高中物理教材內容討論:關於今年大考有效數字的爭議
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下列以有效數字表示之抵地時間t的平均值與抵地速率v，何者最能適當地表示此實驗測量的結果？ 選項 ...
國立台灣師範大學物理系物理教學示範實驗教室(舊網站)物理問題討論區(黃福坤)
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力學標題:關於今年大考有效數字的爭議
1:_邱明煌(大學理工科系)張貼:2002-07-1223:23:00:
6.小明想利用自由落體公式v=gt，測量一個靜止物體由同一高度下墜抵地時的速率v。
他先由實地測量，得到重力加速度g=9.8m/s2，接著對物體下墜抵地所需之時間t，作了8次測量，得到下表之結果：
測量次序n12345678
抵地時間t(s)1.281.271.281.281.281.271.281.27
下列以有效數字表示之抵地時間t的平均值與抵地速率v，何者最能適當地表示此實驗測量的結果？
選項(A)(B)(C)(D)(E)
t的平均值(s)1.276251.2761.281.281.28
速率v(m/s)12.50702512.612.5012.5113
[這篇文章被編輯過:邱明煌在2002-07-1223:24]
2:_邱明煌(大學理工科系)張貼:2002-07-1223:49:00:[回應上一篇]
按照我所學到的\"高中物理\"有效數字運算法則
t的測量均為三位有效數字
故t的平均值應寫三位有效數字
g是兩位有效數字因此v=gt的結果亦應寫兩位有效數字
因此答案會選(E)
當然大考中心的答案不是(E)
如果以t的測量值1.281.271.28....來看,確實差距很小,大考中心的解答認為應多寫一位,t應寫1.276
除此之外,9.8×1.276最後的結果也不是寫兩位有效字而是寫12.5
這個題目可以分很多層次來看
1.這個題目顯然是挑戰\"一般\"有效數字的運算法則,也就是有效數字的進階問題,很適合做研究或討論,但是拿來考高中生,或者是放在大考來考全國的高中生,悠關全國高中生的升學成績,是否恰當?
2.上述有效數字運算的\"例外\",是否在現行一綱多本的高中教科書中出現,若沒有出現在高中的教科書或是高中的教學中,大學多元入學考試的精神何在?是否鼓勵高中生,每一本教科書都要買,最好是大學的教科書也買,因為題目根本不會從你學過的東西裡面考!
3.再者,大考答案的決定,不能完全根據理論,萬一題目的敘述沒有講清楚,或是表達誤導答題者!就得照白紙黑字的題目來決定!
從題目的敘述,時間測量1.281.27....並不能完全排除系統誤差,多寫一位就能提高正確度嗎?如果不能排除系統誤差,是否該秉持有幾分證據說幾分話的精神,乖乖的寫三位有效數字?
再者題目講\"經由實地的測量,得到重力加速度g=9.8\",亦即9.8不是一個公認值,如果利用打點計時的方式測量g,它的誤差就可能很大,亦即應該要很保守的認為9.8是一個測量值只有兩位有效數字,另一組同學的g可能測量值是g=7.5,多寫一位亦不能保證正確度?
以上是我簡單的看法,此題的爭議仍在持續中,不知各位的看法如何?
關於大考中心公布的說明,可至大考中心網站上看
www.ceec.edu.tw
3:_邱明煌(大學理工科系)張貼:2002-07-1315:48:00:[回應上一篇]
關於這個問題,想了一整夜,再補充幾點:
1.大考中心的解說認為數據1.281.27…..差距都在0.01,因此要多寫一位。
姑且接受這種說法，但是判斷的標準何在？如果差距在0.02要不要多寫一位？0.03呢？0.06呢？它根本沒有提出一個讓人信服的標準！
2.大考中解說認為g=9.8的誤差是0.1/9.8=1/100，這種算法也不知標準何在？如果按照題意g是個測量值，加速度的誤差來源可能就包括了時間的誤差與長度的誤差，如果我們接受9.8的8是可疑數字，即原始數據可能9.09.110.4…..。
則誤差做最壞的打算可能是(9.0-9.8)/10=1/10。
同理，速度誤差0.1/12.5這種計算法不知從何而來?
3.12.5與13這兩種寫法的差約在4/100(12.5-13/12.5)，這跟解說中標榜的1/100誤差，相差並不多，兩者未必達到顯著差異(無實際數據可判讀)。
不一定能說寫12.5就比13要好。
4.有效數字不是一個科學的事實，而是一種人為的定義，不同的人有不同的看法當然很正常。
甚至這是一門很重要的學問，尤其在計算機領域中。
要高中生在緊張的大學聯考中3分鐘內想出來，這是我們要的物理教育嗎？這就是所謂的思考嗎？
5.要考倒學生太簡單了，同樣要考倒老師也很簡單。
什麼的題目適合考試，尤其是大規模考試，什麼樣的題目適合做研究？其中分野何在？這是一個值得討論的問題。
4:黃福坤(研究所)張貼:2002-07-1316:28:00:[回應上一篇]
很抱歉因為七月後至今每天都有活動現在才回覆這個問題
我先不針對題目與這是什麼考試其目的為何等進行討論(避免因立場與觀點而有不同論點)
而是針對有效數字以物理觀點一一來說明(其實本網站很早就有關於實驗數據分析處理的相關網頁)
t的測量均為三位有效數字故t的平均值應寫三位有效數字
以上的說法是否合理呢?
三組人都測量落地時間其數據分別為
第一組1.281.271.281.281.281.271.281.27
第二組1.281.301.261.241.291.251.311.23
第三組1.471.071.371.171.421.121.521.02
以上三組實驗數據的有效數字均是三位是否三者的平均值都等價還是其中一組數據的精密度較高?
所以平均值的寫法是否都一樣?還是應該要反應以上的差異?
當分析實驗數據時要同時注意系統誤差與隨機誤差
但是因為系統誤差和實際狀況有關因此課本講解時經常會註明某些實驗誤差分析的處理方法暫時不考慮系統誤差(含人為誤差等)
又如現今很多的手錶都顯示秒下兩位的數值
以人按手錶測自由落體往往手按下錶計時所產生的誤差在秒下一位因此秒以下兩位數字是否都可信?
如何決定到底平均值的有效性呢?最正確的方法是計算數據的標準偏差進而求得其平均值的標準差
藉以決定該取到哪一位!(請參考以上網頁的說明)
5:黃福坤(研究所)張貼:2002-07-1317:11:00:[回應上一篇]
雖然仔細正確的計算需要用到數據標準偏差的計算
並不屬於高中課程標準的範圍
但是從題目上刻意產生的數據很清楚的顯示其精密度相當高平均值可以取下一位並不需要仔細算標準偏差
何況實驗時取多次實驗結果平均的意義為何?
重複測量同一物理量便是希望藉由隨機誤差的平均獲得更精密的數據
另外將一百張紙測量其厚度可以比一張紙直接測量厚度更精密
這些才是高中學習實驗數據分析處理的意義
我擔心的反倒是
現今高中的教學不重視實際的實驗與實驗數據的分析處理這些不是僅靠聽講就可以的
本系大一的新生往往交實驗報告時都會忘記關於有效數字的問題其實每年科展擔任評審也都見到學校挑出來參展的作品都有實驗數據有效數字沒有處理的狀況
這都是因為很多老師只是在課堂上講解實驗數據的處理而缺少讓學生實際應用的機會
更擔心只是教固定的結果但是卻忽略了其中的假設
(實驗室數據分析處理的講義中大多數推導都是只考慮隨機誤差且假設隨機誤差是常態分佈,很多人都忽略了這些假設)
或許這個題目可以讓我們回頭思考是否我們的教學出了問題而不是著意在分數上
還有當情緒跟著起伏時往往思考會有漏洞
Quote:
大學多元入學考試的精神何在?是否鼓勵高中生,每一本教科書都要買,最好是大學的教科書也買,因為題目根本不會從你學過的東西裡面考!
這一題有如此影響力嗎?若是中學老師因為這樣就鼓勵'高中生每一本教科書都要買,最好是大學的教科書也買',我想就失去老師本身的專業素養了!
'因為題目根本不會從你學過的東西裡面考!'這句話只要找到一題是學過的 就可以證明以上敘述是錯誤的 不是嗎？
你有你的觀點與看法 不見得都是不對的 但是因為情緒性而產生的用詞 雖然激勵了情緒 卻往往反而會降低了自己的有效性
社會上不是常常批評立委質詢的語法或方式嗎？
讓你爭辯的說辭都能站得住腳 才更有希望
否則讓人從你說詞中的弱點回擊 就太可惜了！
請先維持和緩的情緒 思考才會更清晰！
這些過程或許是更有意義的教育！[這篇文章被編輯過:黃福坤在2002-07-1513:08]
6:_邱明煌(大學理工科系)張貼:2002-07-1400:13:00:[回應上一篇]
1.“是否鼓勵高中生,每一本教科書都要買,最好是大學的教科書也買,因為題目根本不會從你學過的東西裡面考!”
這句話我確實應該收回，想不通當時為何要寫這句話，因為我大一普物的Halliday課本，曾國輝的化學，也沒提到用數據標準差的方式來判斷有效位數。
大學課本買了也沒用。
2.或許我用了一些”全稱肯定”，要找到”全稱肯定”的錯誤，確實很簡單。
這些話我也應該作修正。
依照黃教授的看法(不知道我有沒有誤解)，黃教授也承認這一題”可能”已經超出高中的範圍。
但是這一段黃教授應該修正敘述的順序，邏輯會更嚴謹。
原文：
雖然仔細正確的計算需要用到數據標準偏差的計算
並不屬於高中課程標準的範圍
但是從題目上刻意產生的數據很清楚的顯示其精密度相當高平均值可以取下一位並不需要仔細算標準偏差
應該把第二句話移到最後一句：
雖然仔細正確的計算需要用到數據標準偏差的計算
(但是)從題目上刻意產生的數據很清楚的顯示其精密度相當高平均值可以取下一位並不需要仔細算標準偏差
並不屬於高中課程標準的範圍
有效數字的判定要算標準差，既然不在高中範圍，無論是用計算機仔細算標準差，或是目測心算估計標準差，都不在高中課程範圍。
似乎這樣邏輯才正確。
我可以認同用數據標準差來決定有效位數。
但是我的焦點根本不在這個問題，而是”大學入學考試的試卷上是否該出現這個問題”。
我的焦點與黃教授的焦點明顯不同。
黃教授提到：
“現今高中的教學不重視實際的實驗與實驗數據的分析處理這些不是僅靠聽講就可以的………..或許這個題目可以讓我們回頭思考是否我們的教學出了問題而不是著意在分數上”
我常覺得”見微知著”與”以偏概全”往往是一線之隔。
當某些社會問題出現，或許有人會講”我們的教育出了問題”，”我們的政府沒有遠見”。
這些話似乎是萬靈丹，不管放在哪裡都對，沒人會反駁。
但是問題出在哪呢？
ThomasS.Kuhn的Thestructureofscientificrevolutions(科學革命的結構)，不曉得黃教授有沒有看過。
常態科學的重要特徵之一就是教科書的出現。
今天，黃教授認為有效數字重要，游標尺重要。
某某教授認為電子學很重要，某某教授認為近代物理重要，某某教授認為動手做實驗重要，某某教授認為做寫報告很重要。
A教授認為重要的，可能B教授認為還好，B教授覺得重要的，C教授可能覺得一點都不重要。
這些都是教授們的意見，互相矛盾怎麼辦。
這些問題當然不是高中物理教師來評斷。
這些要靠教授們(科學家)去協調，把有共識的部份寫入教科書，教給下一代，沒有共識的部份，就繼續討論。
高中老師根據教科書來教學，而不是根據某一位科學家的意見教學。
科學家不同的意見應該發表在期刊，而不是在教科書,更不是大考考卷。
我再強調一次，我可以認同用數據標準差來決定有效位數。
但是我的焦點根本不在這個問題，而是”大學入學考試的試卷上是否該出現這個問題”。
我堅決反對考試超出課本範圍，我們的高中教育已經是超級”填鴨教育”，就是像黃教授這樣的”熱心”，高中教科書已經是”玲瑯滿目”，新版教科書的份量又比舊教材估計多了15%以上。
結合了眾多教授的”熱心”意見，每一個主題都很重要，每一個主題都要瞭解背後的意義，每一個主題都要瞭解真正的內涵。
可是高中教師的教學時數就是這麼多。
現在的學生壓力很大，厚厚的教科書唸得唸不完，有物理課內的”意義”要瞭解，還有數學化學生物….(學測要考11科)，還要瞭解教科書以外的意義，似乎太強人所難。
我的觀點很簡單，高中教科書是我們學習與教學的重要依據。
”用數據標準差來決定有效位數”，既然不出現在現行高中教科書，就不應該出現在高中生的考卷上。
希望黃教授能認同我的意見，也建議大考中心將此題送分。
並建議大考中心未來的命題能尊重高中教學，在高中教科書的範圍內出題。
如果命題委員覺得\"用標準差來決定有效數字\"很重要,請他把黃教授的文章列入高中教科書,下次大考出題,我就會心服口服.
因此若是學生的條件合適我建議老師們可以在適當的時機多介紹關於標準偏差的意義
早期國中的課程標準採中標也就是以國中生的平均程度定課程標準要求所有學生都要達到相同標準
即使不想繼續升學的學生也要在相同的課程標準下求學造成部分學生的不適應與社會上的反彈
於是過去幾年所實施的課程標準改採低標尤其從精簡教材後很明顯的可看出
國中課程標準訂定的是國中畢業生的最低標準也就是國中畢業後將來不升學的學生應該達到怎樣的程度
為了需要升高中的同學則另外編訂了選修教材以便讓預備升高中的同學選修
結果因為聯考不考選修教材因此幾乎沒有老師教選修教材的內容
於是國中生進入高中後頓時覺得教材深度差異太多
這就是因為很多老師都以聯招為教學目標而不是依據教師本身的專業依照學生的素質與背景提供適當的教學
聯招考一定的範圍是現實的情形是否老師只教聯考考的呢?還是應該以課程標準為基礎配合學生的背景與素質挑選適合的教材版本進行教學
若是能藉由此題讓老師與學生更注意並釐清有效數字的意義達到課程標準原本的要求則是最好的結果!
至於該題是否該送分我沒有特殊的意見!只是請考量以下狀況:
Quote:
若是大家都做錯則送不送分對所有考生都沒有影響
若是完全送分相對的是懲罰答對的同學因為答對的相對於等於扣分
我也完全同意所有命題都應該依據課程標準的規範才不至於惹爭議!(請不要誤解成我認為該題超出範圍)
我也相信所命題者都會設法朝向此目標努力![這篇文章被編輯過:黃福坤在2002-07-1522:44]
10:_邱明煌(大學理工科系)張貼:2002-07-1602:27:00:[回應上一篇]
我同意，有效數字確實沒有超出課程標準之內，但這未必就證成了這題沒有超出高中物理範圍。
課程標準內也有表面張力
2-1流體靜力學(4)液體的表面張力與毛細現象及其應用(a)表面張力的定義及現象
但是要講到多深入，我大學時一直搞不懂表面張力，就到圖書館找到了一本原文書—SurfaceTension300多頁，我很用力地看，這本書甚至可以算出水面凹面的方程式，我辛苦了一個禮拜，還是把它送還圖書館。
如果考題就出毛細管的水面凹面方程式，算不算在課程標準內？算不算在高中物理範圍內？
課程標準就好比憲法，寫得模模糊糊的，如果憲法就可以解決所有的問題，那就不須要其他法律，也不需要大法官會議了。
黃教授提到
”至於各種不同版本的教科書如何實際呈現教材內容已達到以上目標我不清楚
因為我並沒有閱覽不同版本的教科書
但是我相信不管哪個版本都應該會陳述有效數字的意義與應用誤差處理或許不同版本描述的深淺會不同或許有些版本將完整的誤差處理列於實驗手冊的附錄中但是我相信必然都會提到精密度與實驗數據處理的基本原則“
你確實應該沒有仔細翻過高中實驗手冊，我手邊只有翰林、三民、龍騰，缺南一與大同，不過手上現有的實驗手冊確實只提到「基本」原理。
即採取最保守的策略，也就是做最壞的打算，翰林版實驗手冊(二上)第9頁，就提到
「乘除運算結果的有效數字位數，與參與運算各量中的有效數字位數最少者相同」
白紙黑字。
這或許就是高中物理。
三民與龍騰也有相同的文字。
黃教授可能忽略了一件事，高中不是只有「一綱」，而是「一綱多本」。
大考中心的文宣----「一綱多本之命題構想----研究發展處李明燕研究員」就提到「在教育的過程，課程標準是學校教育發展方向的準則，教材是教師與學生互動的素材，評量則是檢驗學生學習成效的指標。
大考中心命題的基本流程即循此基本架構，尊重課程標準，分析教科用書、釐清測驗內容，研發試題、擬定命題原則，最後建立參考試題，供命題組參考。
」
大考中心對高中生的承諾是只要熟讀一種版本就好，會選取各版本的共同部份命題。
我覺得不能動不動就提出「一綱」或是「課程標準」，就好比動不動就提出「中華民國的道統與法統」或是「二千三百萬同胞的利益」，這些話不能解決問題。
有效數字的選取，不同的標準會有不同的結果。
我舉個例子，比如說我們看到一個籃球選手身高很高，我們估計應該在180公分以上，但是這種估計可能太粗淺了，如果再進一步觀察，他的肩膀跟我的眼睛大約同高，再加上自己對自己身高的認知，估計他應該在180~190之間。
如果跟另一位已知身高的籃球選手站在一起，考慮鞋子厚度或是沒有站直等因素，我們可以縮小估計的範圍到183~187之間。
要把推估值的範圍縮得更小，就需要更多的誤差與理論分析。
我無意否定黃教授選擇(B)的理論，問題就在於實際上的高中課本，白紙黑字地採取最保守的策略，而不是黃教授所依據的「基進」的策略。
因此我不同意黃教授的這句話「我也完全同意所有命題都應該依據課程標準的規範才不至於惹爭議!(請不要誤解成我認為該題超出範圍)」。
高中物理課程標準是一種很模糊的說法，它只有4000多字，比起中國民國憲法的9400多字少了一大半。
我認為，這也是大考中心給「全台灣二千三百萬同胞」的承諾，「所有的命題應該照一綱多本的精神，以高中教科書共同或共通的部份命題，才不致有爭議」
所以我還是堅決認為這個題目超出高中物理範圍(當然沒有超出課程標準)，但是至少按照現行教科書白紙黑字教給學生的最保守的選取有效數字的策略，應該是(E)。
這個問題我認為(B)是較「基進」的答案，(E)是最保守的答案。
(B)(E)給分並無懲罰答對者的問題。
順便一提，選擇題不能從答案看出學生觀念是否正確，我的學生中答(B)者，多半是直覺認為每次運算都多寫一位比較好，跟黃教授的推理不同。
認真唸書的，多半答(E)。
這題(E)不給分，才是對用功學生的懲罰。
我手邊沒有大同版的書，因為大同版的書不在一般書局銷售。
您是大同版的編者，你決不是置身事外，如果大同版的實驗手冊，也是以最保守的方式決定有效數字(我明天想辦法弄到)。
這就不只是我與大考中心的爭議。
你也必須對你的讀者負責。
[這篇文章被編輯過:邱明煌在2002-07-1609:21]
11:_邱明煌(大學理工科系)張貼:2002-07-1615:03:00:[回應上一篇]
12:_邱明煌(大學理工科系)張貼:2002-07-1615:43:00:[回應上一篇]
翰林版實驗一第9頁：「乘除運算結果的有效數字位數，與參與運算各量中的有效位數最少者相同」
三民版實驗活動手冊一第6頁：「有效數字的運算遵循兩條原則
a.任何數與估計數運算的結果均為估計值
b.運算結果只保留到最高位之一位估計值為止，其他估計值均捨去」
龍騰版實驗活動手冊一第2頁：「有效數字的運算法則：當有效數字運算時，可靠數字與可靠數字運算後仍為可靠數字，可疑數字與可靠數字或可疑數字運算，其結果則為可疑數字；最終結果的表示法中，可疑數字只能保留一位」
南一版實驗活動手冊第57~58頁：「兩個有效數字的加減和乘除舉例說明如下(可疑數字以陰影表示)略
上述為對四則運算的結果，處理有效數字位數的嚴謹作法。
在兩數字相乘或相除的運算中，有時為求速算起見，所得的積或商的有效數字位數可取等於該兩數字中之有效數字位數較少者，例如在上例123.0和12的乘除運算珠，12為有效位數較少的數字，故所得結果的有效數字取兩位」
大同版實驗活動手冊一附錄D第43~44頁：「通常計算結果的有效位數和原始數據的最少有效數位一樣多。
因此，兩位有效數字的長度測量，計算後經常得到兩位有效數字的面積數值。
…..
以上的結果顯示第二組數據的精密度較高。
最後測量結果的有效位數由平均值的標準差所決定。
決定好有效位數後所多出來的數字便利用上述四捨六入五成雙的原則處理」
我唸大學時的大學普通物理學之教科書--FundamentalofPhysics(作者Halliday、Resnick、Walker，1997年extendedfifthedition，中譯本由全華科技圖書公司出版)之中譯本，第1-3及1-4頁，亦提及「一般而言，最後答案之有效位數不應比原始數據多」。
其實，關鍵在「一般而言」，也就是大部份高中生學到的最粗淺的誤差分析理論，較高層次的分析，在大同版只提到「…最後測量結果的有效位數由平均值的標準差所決定…」，但其實也沒有更進一步提出，怎麼決定。
上一篇是一位學生給我的文件，她自己寫信傳真到大考中心(我只摘錄她寫的部份，不含她引用的資料)。
她是一位相當用功的學生，北一女畢業。
根據她唸的教科書教給她的理論，認真演算的結果是(E)。
結果大考中心沒有提出一套令人心服口服的理論(沒有引用出自哪一本教科書)，只是不斷強調(E)是錯的。
用功的學生，被扣5分(含1分倒扣)。
這是對用功學生的懲罰。
選(B)的，大概不是根據標準差吧！多半用猜的。
卻得了4分。
上下一差9分。
我不曉得這個題目有無鑑別力，有沒有公正性。
我不曉得以後學生還要不要相信他所唸的教科書。
今天已經16日了，大概也只能默默接受大考中心的學術暴力。
一個每天也是睡不著覺的老師
13:黃福坤(研究所)張貼:2002-07-1618:20:00:[回應上一篇]
Quote:
在2002-07-1602:27,邱明煌寫了:
我同意，有效數字確實沒有超出課程標準之內，但這未必就證成了這題沒有超出高中物理範圍。
課程標準內也有表面張力
2-1流體靜力學(4)液體的表面張力與毛細現象及其應用(a)表面張力的定義及現象
但是要講到多深入，我大學時一直搞不懂表面張力，就到圖書館找到了一本原文書—SurfaceTension300多頁，我很用力地看，這本書甚至可以算出水面凹面的方程式，我辛苦了一個禮拜，還是把它送還圖書館。
如果考題就出毛細管的水面凹面方程式，算不算在課程標準內？算不算在高中物理範圍內？
關於表面張力如果題目中需要學生去解方程式自然超出課程標準的範圍
如果題目中方程式只是提供相關訊息並不需要求解等是否還算超出範圍呢?
我並不是因為課程標準有有效數字四個字就說該題並無超出課程標準的範圍
你會提出以上表面張力的說法讓我感到很驚訝!
我從7/3日至今幾乎天天開會或是和研究生討論
這兩天已經盡量暫時拋下手邊工作抽空回應你的問題結果卻是被如此解讀
我有點後悔參與這樣的討論!
總之我將不再討論該題是否合乎課程標準,或者是否該送分等
這種和立場相關見仁見智的爭議我將不再繼續回應
以下我將完全以物理的角度希望能釐清有效數字的相關問題:
我原本很吶悶為何你所提供時間的平均值後三個選項都是1.28
原來題目是時間平均值與速率綜合起來一起勾選
我所認為問題的焦點是:
Quote:
你似乎一直認為:
因為時間的數據都是三位有效位數所以結果也一定取三位有效位數
我前兩次留言一直都針對此點依照精密度與有效數字的的意義提出說明(從物理的角度)
我曾經評審科展時發現學生用有效位數到秒下兩位的計時器測量同一實驗狀況得到類似
t=1.35秒,4.52秒,2.67秒
然後取平均得時間t=2.85秒
我就告訴學生這樣的誤差可能不只是因為手按計時器反應時間的差別實驗過程中很可能有很嚴重的參數沒有控制好應該檢查實驗的過程
若是以上是以光電計時器分別紀錄三段時間
t1=1.35秒,t2=4.52秒,t3=2.67秒
此時若想求得總花費時間t=t1+t2+t3=8.54秒
(從已知的數據只能如此推斷假設每一個數據精密度都真的達到小數點後兩位)
我之前討論(或是在本網站實驗數據分析的網頁中)已經說過處理實驗誤差時除了隨機誤差外還有因為測量儀器的系統誤差變因控制不當或人為測量誤差...等
因此一般課本提到實驗數據分析處理的原則時都是先忽略除了隨機誤差以外的所有誤差來源
因為只有忽略系統誤差才能運用統計方法處理
接下來讓我們以所謂最正統(標準)的方式處理這個問題記得以下是假設數據誤差來源僅含隨機誤差且符合常態分佈)
所測得時間t=1.28,1.27,1.28,1.28,1.28,1.27,1.28,1.27(秒)
依據之前留言所提供實驗數據分析處理方法的網頁
計算其標準偏差得$\sigma_{n-1}=\sqrt{\frac{\sum(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}=5.2\times10^{-2}=0.0052
因此平均值的標準差
$\sigma_{\bar{x}}=\frac{\sigma_{n-1}}{n}=1.8\times10^{-3}=0.0018
依照統計的理論
平均值的標準差代表平均值常態分佈的可能寬度(最佳估計)
平均值落在$\bar{x}\pm\sigma_{\bar{x}}的機率有68.26%
平均值落在$\bar{x}\pm2\times\sigma_{\bar{x}}的機率有95.54
平均值落在$\bar{x}\pm3\times\sigma_{\bar{x}}的機率有99.74
以上例而言平均值的標準差僅等於0.0018因此平均值的有效位數到小數點後三位
所以平均值應該計錄為1.276而不是1.28或是1.27
以上是正統的計算方式主要是對可能有興趣的學生提供參考!
實驗時為何重複測量然後計算其平均值
其目的便是希望藉由誤差的相消增加結果的精密度
測量100張紙可以將有效位數增加兩位
重複測量1000次可以比重複測量100次將有效位數增加1位(因為平均值的標準差和次數的平方根成正比)
為何一般民意測驗大約都抽取將進1000人得到約5%的信心程度這都是因為相信
多次的平均可以增加精密度減少誤差(增加信心指數等)
至於平均速率v的計算由題目所給重力加速度g=9.8m/s2和時間t相乘
是否因為重力速度v有效位數僅兩位則結果就一定僅有兩位呢?
我相信比較小心的作者會寫通常計算結果的有效位數和原始數據最小的有效位數一樣多
當我們寫9.8時我們可能是估計數值在9.7與9.9之間
正如我之前所提的0.1的差別對於9.8而言相對誤差較小(約1%)
但是對於測量值0.5而言0.01的變化卻可能引起20%的變化
因此兩數相乘(或除)時有效位數的選取以相對誤差來估計會是較正確的方式(最正確的是要以實驗數據分析中誤差傳遞的方式計算)
通常計算結果的有效位數和原始數據最小的有效位數一樣多(但是不保證一定完全相同)
在實驗的過程中經常會需要估計的能力正如數量級的估計等(請參考本網站相關網頁)
將時間t和重力加速度相乘如果取13.米/秒
同學們不會覺得很奇怪嗎?
即使取時間t=1.28秒而不是1.276秒
重力加速度g=9.8m/s2
即使以10.*1.28=12.8都小於13結果竟然是13
如果同學就這樣相信則我們就要思考是否教學方式出了問題?
我不願意討論不同版本的寫法
因為我沒有看過各種不同版本的內容
我也不能從你所提的片段文字加以回應
以免犯了斷章取義的嫌疑!
我之所以花時間討論是希望能藉由此讓有興趣的網友更加釐清實驗數據處理的問題
歡迎參考實驗數據分析處理的網頁
也歡迎同學或網友針對物理內容進行討論
至於是否該送分等哪是大考中心的事
我不願意加入爭議因為我還有更多重要的事需處理
最後只是提醒邱老師相差最多五分不會是九分吧!
建議邱老師若是和大考中心討論時千萬要平心氣和否則很容易犯邏輯上的錯誤
之前的討論你已經因為心急,犯了數個邏輯上的錯誤!
[這篇文章被編輯過:黃福坤在2002-07-1814:11]
14:_邱明煌(大學理工科系)張貼:2002-07-1701:46:00:[回應上一篇]
1.確實應該是差五分，應該修正。
2.黃教授不應該用「後悔」這種情緒性的字眼。
而且我不怕犯錯，誰不會犯錯，有錯才知道問題出在哪裡？不是嗎，我們不是應該也秉持這樣的態度教學生嗎？
我們應該鼓勵學生在學習上犯錯，而且我是工學院的學生，我常用試誤法在學習。
我覺得這些討論，我的收獲很多。
可能我對誤差分析是屬於「有很大進步空間」的人。
可能沒跟您提過，我同時跟四個教授(包括您)，如果含命題教授，間接透過大考中心的回函也算的話，就有五人討論這個問題。
姑且不算大考中心的命題教授，因為回函只有A4一頁不到。
你知道嗎？四位教授分成兩派，二個人支持(B)，二個人支持(E)，直到剛剛為止，我一直都以為二個教授支持(E)的看法是認為超出高中範圍，覺得應該送分，所以選(E)，但是我仔細分析，這兩位教授認為(B)是錯的，(E)才是唯一的正確答案。
當然您的看法是相反。
我慢慢歸納你們討論的焦點，發現，你們可能或許大概是根據不同理論。
選(E)的教授，從頭到尾都沒有提統計、標準差這些東西，對於9.8的看法也與您有明顯的不同。
選(B)的教授，從頭到尾都是用統計、標準差，對9.8的看法，也都認為在9.7~9.9之間。
雖然我還是不懂為何跑出9.7~9.9這兩個數字。
至於，到底理論為何，我還要再查資料，等我有心得，再向大家報告。
[這篇文章被編輯過:邱明煌在2002-07-1701:47]
15:黃福坤(研究所)張貼:2002-07-1814:54:00:[回應上一篇]
關於時間的平均值依照以上分析應該紀錄為$1.276\pm0.002秒
至於重力加速度的精密度則有討論的空間!
當使用刻度為1mm(0.1公分)的尺(例如一般15公分的尺)測量一物體長度時
假設我只看到所紀錄物體長度的數值是以下不同狀況時讓我們設想實際情況可能為何?
一般人估計的精密度約0.1-0.3mm範圍
紀錄值(公分)從紀錄值推斷可能狀況
5.65公分物體長度介於5.6和5.7之間,可能不同的人會讀取5.63,5.64,5.65,5.66,5.67幾種可能數值
5.62公分表示觀察者認為物體雖在5.6和5.7之間但是偏向5.6,重複測量可能數值5.61,5,62,5,63幾種可能,會寫5.64的機率應該較少.因為刻度已到0.1公分,應該不可能出現5.60的情況
因為題目提供的資訊是
實地測量，得到重力加速度g=9.8m/s2
到底精密度為何,則可能有不同情形
最糟糕可能$9.8\pm0.9也可能$9.8\pm0.1
實際狀況要依其他實驗條件判斷
自由落體耗時1.276秒,表示物體若從靜止落下則當初高度約8公尺(由$h=\frac{1}{2}gt^2估計)
以8公尺高度而言大概會用皮尺之類的測量
一般尺的刻度大多是mm,因此長度測量大概會有4-5位有效位數(例如7.978公尺)即使考慮系統誤差高達1公分,也應該有三位有效位數
而時間的測量則有四位有效位數
感覺很奇怪重力加速度僅有兩位有效位數
這是我對於該題的情境感覺比較奇怪的地方!
以所提供的時間測量值以及一般對於長度精密度的估計
重力加速度應該有更精密的結果才對
至於題目中的選項應該是出現在數據分析處理過程中
如此判斷或是對於真正曾做過該實驗認真分析過數據的人而言
(B)應該是最合理的選項
但是測得的結果應該不太會出現僅9.8m/s2精密度如此差的結果
除非已知實驗過程中另有不可忽視的系統誤差![這篇文章被編輯過:黃福坤在2002-07-1814:55]
16:狄卡爾榮譽點數25點(大學理工科系)張貼:2002-07-1814:57:00:[回應上一篇]
請問以前一綱一本的時候有這些問題在嗎？
[addsig]
17:黃福坤(研究所)張貼:2002-07-1815:13:00:[回應上一篇]
趁此機會對於誤差傳遞以一個簡單例子說明一下:
記得當我高中時學到
若質量的測量值為6.28$\pm1%公克(以百分誤差描述精密度)
體積的測量值為5.00$\pm1%立方公分
則所算得密度記為1.26$\pm2%公克/立方公分
因為質量的可能範圍為6.28-1%(=6.22)到6.28+1%(6.34)的範圍
體積的可能範圍為5.00-1%(=4.95)到5.00+1%(=5.05)之間
若是質量為最大值6.34體積為最小值4.95
則所算得密度誤差最大可達2%
因此密度記為1.26$\pm2%公克/立方公分
但是以統計觀點而言
質量與體積在上述範圍都有蠻大可能且呈常態分不分式
則質量偏大體積也偏大或是質量偏小體積也偏小的機率大於質量偏大體積偏小或是體積偏大直量偏小的機率
因此估計密度誤差時利用誤差傳遞的方式得到
密度的百分誤差的平方等於質量百分誤差的平方與體積百分誤差的平方和
因此密度=$1.26\pm\sqrt{0.01^2+0.01^2}=1.26\pm0.014=1.26\pm1.4%公克/立方公分
之前百分誤差相加的方式過於保守估計
詳細誤差傳遞請參考之前所提供數據分析處理的網頁希望以上說明能讓大家對於數據分析處理有更清楚的體認![這篇文章被編輯過:黃福坤在2002-07-1815:17]
18:狄卡爾榮譽點數25點(大學理工科系)張貼:2002-07-1815:27:00:[回應上一篇]
回覆黃老師：
看來還是一綱一本較好！
至少學生有個”標準誤差”可以遵循～～
_________________
HenriDiquare[這篇文章被編輯過:狄卡爾在2002-07-1815:28]
19:Aaron(高中職)張貼:2002-07-2510:40:00:[回應上一篇]
我們老師ㄉ解法...(不過我看不懂)
tㄉ平均值取有效數字三位應為1.285
U=gt=9.8*1.28=13m/s取有效數字二位
20:黃福坤(研究所)張貼:2002-07-2511:28:00:[回應上一篇]
Quote:
在2002-07-2510:40,Aaron寫了:
我們老師ㄉ解法...(不過我看不懂)
tㄉ平均值取有效數字三位應為1.285
U=gt=9.8*1.28=13m/s取有效數字二位
是否你誤解老師的意思!
Ａ 1.285共有四位有效位數！
Ｂ 時間測量值有三個 1.27五個1.28怎麼會有1.28５的平均值呢
如果聽不懂就應該及時詢問老師 這樣的學習才有效 而不是記得答案
21:Aaron(高中職)張貼:2002-08-0723:38:00:[回應上一篇]
嗯...我會的謝謝^^
不過我還沒學過這裡
所以聽起來才霧煞煞^^|||
22:阿立(大學)張貼:2002-08-2622:38:00:[回應上一篇]
看了以上的討論後，忽然想到一個問題：
題目所給的八組數據：
1.281.271.281.281.281.271.281.27
有效數字皆為兩位
要求其平均，應分為兩步
1.先將其相加，得10.21為四位有效位數
（並非三位，而是四位，相加時小數點後位數不變）
2.再除以8，得1.276，和被除數相同，為四位有效位數。
故最終答案為四位有效位數！
23:黃福坤(研究所)張貼:2002-08-2717:30:00:[回應上一篇]
應該考慮的是相對百分誤差而不是絕對誤差
請參考之前的留言
24:changjc榮譽點數9點(研究所)張貼:2002-08-2822:41:00:[回應上一篇]
為什麼一般人總認為兩位有效數字乘以三位有效數字，結果一定是兩位呢？為什麼不想想這個原則是怎麼來的？
請算算
9.8X1.28和
9.8X1.08
結果都是兩位有效數字嗎？
沒有實際演算的人會回答：都是兩位有效；
實際演算過的人可能回答：前者兩位，後者三位；
我認為兩者結果的有效位數沒有理由不同，應該都是三位。
本年聯考的題目，第一部分，時間的位數確有爭議，就算是如大考中心公佈的四位有效數字，也應使於超出高中程度，（相信大多數物理教授們見解也不同，怎能來考學生呢？）但是第二部分，算出來的末速的確是三位有效數字。
25:狄卡爾榮譽點數25點(大學理工科系)張貼:2002-07-1814:57:00:[回應上一篇]
請問以前一綱一本的時候有這些問題在嗎？
[addsig]
26:狄卡爾榮譽點數25點(大學理工科系)張貼:2002-07-1815:27:00:[回應上一篇]
看來還是一綱一本較好！至少學生有個”標準誤差”可以遵循～～[這篇文章被編輯過:狄卡爾在2005-01-1716:11:33]
27:nick6311(高中職)張貼:2009-06-1020:27:54:[回應第1篇]
Quote:在2002-07-1223:23:00,_邱明煌寫了:6.小明想利用自由落體公式v=gt，測量一個靜止物體由同一高度下墜抵地時的速率v。
他先由實地測量，得到重力加速度g=9.8m/s2，接著對物體下墜抵地所需之時間t，作了8次測量，得到下表之結果：測量次序n12345678抵地時間t(s)1.281.271.281.281.281.271.281.27下列以有效數字表示之抵地時間t的平均值與抵地速率v，何者最能適當地表示此實驗測量的結果？選項(A)(B)(C)(D)(E)t的平均值(s)1.276251.2761.281.281.28速率v(m/s)12.50702512.612.5012.5113[這篇文章被編輯過:邱明煌在2002-07-1223:24]
您好:
可以請問一下，這題最後的結果是如何呢?若再指考遇到相似類型的題目要如何處理，大考中心有做說明嗎?意即有效數字在大考要如何應用，我現在不知道要怎麼去讀這個部份，麻煩您了
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