對數與約翰．納皮爾(John Napier) - EpisteMath｜數學知識

對數這個名詞，對國中、高中的同學來說都不會陌生，因為他們要學常用對數。

進到大學上微積分時，以e 為底的指數與對數函數更具基本的重要性。

我上課，每次說到這裏總要 ...     首頁|搜尋 ．原載於數學傳播第三卷第四期 ．作者當時任教於清大數學系   對數與約翰．納皮爾(JohnNapier) 賴漢卿     對數這個名詞，對國中、高中的同學來說都不會陌生，因為他們要學常用對數。

進到大學上微積分時，以e為底的指數與對數函數更具基本的重要性。

我上課，每次說到這裏總要簡單提一提有關對數的故事，以引起學生的興趣。

今年我上微積分課時，學生提議將這些故事寫出來好讓較多的學生分享此故事。

寫與講稍有不同，蓋寫出來總得要有系統及根據、講則可以較不嚴格，然應學生的希望，乃花些工夫做個報導。

今天我們所用所講的對數為常用對數或自然對數，與最早Napier的對數稍有出入，唯其來源的精神及其性質可說來自Napier，祇是形式不同而已。

現在就來介紹Napier其人及其發明之對數法則。

JohnNapier,1550～1617 我們知道當一個人想計算大數之積與商時，都常利用對數方法，求其近似值。

其起源可遠溯Kepler（1571～1630）研究天體運動學時他遇到許多非常大的數值計算，但他要求的是有效的近似值，因之乃尋求簡單的計算方法。

當時在蘇格蘭恰好出了一本書 "MirificilogarithmorumCanonisdescriptio,seu...,auctoreacinventoreJoanneNeperobaroneMerchistonii" （驚動人的對數規則與記述，即……著者兼發明者JohnNapier,Merchistonii） 這是1614年的事，傳說著者Napier在1550年出生於蘇格蘭的一小市鎮，Napier原先是長老教會的修道士，他認為對人類最大的奉獻是傳授其教義之精神。

這個非數學家的Napier，為什麼著手研究發明對數呢？詳情不得而知，或許他常聽到有人為龐大的數值計算而感到苦惱，尤其是商、積之計算，因此引起了他推敲是否有簡單的計算方法。

大概因之而發現他的對數法則吧！ Napier首先所推考的是將大數的積或商的近似值計算，轉變成和或差的演算。

於是由積與和的對應，注意到等比級數與等差級數的對應，但怎樣的等比級數對應怎樣的等差級數乃是個問題，這就是在Napier的創意中的關鍵。

Napier最先考慮沿直線運動的兩點P,Q。

P是在定長AZ之始點A到終點Z的運動。

點Q則無限制地從直線A'Z'之始點A'點向Z'方向做運動，P,Q以同速出發。

點Q以等速運動，點P之速度由此點到Z的距離來決定，做減速運動。

如點P在B點時，Q在B'，此時就稱 A'B'為AB的對數。

這就是「Napier對數」的基本定義。

僅就此定義，則尚無法出現「Napier對數」的性質。

為示明其性質，乃取AZ長為r，r可以為很大的值。

在點A的P之速度為r。

P,Q從A,A'出發，經過時間時，P,Q分別抵達B,B'。

當r非常大時，等於瞬間的短時間。

此時P到B的距離等於 rx(1/r)=1，Q到B'的距離也等於1。

今P在點B的速度等於BZ的長，即 故在時間內，點P到達C，點Q到達C'，則 於是 又再經時間Q到D'點，則C'D'=1，而點P在C點的速度是 ，故P在時間內的距離為 ，因此 循此下去，可知點P在A,B,C,D,各點的速度分別為 (1) 其所對應的Q點位置A',B',C',D',為 (2) （注意(2)之數n與(1)中出現之 的次數n相同。

） (2)式的每一個值，依定義是(1)式所對應之「Napier對數」。

為瞭解「Napier對數」的性質，茲用現代的數學形式來說明。

設 (3) y就是「x的Napier對數」，此Napier對數以 表示，這並不是Napier所用的記號。

依自然對數的性質，由(3)可導出 於是 但 故 若令r為極大的值，則上式之近似值成為 故得 (4) 這樣一來 (5) 這就是Napier對數的特性，易於看出「x大於r時， 為負值，x小於r時， 為正值」。

其次設 則 於是得 依「Napier對數」的定義 由(4)得 於是將 代入(*)得 (6) 又 故 依(6)所示之性質 在(5)所示， 為0，故 結果得 (7) 從(6)與(7)所示的性質來看，「Napier的對數」對於自然對數或常用對數之積、商的計算，本質上是具有同樣之性質。

Napier是以三角函數之計算為對象，因此取r=1000000時，決定 。

（參照(5)式）在那個時代既無107之記法，又欠小數之知識，所以才用那麼大的數吧！ Napier死後出版有《Deartelogistica》（計算技術的方法）。

Napier對於代數或幾何所寫的雜錄，不問其完成與否，據說有遺稿集，然因未目睹其中內容，故未能多言，但由「logistica意指做好計算」來看，Napier的數學所示之一面是以計算為主的學問。

參考資料： Sugakiseminarspecialnumber,1971年12月。

  對外搜尋關鍵字：．對數．Napier．Kepler   編者按 三角學源起於天文。

（見圖）起初大家有興趣的是求一大圓中角2θ所對的弦長BC（記做 ），後來又演變成求相應於角θ的BD（即 ）。

函數和函數有密切的關係： 。

這就是「正弦」函數名稱的由來。

最可注意的是那時函數的值是線段長而不是我們現在所知的比值。

這樣的值當然和圓半徑的大小有關。

最早的時候習慣取定半徑的長度為60個單位（若用3做圓周率，則圓周要有360個單位長，所以每一度所對的弧長為一個單位），而製造三角函數表。

當然大家知道這樣的函數表是要相對於半徑長來看才會真正有用。

（實際上這就是現代的三角函數的觀念。

） 如果要得到較精確的函數值，則其小數部分不能隨便捨去；但那時候的歐洲人不懂得小數表示法，他們只會用分數，而且分數的符號及運算技巧都非常笨拙。

為了避免計算上的困難只有將半徑的單位個數加大，使得相應函數值小數以下的部分可以略去。

在Napier的時侯，通常三角函數表中的半徑長變成107那麼大，於是當他為了解決天文上計算的困難而做對數表時，他就取r長為107。

在這樣的r長之下， 所以 。

Napier的對數（其底數為 ）是由三角學的計算而起的，不好用到其他方面的計算。

他及HenryBriggs（1561～1631）不久就發現以10為底的對數最方便最實用，所以Napier的對數只曇花一現，不久就被常用對數替代了。

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