函數。

例如： ( sin ⁡ x ) − 1 {\displaystyle(\sinx)^{-1}} 表示 csc ⁡ x {\displaystyle\cscx} 。

因此在三角函數時，使用 sin − 1 ⁡ x {\displaystyle\sin^{-1}x} 來表示 sin ⁡ x {\displaystyle\sinx} 的反函數 arcsin ⁡ x {\displaystyle\arcsinx} 。

在抽象代數中[編輯] 計算自然數（正整數） n {\displaystylen} 的 a n {\displaystylea^{n}} 的算法[編輯] 最快的方式計算 a n {\displaystylea^{n}} ，當 n {\displaystylen} 是正整數的時候。

它利用了測試一個數是奇數在計算機上是非常容易的，和通過簡單的移所有位向右來除以2的事實。

偽代碼： 1.1→y,n→k,a→f 2.若k不為0,執行3至6 3.若k為奇數,y*f→y 4.k[[位操作#移位|右移]]1位（即k/2→k,小數點無條件捨去） 5.f*f→f 6.回到2 7.傳回y 在C/C++語言中，你可以寫如下算法： doublepower(doublea,unsignedintn) { doubley=1; doublef=a; while(n>0){ if(n%2==1)y*=f; n>>=1; f*=f; } returny; } 此算法的時間複雜度為 O ( log ⁡ n ) {\displaystyle\mathrm{O}(\logn)\!} ，比普通算法快（a自乘100次，時間複雜度為 O ( n ) {\displaystyle\mathrm{O}(n)\!} ），在 n {\displaystylen} 較大的時候更為顯著。

例如計算 a 100 {\displaystylea^{100}} ，普通算法需要算100次，上述算法則只需要算7次。

若要計算 a n ( n < 0 ) {\displaystylea^{n}(n<0)} 可先以上述算法計算 a | n | {\displaystylea^{|n|}} ，再作倒數。

註釋[編輯] ^Augustin-LouisCauchy,Coursd'Analysedel'ÉcoleRoyalePolytechnique(1821).InhisOeuvresComplètes,series2,volume3. ^康軒國中1上《FUN學練功坊①》P.35：a的0次方=1(a≠0)(註：0的0次方為無意義) ^Denlinger,CharlesG.ElementsofRealAnalysis.JonesandBartlett.2011:278–283.ISBN 978-0-7637-7947-4.  ^Thisdefinitionofaprincipalrootofunitycanbefoundin: ThomasH.Cormen,CharlesE.Leiserson,RonaldL.Rivest,andCliffordStein.IntroductiontoAlgorithmssecond.MITPress.2001.ISBN 0-262-03293-7. Onlineresource（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） PaulCull,MaryFlahive,andRobbyRobson.DifferenceEquations:FromRabbitstoChaosUndergraduateTextsinMathematics.Springer.2005.ISBN 0-387-23234-6. Definedonpage351,availableonGooglebooks. "Principalrootofunity（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）",MathWorld. 另見[編輯] 迭代冪次 外部連結[編輯] 指數的歷史 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=冪&oldid=68310731」 分類：初等數學二元運算指數隱藏分類：自2014年2月需補充來源的條目拒絕當選首頁新條目推薦欄目的條目含有英語的條目 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 已展開 已摺疊 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 已展開 已摺疊 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他專案 維基共享資源 其他語言 AfrikaansAlemannischአማርኛالعربيةAsturianuAzərbaycancaБашҡортсаBikolCentralБеларускаяБългарскиবাংলাBosanskiБуряадCatalàکوردیČeštinaЧӑвашлаCymraegDanskDeutschΕλληνικάEnglishEsperantoEspañolEestiEuskaraفارسیSuomiFøroysktFrançaisNordfriiskGaeilge贛語KriyòlgwiyannenGalegoעבריתहिन्दीHrvatskiMagyarՀայերենInterlinguaBahasaIndonesiaIdoÍslenskaItaliano日本語PatoisҚазақша한국어LatinaLinguaFrancaNovaLimburgsLietuviųLatviešuМакедонскиBahasaMelayuनेपालीNederlandsNorsknynorskNorskbokmålਪੰਜਾਬੀPolskiPortuguêsRunaSimiRomânăРусскийSicilianuSrpskohrvatski/српскохрватскиSimpleEnglishSlovenčinaSlovenščinaChiShonaСрпски/srpskiSvenskaதமிழ்ไทยTagalogTürkçeئۇيغۇرچە/UyghurcheУкраїнськаTiếngViệtWinaray吴语Хальмгייִדיש粵語 編輯連結