圓周率- 維基百科，自由的百科全書

... e^{i\pi }+1=0} 。

此等式亦稱「最奇妙的數學公式」(英語：the most remarkable formula in mathematics)，全因為它將五個最基本的數學常數簡潔地聯繫起來。

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各式各樣的數 基本 N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C {\displaystyle\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}} 正數 R + {\displaystyle\mathbb{R}^{+}} 自然數 N {\displaystyle\mathbb{N}} 正整數 Z + {\displaystyle\mathbb{Z}^{+}} 小數 有限小數 無限小數 循環小數 有理數 Q {\displaystyle\mathbb{Q}} 代數數 A {\displaystyle\mathbb{A}} 實數 R {\displaystyle\mathbb{R}} 複數 C {\displaystyle\mathbb{C}} 高斯整數 Z [ i ] {\displaystyle\mathbb{Z}[i]} 負數 R − {\displaystyle\mathbb{R}^{-}} 整數 Z {\displaystyle\mathbb{Z}} 負整數 Z − {\displaystyle\mathbb{Z}^{-}} 分數 單位分數 二進分數 規矩數 無理數 超越數 虛數 I {\displaystyle\mathbb{I}} 二次無理數 艾森斯坦整數 Z [ ω ] {\displaystyle\mathbb{Z}[\omega]} 延伸 二元數 四元數 H {\displaystyle\mathbb{H}} 八元數 O {\displaystyle\mathbb{O}} 十六元數 S {\displaystyle\mathbb{S}} 超實數 ∗ R {\displaystyle^{*}\mathbb{R}} 大實數 上超實數 雙曲複數 雙複數 複四元數 共四元數（英語：Dualquaternion） 超複數 超數 超現實數 其他 質數 P {\displaystyle\mathbb{P}} 可計算數 基數 艾禮富數 同餘 整數數列 公稱值 規矩數 可定義數 序數 超限數 p進數 數學常數 圓周率 π = 3.141592653 … {\displaystyle\pi=3.141592653\dots} 自然對數的底 e = 2.718281828 … {\displaystylee=2.718281828\dots} 虛數單位 i = − 1 {\displaystylei={\sqrt{-1}}} 無窮大 ∞ {\displaystyle\infty} 圓周率是一個數學常數，為一個圓的周長和其直徑的比率，近似值約等於3.141592654，常用符號 π {\displaystyle\pi} 來表示。

因為 π {\displaystyle\pi} 是一個無理數，所以它不能用分數完全表示出來（即它的小數部分是一個無限不循環小數）。

當然，它可以用像 22 7 {\displaystyle{\frac{22}{7}}} 般的有理數來近似。

π {\displaystyle\pi} 的數字序列被認為是隨機分布的，有一種統計上特別的隨機性，但至今未能證明。

此外， π {\displaystyle\pi} 還是一個超越數——它不是任何有理數係數多項式的根。

由於 π {\displaystyle\pi} 的超越性質，化圓為方的問題不可能用尺規作圖解決。

幾個文明古國在很早就需要計算出 π {\displaystyle\pi} 的較精確的值以便於生產中的計算。

公元5世紀時，中國劉宋數學家祖沖之用幾何方法將圓周率計算到小數點後7位數字。

大約同一時間，印度的數學家也將圓周率計算到小數點後5位。

歷史上首個 π {\displaystyle\pi} 的精確無窮級數公式（即π的萊布尼茨公式）直到約1000年後才由印度數學家發現。

[1][2]微積分的出現，很快地將 π {\displaystyle\pi} 的計算位數推至數百位，足以滿足任何科學工程的計算需求。

在20和21世紀，由於計算機技術的快速發展，藉助計算機的計算使得 π {\displaystyle\pi} 的精度急速提高。

截至2021年8月， π {\displaystyle\pi} 的十進位精度已高達6.28×1013位。

[3]當前人類計算 π {\displaystyle\pi} 的值的主要目的是為打破記錄、測試超級計算機的計算能力和高精度乘法算法，因為幾乎所有的科學研究對 π {\displaystyle\pi} 的精度要求都不會超過幾百位。

[4]:17[5] 因為 π {\displaystyle\pi} 的定義中涉及圓，所以 π {\displaystyle\pi} 在三角學和幾何學的許多公式，特別是在圓形、橢球形或球形相關公式中廣泛應用。

[6]在更近代的數學分析裡， π {\displaystyle\pi} 改由實數系統譜性質中的特徵值或週期來定義，不再指涉幾何。

所以它也在一些和圓之幾何無甚相關的數學和科學領域中出現，像是數論、統計以及幾乎物理學中的所有領域。

π {\displaystyle\pi} 的廣泛應用使它成為科學界內外最廣為人知的常數之一。

人們已經出版了幾本專門介紹 π {\displaystyle\pi} 的書籍，圓周率日（3月14日）和 π {\displaystyle\pi} 值計算突破記錄也往往會成為報紙的新聞頭條。

[7]此外，背誦 π {\displaystyle\pi} 值的世界記錄已經達到100,000位的精度。

[8] 目次 1基本概念 1.1名稱 1.2定義 1.3無理性及正規性 1.4超越性 1.5連分式 1.6近似值 1.7複數與歐拉恆等式 1.8譜特徵 1.9高斯積分 2歷史 2.1遠古時期 2.2割圓時代 2.3無窮級數 2.3.1收斂速度 2.4無理性與超越性 2.5'"`UNIQ--postMath-00000018-QINU`"'符號的引入 3現代數值近似 3.1計算機時代與迭代算法 3.2計算'"`UNIQ--postMath-00000018-QINU`"'的意義 3.3快速收斂級數 3.4蒙特卡洛方法 3.5閥門算法 4用途 4.1幾何學與三角學 4.2拓撲學 4.3向量分析 4.4柯西積分公式 4.5Γ函數與斯特靈公式 4.6數論與黎曼ζ函數 4.7傅立葉級數 4.8模形式與'"`UNIQ--postMath-00000137-QINU`"'函數 4.9柯西分布與位勢論 4.10複變動態系統 5數學之外的'"`UNIQ--postMath-00000018-QINU`"' 5.1描述物理現象 5.2'"`UNIQ--postMath-00000018-QINU`"'的記憶技巧 5.3大眾文化中的'"`UNIQ--postMath-00000018-QINU`"' 6注釋 7參考資料 7.1書籍 7.2引用 8延伸閱讀 9外部連結 直徑為1的圓的周長是π 基本概念[編輯] 名稱[編輯] 數學家用小寫希臘字母 π {\displaystyle\pi} 表示圓周和其直徑之比，有時也將其拼寫為「Pi」，這來自於希臘語「περίμετρος」（周長）的首字母。

[9]在英語中， π {\displaystyle\pi} 的發音與英文單詞「Pie」（/paɪ/，西式餡餅）相同。

[10]在數學中， π {\displaystyle\pi} 的小寫字母（或者是其無襯線體）要和表示連乘積的大寫形式Π相區分開。

關於為何選擇符號 π {\displaystyle\pi} 的原因，請參見π符號的引入一節。

定義[編輯] 圓的周長略大於其直徑的三倍長。

精確的比例稱為 π {\displaystyle\pi} 。

π {\displaystyle\pi} 常用定義為圓的周長 C {\displaystyleC} 與直徑 d {\displaystyled} 的比值：[4]:8 π = C d {\displaystyle\pi={\frac{C}{d}}} . 無論圓的大小如何，比值 C d {\displaystyle{\frac{C}{d}}} 為恆值。

如果一個圓的直徑變為原先的二倍，它的周長也將變為二倍，比值 C d {\displaystyle{\frac{C}{d}}} 不變。

當前 π {\displaystyle\pi} 的定義隱性地使用了歐幾里得幾何中的一些定理，雖然一個圓的定義可以擴展到任意曲面（即非歐幾里得幾何），但這些圓將不再符合定律 π = C d {\displaystyle\pi={\frac{C}{d}}} 。

[4] 這裡，圓的周長指其圓周的弧長，弧長這一概念可以不依賴幾何學————而是使用微積分學中的極限來定義。

[11]例如，若想計算笛卡兒座標系中單位圓 x 2 + y 2 = 1 {\displaystylex^{2}+y^{2}=1} 上半部分的弧長，需要用到積分：[12] π = ∫ − 1 1 d x 1 − x 2 . {\displaystyle\pi=\int_{-1}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}}.} 上述積分是由卡爾·魏爾斯特拉斯於1841年對 π {\displaystyle\pi} 的積分定義。

[13] 這些依賴於周長，且隱性地依賴積分的 π {\displaystyle\pi} 的定義，如今在文獻中並不常見。

雷默特（Remmert(1991)）解釋說這是因為在現代微積分教學中，大學一般將微分學課程安排在積分學課程之前，所以不依賴於後者的 π {\displaystyle\pi} 的定義就很有必要了。

其中一種定義，由理查·巴爾策（英語：RichardBaltzer）提出，[14]由愛德蒙·蘭道推廣，[15]其表述如下： π {\displaystyle\pi} 是兩倍於能使餘弦函數等於零的最小正數。

[4][12][16]餘弦函數可以由獨立於幾何之外的冪級數[17]定義，或者使用微分方程的解來定義。

[16] 在相似的啟發下， π {\displaystyle\pi} 可以用關於復變量 z {\displaystylez} 的複指數函數 exp ⁡ ( z ) {\displaystyle\exp(z)} 來定義。

複指數類似餘弦函數，可透過多種方式定義。

令函數 exp ⁡ ( z ) {\displaystyle\exp(z)} 值為一的複數集合是一個如下所示的（虛）算數過程： { … , − 2 π i , 0 , 2 π i , 4 π i , … } = { 2 π k i | k ∈ Z } {\displaystyle\{\dots,-2\pii,0,2\pii,4\pii,\dots\}=\{2\piki|k\in\mathbb{Z}\}} , 並且其中包括一個獨特的正實數 π {\displaystyle\pi} 。

[12][18] 一個基於同樣想法，但更為抽象的定義運用了精巧的拓撲學和代數學概念，用以下定理描述：[19]存在一個唯一的從加法模數整數組成的實數群R/Z到絕對值為1的複數組成的乘法群的連續同態（拓撲學概念，指在拓撲空間之間的一種態射）。

數字 π {\displaystyle\pi} 被定義為此同態派生的模的一半。

[20] 在給定的周長的條件下，圓會圍成最大的面積，因此 π {\displaystyle\pi} 的表述同樣為等周不等式中出現的常數（乘四分之一）。

此外，在很多其他緊密相關的方程中， π {\displaystyle\pi} 作為某些幾何或者物理過程的特徵值出現；詳見下文。

無理性及正規性[編輯] π {\displaystyle\pi} 是個無理數，也就是說， π {\displaystyle\pi} 無法表示成兩個整數之比的形式（形如 22 7 {\displaystyle{\frac{22}{7}}} 的分數常用來近似表達 π {\displaystyle\pi} ，但是沒有任何普通分數（指整數的比）可以取到 π {\displaystyle\pi} 的精確值）。

[4]:5由於 π {\displaystyle\pi} 是無理數，故可表示為無限不循環小數。

有多種方法能證明π是無理數（英語：proofthatπisirrational），這些證明也都要用到微積分學和反證法。

人們還無法準確得知 π {\displaystyle\pi} 可以用有理數來近似的程度（稱為無理性度量），不過估計其無理性度量比e或ln(2)的要大，但是小於劉維爾數的無理性度量[21]。

人們通過統計隨機性（英語：statisticalrandomness）檢驗，包括正規數的檢驗，驗證了 π {\displaystyle\pi} 的位數沒有明顯的固定模式。

因此， π {\displaystyle\pi} 的小數中任意固定長度的序列（例如3位數字的000,001……999）出現機率都相同[22]。

不過有關π是正規數的猜想既無證明，亦無否證[4]:22-23[22]。

電腦的出現使得人們可以生成大量π的不同位數，並進行統計分析。

金田康正針對π的十進制數字進行了詳細的統計分析，並驗證了其分布的正規性：例如，將出現0到9十個數字的頻率進行假設檢定，找不到有特定重複規律的證據[4]:22,28–30。

根據無限猴子定理，任何任意長度，由隨機內容組成的子序列都有可能看起來像不隨機產生的。

因此，就算π的小數序列通過了隨機性統計測試，其中也可能有幾位的數字看起來似有規律可循而非隨機數，例如π的十進制寫法中，自第762位小數後開始出現了連續六個的9[4]:3。

超越性[編輯] 由於π是超越數，不能利用尺規作圖化圓為方。

π {\displaystyle\pi} 不僅是個無理數，還是一個超越數，即 π {\displaystyle\pi} 不是任何一個有理數係數多項式的根。

（比方說，試圖通過解有限項方程 x 5 120 − x 3 6 + x = 0 {\displaystyle{\frac{x^{5}}{120}}-{\frac{x^{3}}{6}}+x=0} ，來求得 π {\displaystyle\pi} 的值。

）[23][註1] π {\displaystyle\pi} 的超越性衍生出了一些重要的結果： π {\displaystyle\pi} 不能通過有理數經有限次四則運算和開平方運算來獲得，因此 π {\displaystyle\pi} 不是規矩數。

換言之，利用尺規作圖作不出長度為 π {\displaystyle\pi} 的線段，也就不可能用尺規方法做出一個與已知圓面積相等的正方形。

後者即為有名的化圓為方問題，該問題早在古典時代即已提出，曾困擾人們數千年之久[24][25]。

直至今天，依然有民間數學愛好者聲稱他們解決了這一問題[26]。

連分式[編輯] 像所有的無理數一樣， π {\displaystyle\pi} 無法表示成一個分數。

但是每一個無理數，包括 π {\displaystyle\pi} ，都能表示成一系列叫做連分數的連續分數形式： π = 3 + 1 7 + 1 15 + 1 1 + 1 292 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + ⋱ {\displaystyle\pi=3+\textstyle{\frac{1}{7+\textstyle{\frac{1}{15+\textstyle{\frac{1}{1+\textstyle{\frac{1}{292+\textstyle{\frac{1}{1+\textstyle{\frac{1}{1+\textstyle{\frac{1}{1+\ddots}}}}}}}}}}}}}}} 在這個連分數的任意一點截斷化簡，都能得到一個π的近似值；前四個近似值是：3， 22 7 {\displaystyle{\frac{22}{7}}} ， 333 106 {\displaystyle{\frac{333}{106}}} ， 355 113 {\displaystyle{\frac{355}{113}}} 。

這些數在歷史上是 π {\displaystyle\pi} 最廣為人知且廣為使用的幾個近似值。

用以上方式得出的 π {\displaystyle\pi} 的近似值要比任何有相同或更小的整數分母的其他整數分數近似值更接近π。

[27]由於 π {\displaystyle\pi} 是一個超越數，據超越數定義來說它不是代數數，又因此不可能是一個二次無理數；是故 π {\displaystyle\pi} 不能表示為循環連分數。

儘管 π {\displaystyle\pi} 的簡單連分數沒有表現出任何其他明顯規律，[28]數學家們發現了數個廣義連分數能表示 π {\displaystyle\pi} ，例如：[29] π = 4 1 + 1 2 2 + 3 2 2 + 5 2 2 + 7 2 2 + 9 2 2 + ⋱ = 3 + 1 2 6 + 3 2 6 + 5 2 6 + 7 2 6 + 9 2 6 + ⋱ = 4 1 + 1 2 3 + 2 2 5 + 3 2 7 + 4 2 9 + ⋱ {\displaystyle\pi=\textstyle{\cfrac{4}{1+\textstyle{\frac{1^{2}}{2+\textstyle{\frac{3^{2}}{2+\textstyle{\frac{5^{2}}{2+\textstyle{\frac{7^{2}}{2+\textstyle{\frac{9^{2}}{2+\ddots}}}}}}}}}}}}=3+\textstyle{\frac{1^{2}}{6+\textstyle{\frac{3^{2}}{6+\textstyle{\frac{5^{2}}{6+\textstyle{\frac{7^{2}}{6+\textstyle{\frac{9^{2}}{6+\ddots}}}}}}}}}}=\textstyle{\cfrac{4}{1+\textstyle{\frac{1^{2}}{3+\textstyle{\frac{2^{2}}{5+\textstyle{\frac{3^{2}}{7+\textstyle{\frac{4^{2}}{9+\ddots}}}}}}}}}}} 近似值[編輯] 圓周率近似值包括： 整數：3 分數（依準確度順序排列）：22/7、333/106、355/113、52163/16604、103993/33102、245850922/78256779[27]（選自A063674及A063673。

） 小數（整數後首80個位）：3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899...[4]:240（另見A000796） 其他進位制中的近似值 二進位（整數後首48個位）：11.001001000011111101101010100010001000010110100011... 十六進位（整數後首20個位）：3.243F6A8885A308D31319...[4]:242 六十進位（整數後首5個位）：3;8,29,44,0,47[30] 複數與歐拉恆等式[編輯] 歐拉公式給出了e的複指數與複數平面上以原點為圓心的單位圓上的點之間的關係。

任何複數（以 z {\displaystylez} 為例）都可以表示為一組實數對：在極座標系中，一個實數 r {\displaystyler} 用來表示半徑，代表複數平面上複數 z {\displaystylez} 離原點的距離；另一個實數 φ {\displaystyle\varphi} 則用來表示夾角，即這條半徑（複數平面上複數 z {\displaystylez} 與原點的連線）與正實數軸經順時針轉動的夾角。

這樣一來， z {\displaystylez} 就可寫成[31] z = r ⋅ ( cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ ) {\displaystylez=r\cdot(\cos\varphi+i\sin\varphi)} ，這裡 i {\displaystylei} 代表一個虛數單位，即 i 2 = − 1 {\displaystylei^{2}=-1} 。

在複分析中，歐拉公式將三角函數與復指數函數糅合在一起[32]： e i φ = cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ {\displaystylee^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi} ，這裡數學常數e是自然對數的底數。

歐拉公式確立了 e {\displaystylee} 的複指數與複數平面上以原點為圓心的單位圓上的點之間的關係，而且當 φ = π {\displaystyle\varphi=\pi} 時，歐拉公式就能改寫為歐拉恆等式的形式： e i π + 1 = 0 {\displaystylee^{i\pi}+1=0} 。

此等式亦稱「最奇妙的數學公式」(英語：themostremarkableformulainmathematics)，全因為它將五個最基本的數學常數簡潔地聯繫起來[32][33]。

歐拉等式亦可用於求出方程 z n = 1 {\displaystylez^{n}=1} 的 n {\displaystylen} 個不同的複數根（這些根叫做 n n {\displaystyle^{n}n} 次單位根」[34]），可以根據以下公式求得： e 2 π i k / n ( k = 0 , 1 , 2 , … , n − 1 ) . {\displaystylee^{2\piik/n}\qquad(k=0,1,2,\dots,n-1).} 譜特徵[編輯] 震盪弦的泛音是二次微分的本徵函數，會形成泛音列。

對應的本徵值會形成由π整數倍組成的等差數列 π {\displaystyle\pi} 經常出現在和幾何相關的問題之中。

然而，在不少和幾何無關的問題中也可以看到 π {\displaystyle\pi} 的身影。

π {\displaystyle\pi} 在許多的應用中都會以特徵值的形式出現。

例如理想的振動弦（英語：vibratingstring）問題可以建模為函數 f {\displaystylef} 在單位區間 [ 0 , 1 ] {\displaystyle[0,1]} 的圖形，固定邊界值為 f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 {\displaystylef(0)=f(1)=0} 。

弦振動的模態會是微分方程的 f n ( x ) + λ 2 f ( x ) = 0 {\displaystylef^{n}(x)+\lambda^{2}f(x)=0} ，此處λ是相關的特徵值。

受施圖姆-劉維爾理論限制， λ {\displaystyle\lambda} 只能是一些特定的數值。

而 λ = π {\displaystyle\lambda=\pi} 即為一個特徵值，因為函數 f ( x ) = sin ⁡ ( π x ) {\displaystylef(x)=\sin(\pix)} 滿足邊界條件及微分方程 λ = π {\displaystyle\lambda=\pi} [35]。

依照第一代開爾文男爵威廉·湯姆森所述的一個傳說，古迦太基城的外形是等周長問題的一個解（Thompson1894）。

這些包圍著海的區域是迦太基女王狄多所圍的，城不靠海的邊界需要用一塊指定大小的牛皮圍住，後來是將牛皮剪成小段 π {\displaystyle\pi} 是上述方程中最小的特徵值，也和弦振動的基本模式（英語：fundamentalmode）有關。

一個讓弦振動的方式是提供弦能量，能量會滿足維廷格函數不等式[36]，其中提到若函數 f : [ 0 , 1 ] → C {\displaystylef:[0,1]\rightarrow\mathbb{C}} 使得 f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 {\displaystylef(0)=f(1)=0} ，且 f {\displaystylef} 和 f ′ {\displaystylef'} 都是平方可積函數，則以下的不等式成立： π 2 ∫ 0 1 | f ( x ) | 2 d x ≤ ∫ 0 1 | f ′ ( x ) | 2 d x , {\displaystyle\pi^{2}\int_{0}^{1}|f(x)|^{2}\,dx\leq\int_{0}^{1}|f'(x)|^{2}\,dx,} 此例中等號成立的條件恰好是 f {\displaystylef} 為 sin ⁡ ( π x ) {\displaystyle\sin(\pix)} 倍數的時候。

因此 π {\displaystyle\pi} 似乎是維爾丁格不等式的最佳常數，因此也是最小的特徵值（根據雷利商數（英語：Rayleighquotient）的計算方式） π {\displaystyle\pi} 在更高維度的分析中也有類似的角色，出現在其他類似問題的特徵值中。

就如以上所述， π {\displaystyle\pi} 的一個特點是等周定理中的最佳常數：周長為 P {\displaystyleP} 的平面若爾當曲線，所圍面積 A {\displaystyleA} 滿足以下的不等式 4 π A ≤ P 2 , {\displaystyle4\piA\leqP^{2},} 等號成立的條件是曲線為一圓形，因為 A = π r 2 {\displaystyleA=\pir^{2}} 及 P = 2 π r {\displaystyleP=2\pir} .[37]。

圓周率 π {\displaystyle\pi} 也和龐加萊不等式的最佳常數有關[38]， π {\displaystyle\pi} 是一維及二維的狄氏能量（英語：Dirichletenergy）特徵向量最佳值中，最小的一個，因此 π {\displaystyle\pi} 會出現在許多經典的物理現象中，例如經典的位勢論[39][40][41]。

其一維的情形即為維廷格不等式。

圓周率π也是傅立葉變換的一個重要常數，傅立葉變換屬於積分變換，將一個在實數線上的一個有複數值，可積分的函數，轉換為以下的型式： f ^ ( ξ ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − 2 π i x ξ d x . {\displaystyle{\hat{f}}(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\piix\xi}\,dx.} 傅立葉變換有幾種不同的寫法，但不論怎麼寫，傅立葉變換及反傅立葉變換中，一定會有某處出現 π {\displaystyle\pi} 。

不過上述的定義是最經典的，因為其描述了L2空間中唯一的么正算符，也是 L 1 {\displaystyleL^{1}} 空間到 L ∞ {\displaystyleL^{\infty}} 空間的代數同態[42]。

不確定性原理中也有出現 π {\displaystyle\pi} 這個數字。

不確定性原理提出了可以將一個函數在空間及在頻域中局部化程度的下限，利用傅立葉轉換的方式表示： ∫ − ∞ ∞ x 2 | f ( x ) | 2 d x   ∫ − ∞ ∞ ξ 2 | f ^ ( ξ ) | 2 d ξ ≥ ( 1 4 π ∫ − ∞ ∞ | f ( x ) | 2 d x ) 2 . {\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^{2}|f(x)|^{2}\,dx\\int_{-\infty}^{\infty}\xi^{2}|{\hat{f}}(\xi)|^{2}\,d\xi\geq\left({\frac{1}{4\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^{2}\,dx\right)^{2}.} 物理的結果，有關量子力學中同時觀測位置及動量的不確定性，見下文。

傅立葉分析中π的出現是史東–馮紐曼定理（英語：Stone–vonNeumanntheorem）的結果，證實了海森伯群的薛定諤表示（英語：Schrödingerrepresentation）的唯一性[43]。

高斯積分[編輯] 高斯函數 f ( x ) = e − x 2 {\displaystylef(x)=e^{-x^{2}}} 的圖像，函數下方與X軸圍成的陰影部分面積為 π {\displaystyle{\sqrt{\pi}}} 。

高斯積分是對高斯函數 e − x 2 {\displaystylee^{-x^{2}}} 在整條實數軸上的積分，即函數下方與X軸圍成的面積，其結果為 π {\displaystyle{\sqrt{\pi}}} ， ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π {\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt{\pi}}} 此積分的計算可以先計算 f ( x ) = e − x 2 {\displaystylef(x)=e^{-x^{2}}} 對整條實數軸的積分的平方，通過轉換笛卡爾座標系為極座標系從而求得 ( ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ) 2 = ∬ R 2 e − ( x 2 + y 2 ) d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ e − r 2 r d r d θ = π {\displaystyle\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2}=\iint_{\mathbf{R}^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dxdy=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-r^{2}}r\,dr\,d\theta=\pi} 其他計算方法可參閱高斯積分。

高斯函數更一般的形式為 f ( x ) = a exp ⁡ − ( x − b ) 2 2 c 2 {\displaystylef(x)=a\exp{\frac{-(x-b)^{2}}{2c^{2}}}} ，求一般形式的高斯積分均可通過換元積分法轉化為求 f ( x ) = e − x 2 {\displaystylef(x)=e^{-x^{2}}} 的積分。

另外，當高斯函數為以下形式時，它則是平均數為 μ {\displaystyle\mu} 和標準差為 σ {\displaystyle\sigma} 的常態分布的機率密度函數[44]： f ( x ) = 1 σ 2 π exp ⁡ − ( x − μ ) 2 2 σ 2 {\displaystylef(x)={1\over\sigma{\sqrt{2\pi}}}\,\exp{\frac{-(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}} 因為這個函數是一個機率密度函數，函數下方與X軸圍成的面積必須為1，令 μ = 0 {\displaystyle\mu=0} 和 σ = 1 {\displaystyle\sigma=1} 即可變換得出 ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π {\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt{\pi}}} 。

機率論與統計學領域經常使用常態分布來作為複雜現象的簡單模型：例如科學家通常假設大多數試驗觀測值的隨機誤差都是服從常態分布[45]。

由一維布朗運動的反正弦定律，可以通過試驗正信號相對於負信號領先權過零點的分布反過來推算π 機率論與統計學中的中央極限定理解釋了常態分布以及 π {\displaystyle\pi} 的核心作用，這個定理本質上是聯繫著 π {\displaystyle\pi} 的譜特徵與海森堡不確定性原理相關的特徵值，並且在不確定性原理中有 σ x σ p ≥ ℏ / 2 {\displaystyle\sigma_{x}\sigma_{p}\geq\hbar/2} ， 這裡的 σ x {\displaystyle\sigma_{x}} 與 σ p {\displaystyle\sigma_{p}} 分別為位置與動量的標準差， ℏ {\displaystyle\hbar} 是約化普朗克常數，而不等式的等號若且唯若粒子的波函數為高斯函數使成立[46]。

同樣地， π {\displaystyle\pi} 作為唯一獨特的常數使得高斯函數等於其自身的傅立葉變換，此時的高斯函數形式為 f ( x ) = e − π x 2 {\displaystylef(x)=e^{-\pix^{2}}} [47]。

根據豪（Howe）的說法，建立傅立葉分析基本定理的「全部工作（wholebusiness）」簡化為高斯積分。

歷史[編輯] 主條目：π的近似值 參見：π計算年表 遠古時期[編輯] 圓周率在遠古時期（公元前一千紀）已估算至前兩位（「3」和「1」）。

有些埃及學家聲稱，遠至古王國時期時期的古埃及人已經用 22 7 {\displaystyle{\frac{22}{7}}} 作為圓周率的約數[48][註2]，但這個說法受到了質疑。

[50][51][52][53] 最早有記載的對圓周率估值在古埃及和巴比倫出現，兩個估值都與圓周率的正確數值相差不到百分之一。

巴比倫曾出土一塊公元前1900至1600年的泥板，泥板上的幾何學陳述暗示了人們當時把圓周率視同 25 8 {\displaystyle{\frac{25}{8}}} （等於3.125）。

[4]:167埃及的萊因德數學紙草書（鑑定撰寫年份為公元前1650年，但抄自一份公元前1850年的文本）載有用作計算圓面積的公式，該公式中圓周率等於 ( 16 9 ) 2 {\displaystyle({\frac{16}{9}})^{2}} （約等於3.1605）。

[4]:167 公元前4世紀的《百道梵書（英語：ShatapathaBrahmana）》中的天文學運算把 339 108 {\displaystyle{\frac{339}{108}}} （約等於3.139，精確到99.91%）用作圓周率估值[54]。

公元前150年前的其他印度文獻把圓周率視為 10 {\displaystyle{\sqrt{10}}} （約等於3.1622）[4]:169。

割圓時代[編輯] π可以透過計算圓的外切多邊形及內接多邊形周長來估算 第一個有紀錄、嚴謹計算π數值的演算法是透過正多邊形的幾何算法，是在西元前250年由希臘數學家阿基米德所發明。

[4]:170這個算法使用了有一千年之久，因而有時π亦稱阿基米德常數。

[4]:175、205阿基米德的算法是在計算圓的外切正六邊形及內接正六邊形的邊長，以此計算 π {\displaystyle\pi} 的上限及下限，之後再將六邊形變成十二邊形，繼續計算邊長……，一直計算到正96邊形為止。

他根據多邊形的邊長證明 223 71 < π < 22 7 {\displaystyle{\frac{223}{71}}