有限體- 維基百科，自由的百科全書

在數學中，有限體（英語：finite field）或伽羅瓦體（英語：Galois field，為紀念埃瓦里斯特·伽羅瓦命名）是包含有限個元素的體。

與其他體一樣，有限體是進行加減乘除運算 ... 有限體 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 在數學中，有限體（英語：finitefield）或伽羅瓦體（英語：Galoisfield，為紀念埃瓦里斯特·伽羅瓦命名）是包含有限個元素的體。

與其他體一樣，有限體是進行加減乘除運算都有定義並且滿足特定規則的集合。

有限體最常見的例子是當p為質數時，整數對p取模。

有限體的元素個數稱為它的階。

有限體在許多數學和計算機科學領體的基礎，包括數論、代數幾何、伽羅瓦理論、有限幾何學、密碼學和編碼理論。

目次 1定理 2存在性與唯一性 3弗羅貝尼烏斯自同構和伽羅瓦理論 4一些小型的有限域 5參考文獻 6參見 定理[編輯] 有限體的階（有限體中元素的個數）是一個質數的冪。

對於每個質數p和每個正整數n在同構的意義下存在惟一的 p n {\displaystylep^{n}} 階的有限體，並且所有元素都是方程式 x p n − x = 0 {\displaystylex^{p^{n}}-x=0} 的根，該體的特徵為p。

有限體的乘法群是循環群。

即若F是有限體，則存在 α ∈ F {\displaystyle\alpha\inF} 使得 F ∗ = { x ∈ F | x ≠ 0 } = ⟨ α ⟩ {\displaystyleF^{*}=\{x\inF|x\neq0\}=\langle\alpha\rangle} 有限體是完美體，即它的任何代數擴張一定是可分擴張 有限體的有限擴張一定是伽羅瓦擴張，並且對應的伽羅瓦群是循環群。

存在性與唯一性[編輯] 設q=pn為質數冪，F為多項式 P = X q − X {\displaystyleP=X^{q}-X} 於質數體GF(p)上的分裂體。

換言之，F是最低階的有限體，使得P在F內有q個互異的根（注意P的形式導數（英語：formalderivative）為 − 1 ≠ 0 {\displaystyle-1\neq0} ，因此P無重根）。

利用二項式定理，可證恆等式 ( x + y ) p = x p + y p {\displaystyle(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}} 在特徵為p的體上成立（中一新生之夢）。

此恆等式說明P任兩根之和或積仍為P的根。

同時，P的根的乘法反元素仍是根，因此P的根構成一個q階的體。

由F的最小性，可知此體即為F。

由於分裂體在同構意義下唯一，q階體也在同構意義下唯一（已證其為 P = X q − X {\displaystyleP=X^{q}-X} 的分裂體）。

而且，若體F有一個階為 q = p k {\displaystyleq=p^{k}} 的子體，則其元素恰為 X q − X {\displaystyleX^{q}-X} 的q個根，所以F不能包含另一個階為q的子體。

E·H·摩爾於1893年證明了以下的分類定理，可作為本節的總結：[1] 有限體的階為質數冪。

對任意一個質數冪q,都存在q階的體，並且任意兩個q階的體都同構。

該些體中，任意的元素x都滿足 x q = x , {\displaystylex^{q}=x,} 且多項式Xq−X可分解成 X q − X = ∏ a ∈ F ( X − a ) . {\displaystyleX^{q}-X=\prod_{a\inF}(X-a).} 由此可知，GF(pn)有同構於GF(pm)的子體若且唯若m整除n；該情況下，僅有唯一的子體與GF(pm)同構。

多項式Xpm−X整除Xpn−X也是若且唯若m整除n. 弗羅貝尼烏斯自同構和伽羅瓦理論[編輯] 設p為質數，q=pn為質數冪。

在GF(q)中，恆等式(x+y)p=xp+yp說明映射 φ : x ↦ x p {\displaystyle\varphi:x\mapstox^{p}} 是GF(q)上GF(p)-線性的體自同構，其保持子體GF(p)的元素。

該映射稱為弗比尼斯自同構，得名於費迪南德·格奧爾格·弗比尼斯。

記φk為φ的k次疊代，則 φ k : x ↦ x p k . {\displaystyle\varphi^{k}:x\mapstox^{p^{k}}.} 此前已證明φn為恆同映射。

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