108課綱高中數學該如何準備？從排列組合與機率談起

二項式定理最重要的，是其一般項的設立，其次則是公式的變化型。

高中數學99課程綱要與108課程綱主要差異對照表. 刪除｜必修部分（相對 ... 部落格 首頁 部落格 學習資訊 108課綱高中數學該如何準備？從排列組合與機率談起 搜尋 學習資訊 2021-06-25 Facebook Line Twitter 108課綱高中數學該如何準備？從排列組合與機率談起 新的學期再過不久即將開始，從舊課方過度到新課綱，有些人對於新的學習方向可能還是有些無所適從；在這篇文章裡，STOODY會簡單地整理出新舊課綱之間的一些主要差異，並且以數學科當中的排列組合與機率為例子，分享在面對新版課綱的同時，該如何為自己做出充足的準備。

  108數學課綱，哪裡不一樣？ 108課綱在數學這方面，有幾個比較具體的改動： 引進核心素養 所謂的「核心素養」，主要包含學生對於數學領域更全面、更系統化的思考，以數學作為工具的應用和創新，以及培養更有效的溝通表達和科技素養。

這樣的訴求乍看之下也許還是讓人摸不著頭緒，但它的精神可以體現在以下兩個項目，也就是「允許計算工具的使用」和「遞進式的學習架構」上。

允許計算工具的使用 從新課綱的推行開始，我們將允許學生使用計算工具來進行運算，這意味著新課綱重視的教學重點，已經與舊課綱不同。

新課綱更需要證明的是學生是否具備「基於對數學原理的理解，進而求出問題的答案」之能力，也因為如此，妥善利用計算工具，確認正確的計算結果，會更能夠減省解題的時間，而得以把同樣的時間拿去做更有意義的安排。

遞進式的學習架構 從上面核心素養的要求出發，我們可以發現新版課綱的編排，有別於傳統「一個單元，從頭上到尾」的模式，而是以「遞進式」的方式來引導學生。

以往同一個單元內的學習內容，將會被拆解成好幾個區塊，分別在不同的學習階段讓學生學習。

學生所學的內容會符合該學習階段足以吸收的程度，拉高層次來看，各個單元又能互相構織成一個網狀、向上疊加的認知架構，以此來帶動學生對學科中各個單元的整理認知與進步。

  學霸都怎麼讀數學——從排列組合和機率談起 根據STOODY的資深教師，超過十年以上的數學教學經驗，排列組合和機率幾乎是八成以上的學生們最無法掌握的單元之一，而這次新課綱的修改，也針對這兩個單元有一定程度的增刪和修改，所以我們決定從排列組合來談談我們對108課綱的看法。

首先，還是讓我們先對排列組合有一個基礎的概念： 排列與組合之關聯性 排列跟組合有什麼差別呢？我們需要先對這兩種概念有一定程度的認識。

假設有一天，我們去雜貨店買糖果，糖果罐裡有n種糖果混雜放置，而我們預計要買m顆糖果...... 當我伸手從n種糖果中，抓取m顆糖果，不討論糖果排列的順序，只觀察我抓到的糖果當中，有哪些種類，這樣的概念，就是組合；而當我把這m顆糖果的排列順序也加進來一起考慮，就變成排列了。

一開始先用這樣的觀念去了解什麼是排列、什麼是組合，就會相對容易許多。

排列組合之特性 接下來，排列組合具備著以下幾種特性。

一、邏輯系統的嚴整性 整個排列組合課程的概念就是在架構完整的邏輯系統之下，一道排列組合的題目，需要用很縝密細膩的思維去思考，多想一些或少想一些，很容易就會出差錯，不得不謹慎注意。

二、要求精確的讀題能力 由於排列組合其實非常具有實用性，在實際生活中很容易就能夠舉出排列組合的例子來出題，所以這些題目通常都有大量的文字敘述，要開始解題之前，一定要弄清楚題目的意思，才能找出正確的解題方法，換句話說，文字閱讀、理解的能力，也就會得格外重要了。

三、對生活經驗的悟性 就如同上面提到的，排列組合的實際應用其實很容易就可以在生活中見識到，但不只是排列組合，其實數學本來就一直都是解決人類生活問題的工具。

而高中數學課程範圍內，最貼近日常生活的，則是以排列組合為主。

機率 機率則是集合與排列組合的聯合展現，如果說機率代表著可能性，則排列組合就是可能性的方法數。

所以，排列組合如果學得不錯，通常機率也可以得心應手。

當然，在條件機率與獨立事件的部分，則需要特別了解公式的意義。

所以底下我們也整理了計數原理和二項式定理的入門概念，讓同學先留下一點印象。

計數原理 加法原理 依照題意，如果題目中的多種狀況不會同時發生，只能擇一，多採用加法原理。

【例】一家日本料理店提供3種不同口味的丼飯，4種不同口味的握壽司和5種不同口味的拉麵。

小明要從中選出1種當作晚餐，當我們在討論他會有幾種不同的選擇情形時，使用到的計算方式，就是加法原理。

乘法原理 依照題意，如果題目中的狀況，有連貫性或順序性，第1個步驟完成後，才能進行第2步驟，這樣的漸進式方法，則採用乘法原理。

【例】今天從甲地到乙地有5條路可以走，從乙地到丙地有6條路可以走。

小明要從甲地經過乙地到達丙地，則他不可能跳過乙地，直接從甲地到達丙地，當我們在討論他會有幾種不同的走法時，使用到的計算方式，就是乘法原理。

取捨原理 取捨原理又稱「排容原理」，我們常會看到的以圓圈來標示集合的「文氏圖」就是它的主要呈現方式。

這是做排列組合題目時，與樹狀圖最常用的兩個圖形分析工具。

其實有許多學測常考的題目，光靠做以上的圖形就可求得結果。

樹狀圖 如果真的「山窮水盡」，不知道這個題目該怎麼下手，就畫一個數狀圖吧！尤其在機率的章節，條件機率這部分就是樹狀圖的舞台。

二項式定理 二項式定理是乘法公式的骨幹，而組合的公式性質可以應用在乘法公式的係數的計算。

二項式定理最重要的，是其一般項的設立，其次則是公式的變化型。

  高中數學99課程綱要與108課程綱主要差異對照表 刪除｜必修部分（相對於99課綱第1、2、3冊及第4冊A版） 多項式函數的拉格朗日插值法、有理根判定、勘根定理 複數系、方程式的虛根、代數基本定理 重複組合 連加符號Σ 三角比與對數值的查表 線性規劃 必修數學A 必修數學B 二次曲線 三角的和差公式 三角不等式、柯西不等式 線性變換、轉移方陣 空間概念之三垂線定理 空間中的直線、平面方程式 三元一次聯立方程式、三階行列式   刪除｜選修部分（相對於99課綱第4冊B版+選修數學甲、乙） 抽樣與統計推論 選修數學甲 選修數學乙   一般三角函數的性質與圖形 數列及其極限   弱化 含絕對值的一次方程式、絕對值不等式 排列組合：教學目標設定在得到古典機率所需的計數範圍，以及二項式展開 三角測量：不另立單元，並且以長方體為主要模型 一般底的對數 平面向量的幾何表示（不在坐標平面上的平面向量） 三元一次聯立方程式的三平面關係 必修數學A+選修數學乙 必修數學B 複數系、方程式的虛根 三角恆等式 （認識）圓錐曲線5   搬移 複數系、方程式的虛根：10⟹12年級選修（數學甲、數學乙有所區隔） 勘根定理：10年級⟹選修數學甲（在10年級以「十進制小數的估計」呈現） 有理數指數與常用對數，在10年級先以記號的形式出現 指數與對數函數：10⟹11年級（數學A、數學B有所區隔） 連加符號Σ：10⟹12年級（選修數學甲、選修數學乙） 條件機率與貝氏定理：10⟹11年級 極坐標、廣義角：11⟹10年級 直線方程式、圓方程式：11⟹10年級 廣義角的三角比（正弦定理、餘弦定理）：11⟹10年級 線性規劃：11年級⟹選修數學乙 二次曲線：11年級⟹選修數學甲 弧度量、三角函數：12年級選修甲、數學乙⟹11年級（數學A、數學B有所區隔） 正餘弦函數的疊合：12年級選修數學甲⟹11年級數學A   新增 計算機融入教學，附帶科學記號數字與有效數字 二次、三次函數的局部圖形近似於一條直線；（10年級）三次函數圖形的對稱點 （數據分布）百分位數 （10年級古典機率）期望值 主觀機率和客觀機率的概念 必修數學A 必修數學B   認識球面上的經線與緯線 連續複利與e的認識 列聯表與文氏圖的關聯 選修數學甲 選修數學乙 幾何分布 多項式函數的微分及其應用 認識指對數函數的標準底e 多項式函數的積分及其應用（詳見下一幅表格：99課綱與108課綱「數學乙」之差異對照表） 牛頓求根法 認識含xy項的二元二次方程式的圖形 從上面的表格我們可以看到，新課綱高中數學的機率這個單元，是把教學目標設立在對古典機率的理解，以及二項式的展開應用，可見課綱的設計者是將古典機率、二項式的使用，視為一種基本的能力，把這種基本能力是先奠定下來，之後才可以往更專精的領域去學習。

也因為這樣的出發點，我們可以看到課綱的設計者，把條件機率移到高二A版數學，但是把一些原本應該在高三學習的內容也往下移到高二A版，因為數學在高中二年級，就已經分流程A、B兩個版本，可以讓學生依照自己的學習意向和程度去做選擇。

以A版數學來說，條件機率和貝式定理的應用，與A版數學的內容較為符合，因此就直接從高一的教學內容，搬移到高二；而既然都已經分流了，原本要等適用B版數學的學生也奠定基礎，再一起在高三學習的東西，也就可以往下搬移了。

再來就是期望值、主觀機率和客觀機率的概念，也被新增到數學的學習內容中。

所謂的期望值，以丟骰子來做舉例，如果今天丟一顆骰子，每一面點數朝上的機率都是1/6，則我們丟這顆骰子能夠得到的結果的總和，除以丟骰子的次數，得到的平均數，就是它的期望值。

期望值在生活中的應用也很廣泛，舉凡剛剛提到的丟骰子、甚至是樂透彩，都會運用到期望值的概念，因此才會新增在高一的內容裡面，當作是基礎概念來教導給學生。

結語 因為108課綱的核心精神是注重理解，遠大於公式的背誦，理解數學原理、理解計算原則，甚至是理解整套數學邏輯背後相關的素養精神，所以在新課綱的推動之下，過去死背公式的學習方式，已經不是現在學好數學的捷徑了，同學們將會需要花上更多心力從各個單元的根本開始理解，層疊建構出屬於自己的網狀認知架構。

STOODY有一個觀念可以在這邊分享給同學們：「最笨的方法往往是好方法。

」我們在過去解題的時候，常常掉入一些「速解法」、「速成法」的迷思當中，以為用最快的方式解出一道題目，才是真正的高手；但其實不然，在學習過程中，我們最推薦的解題方法，反而是腳踏實地、按部就班，把整個解題過程詳細記錄下來，我們所記錄的不只是自己的解題過程，更是這個過程背後的思維脈絡，就好像偵探在偵破案件時需要線索，我們在回顧自己的解題過程時，也需要依靠詳細的解題過程，來反覆了解自己的思維脈絡，才能進而做出修正和改進，數學才會進步。

最後，我們很推薦同學，在這個網路科技日新月異的時代，可以多多善用線上資源！諸如各個高中釋出的考古題，或者部分免費的試題，都是很好的練習資源。

以下是幾所高中的段考考古題資源： 師大附中 武陵高中 松山高中 高中段考試題｜數學科 STOODY在授課之餘，其實也會依照學生的學習程度與需求，提供各種演練試題來鍛鍊同學們的實力，如果真的遇到無法靠自己的力量解決的難題，STOODY也可以提供即時線上解題、線上教學的服務，成為同學面對升學考試時的有效助力，以及徬徨無依時候的學海明燈。

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