高一數學第1冊(108課綱)

高中數學數位教材 Skiptocontent 2021年12月23日 內容目錄 高中數學數位教材第一冊第一章數與式1-1(上)有理數與乘法公式有理數的介紹乘法公式1-1(下)根式運算與實數無理數的介紹無理數的例子如何證明根號2是無理數？e的介紹根式的運算1-2絕對值1-3指數與常用對數第二章直線與圓2-1坐標平面與直線方程式2-2直線方程式的應用2-3圓方程式2-4圓與直線的關係第三章多項式3-1多項式的除法多項式的基本概念及其運算綜合除法範例餘式定理因式定理3-2多項式函數3-3多項不等式數學相關議題小學階段學習奧數：利大於弊，還是弊大於利站長簡介 高中數學數位教材 hi，歡迎你來到這裡。

在這個頁面，我將根據108課綱編寫一套以觀念為主的數位教材，除了有文字的解說，同時搭配網路現有教學資源。

讓學生可以自學，觀看影片學習。

整個編寫方式是以部落格的形式呈現，所以盡可能少用符號，多講述觀念。

同時還有製作目錄，讀者可以自行點選目錄看你想看的主題。

看完後，再按「返回目錄」重新選主題。

另外，這不是單純的高中數學內容，還會加入數學史以及一些延伸題材，目的是不要完全受到課綱的限制，讓有興趣的學生學到該學的內容。

要特別注意的是，這些影片是以108課綱章節的順序選取，但錄製的內容不一定完全符合108課綱的要求，請務必對照課本使用，這只是一個輔助的學習方式，在學校還是要用心聽講，才能學到較完整的知識。

關於108課綱，可參考以下文章： 高中數學108課綱「課程」與「考試」分析、各版本整理及考生的因應方式 如果你想要StepbyStep的教學課程，歡迎加入以下電子報，我再視需求決定是否製作相關的教學影片。

另外，如果你想嘗試線上同步學習，歡迎與我聯絡： 第一冊 第一章數與式 1-1(上)有理數與乘法公式 有理數的介紹 這部份的內容包含：有理數的定義、分類與性質(封閉性及稠密性)。

有理數介紹與問題認識有理數和無理數(上篇) 有理數具有加減乘除的封閉性，這是什麼意思呢？有哪些數不具備封閉性？ 有理數的定義與封閉性 有理數具有「稠密性」，與之相對的概念是「離散性」。

那麼什麼數具有離散性呢？答案是整數，因為兩個連續整數之間找不到第3個整數。

有理數的稠密性(理論) 是否任何有理數皆可表示為「小數」？如果答案是肯定的，那會是什麼樣的小數呢？有什麼方法可以快速判斷呢？ 有理數化成小數-1有理數化成小數-2有理數化成小數-3 乘法公式 高中學的乘法公式只比國中多一些，最主要的兩個為「和的立方」、「差的立方」進而衍生出「立方和」與「立方差」公式。

這是很多高一學生感到困難的部份。

乘法公式：高中數學免費線上學習網講解乘法公式：呂冠緯講解 1-1(下)根式運算與實數 無理數的介紹 在實數線上，除了有理數之外還有很多個洞，那些洞就是無理數。

事實上，無理數的數量非常多，甚至比有理數多很多，它同樣具有稠密性！ 問題：要如何證明無理數的稠密性呢？ 這個問題先放著供讀者思考。

然而，無理數不具有加、減、乘、除的封閉性，你是否能舉得出例子說明呢？這件事情非常容易看出來，可觀看以下教學影片。

線上教學：有理數與無理數的「封閉性」和「稠密性」 另外，無理數是否能化為小數？如果能的話，會是何種小數呢？ 線上教學：循環小數和無理數的判定/數與數線 無理數的例子 無理數的形式非常多，例如：圓周率、自然底數e、根號、… 但如果要證明一個數是無理數，通常是不容易的。

但有一些數是高中數學可以做到的，例如證明根號2是無理數，只要用反證法就能做到。

如何證明根號2是無理數？ 證明根號2是無理數(代數方法)證明根號2是無理數(幾何方法)根號2是無理數的10個證明（上） 但是如果要證明「圓周率」或「自然底數e(又稱為納皮爾常數)」是無理數則有相當的難度。

e的介紹 e的由來及定義邱博文微積分(22):e的由來歐拉(Euler，尤拉)數e=2.71828182845904523536常數e為什麼代表了自然？一次看懂自然常數e的由来 根式的運算 因為根式是無理數的一種例子，因此這裡順便來介紹根式的運算方式。

雙重根式入門：雙重根式與小數部分例題 實數的性質 1-2絕對值 絕對值主要是「距離」的觀念，在國中時我們已經學過絕對值的基本運算。

到了高中階段，我們將進一步討論「絕對值方程式」與「絕對值不等式」。

絕對值是什麼？絕對值對應到數線上 絕對值方程式二元絕對值方程式 絕對值不等式絕對值方程式與不等式雙向的絕對值不等式1逆向解含絕對值的不等式分段討論含兩個絕對值得不等式含絕對值的聯立不等式 1-3指數與常用對數 在指數的部份，高中課程會擴展到「有理數」及一般的「實數」。

指數擴展後不影響指數律，但這個事實須要證明。

其中從有理數擴展至一般實數須要用到極限的概念，因此高中階段會略過此證明。

指數的推廣(上篇)指數的推廣(下篇) 省略的部份，我之後會在這個網站以獨立一篇文章的方式補足，可參考「數學老師在課堂上來不及告訴你的事」。

在指數的學習上，要注意幾點： 當指數由「正整數」拓展為「整數」再拓展為「有理數」時，底數應該加上什麼限制？要思考為何要那樣定義：當指數為負數時，表示倒數；若指數為一個分數時，表示開方根？當指數拓展後，要如何驗證仍然滿足指數律？指數律與對數表 指數函數的圖形及其特性指數函數圖形的特徵凹口向上 指數方程式指數方程式的解有對數指數函數方程式變形題 指數不等式－單項式例題指數不等式似解二次多項式不等式 指數與對數的應用(半衰期)指數的應用-細菌 在「對數」的部份，新課綱已弱化僅討論底數為10的對數。

這種對數我們稱之為常用對數。

以下線上教學大多還是舊課綱有討論一般底數的情況，可提供學生做為課後補充使用。

常用對數的介紹對數表與查表常用對數表與內插法 對數律(完整公式介紹)對數的換底公式 對數函數的性質對數函數圖形的對稱對數函數的圖形及其特性 對數的應用問題(濃度問題)試算疾病蔓延的速度-對數的應用指數與對數的應用(半衰期)指數與對數的應用(本利和) 對數方程式【例題】不同底的對數方程式對數方程式－單項式 三步驟解:對數不等式雙向與雙層對數不等式對數不等式例題－1 這個頁面會持續更新，在以下表格填入「姓名」及「E-mail」將取得第一時間的更新通知喔！ 第二章直線與圓 2-1坐標平面與直線方程式 這一章的重點為直線斜率的意涵、直線方程式的種類、兩直線的關係、點與直線、直線與直線的距離。

直線坐標平面的部份，國中已學過，可參考以下線上教學： 【觀念】直角坐標平面【例題】直角坐標平面上的平移【觀念】象限與坐標軸 直線斜率的部份： 引出斜率的想法：斜率是量化直線「傾斜方向」與「傾斜程度」的工具。

直線斜率的定義：給定兩點如何求直線斜率？給定一點及斜角如何求出直線斜率？ 線上教學：直線方程式-斜率的定義、斜角說明 關於直線方程式的種類：要學習從斜率的定義推導出直線方程式 兩點式、點斜式、斜截式、一般式、點向式、截距式 線上教學：直線方程式的四種型式、2秒鐘背完9種直線方程式 我認為直線方程式最重要的就兩種形式：一般式、截距式。

原因是，一般式是我們代「點與直線」、「直線與直線」距離公式的形式。

因此，如果可以直接將直線以一般式表示，就可以省略掉每次由點斜式化為一般式的移項整理過程。

而截距式方便處理直線與兩坐標軸圍出的三角形區域面積。

線上教學：直線方程式–截距式(理論)、點斜式題目練習+截距式推導 關於兩直線的關係：在平面中兩直線的關係只有三種，分別條列如下 平行重合交於一點 其中要注意的事，兩直線平行，則兩斜率相等；兩直線垂直，則兩斜率相乘為負1。

要如何證明呢？ 線上教學：直線方程式-直線的平行、垂直與斜率的關係說明、兩直線的平行與垂直之經典試題 點與直線，直線與直線的距離 關於點與直線的距離：自點向直線作垂足，則點與直線的關係等於點與該垂足的距離。

教學影片：點到直線之距離及其例題關於兩平行線間的距離：在其中一條直線上任挑一點，求此點與另一條直線的距離即為所求。

教學影片：【觀念】導證平行二直線的距離公式 2-2直線方程式的應用 直線的垂直與平行兩直線的平行與垂直之經典試題 108課程–二元一次聯立方程式幾何意義 二元一次不等式及其圖形聯立不等式與可行解區域 2-3圓方程式 我們在高中階段，要開始學習圓方程式，學習的順序如下： 圓的定義為何？圓方程式-圓的定義說明圓的方程式圓方程式-過三點求圓方程式例題圓的方程式有哪些形式？圓的標準式圓的一般式 2-4圓與直線的關係 圓方程式-圓與直線關係說明圓與直線之關係：已知斜率求切線圓外一點求切線(二解)圓外一點求切線(消失的斜率) 第三章多項式 3-1多項式的除法 多項式的基本概念及其運算 多項式的基本概念多項式的定義、多項式的加減乘除運算 多項式的除法原理綜合除法及其原理 綜合除法的注意事項：若除式為ax－b，則操作時，先將除式看成x－b/a，接著會發現商式每一項的係數皆為原本的a倍，要再同時除以a才是以ax－b除完後的商式。

綜合除法範例 綜合除法範例1綜合除法範例2：除式為(ax+b)型的綜合除法綜合除法範例3：應用綜合除法範例4：綜合除法求近似值綜合除法範例5：連續綜合除法的應用綜合除法範例6：利用(ax+b)型的綜合除法求近似值綜合除法範例7：利用(ax+b)型的綜合除法求近似值之解法2 餘式定理 餘式定理的精神：可以將除法問題變成求函數值問題；反之，求函數值問題可轉換為除法求餘式。

遇到高次多項式時，餘式定理的精神就是令除式為零，用以降次求餘式。

你可以自己將以上空格填上嗎？或許可以先點選以下連結聽聽解說再決定要怎填較合理。

多項式的餘式定理 因式定理 由因式定理可知，一個多項式的因式可與此多項式方程式的根相對應。

多項式的因式定理(觀念)：手寫教學多項式的因式定理(觀念)：ppt教學 因式定理的推廣1因式定理的推廣2 美國教授提出一元二次方程新解法？你真的會用韋達定理嗎？：李永樂老師講解 3-2多項式函數 多項式函數-基本觀念教授談多項式函數 一次與二次函數圖形及平移 三次多項式函數的圖形：單維彰教授講解三次函數的圖形：斜槓教師Gim講解三次多項式函數的圖形：賴政泓老師講解 3-3多項不等式 國中時我們已經學過一次不等式，到了高中我們要進一步處理二次不等式及高次不等式。

多項式函數的圖形與多項式不等式系列教學：均一教育平台提供 數學相關議題 小學階段學習奧數：利大於弊，還是弊大於利 站長簡介 本文作者畢業於國立中央大學數學研究所博士班，目前為中學數學教師，已有近二十年高中數學教學經驗；在工作之餘喜愛閱讀與寫作，鑽研高等數學，曾經協助學生通過微積分、線性代數入學考試考上師大數研所。

另外也熱衷於涉獵各種領域，包括投資理財、網路行銷、親子教育、…因為興趣廣泛，因此自稱為「斜槓教師」。

歡迎來到斜槓教師的教育學習網。

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