有效數字的正確使用 - 9lib TW

乘方、開根號：有效數字的位數不變。

例如2位有效數字1.5的兩次方為1.52=2.25，最後應以四捨五入後數值2.3 的2位有效數字來表示。

. 生. （三）統計數據的有效數字. 統. menu menu Loading... Home &nbsp 其他 有效數字的正確使用 4  90  Download (0) 顯示更多(3頁) 顯示更多(頁) 立即下載(4頁) 全文 (1)有的正確使用數字效.生物統計.農試所作物組呂椿棠農試所副所長呂秀英.一、前言研究人員在實驗過程中或是撰寫報告、整理圖表時，常常遇到數字不知道要取到幾位數的問題。

此涉及到「有效數字(effectivenumber)」的基本觀念，尤其在統計應用上，由於很多計量資料在測量時受限於工具的精確度，總有無法避免的誤差；另記錄資料時，可能配合實務需要記錄成較簡約的數值。

因此記錄結果的數字，當如何以有效數字的方法來表示實驗精確度，是每位研究人員應具備的重要基本知能。

.二、有效數字的表示法在自然科學領域裡，用來記錄結果的數字，幾乎全是由觀測得來。

有效數字，簡單來說就是測量時可判讀的數字，亦即確實有根據的數字。

當多次測量同一物件，所有觀測值是固定不變的數字，該數字稱為「精確數字」或「可靠數字」(certaindigits)，例如3次秤量某化學合成物的結果各為4.0843,4.0842,4.0844(g)(g)，則前四個數字是可靠數字，第五位則否，稱為「欠準數字」.作者：呂椿棠副研究員連絡電話：04-23317127.(uncertaindigits)。

在實際工作中，為不降低觀測值的準確度，最後一位數允許是欠準的，但不能再多。

因此，這可靠數字加上一位估計之欠準數字所組合的所有數字，稱為有效數字。

而「有效位數(significantfiguresorsignificantdigits)」為可靠數字與欠準數字的位數之總和，即可靠數字的位數加一，如本例的3次測量值是5位有效數字。

.三、有效數字的位數決定準則有效數字的位數決定準則，整理如（表一）所示。

「0」這個數字的出現常令有效位數有些困擾，其原則為：小數點後面的「0」與夾在數字中間的「0」均為有效數字，所有非零數值前的「0」均不是有效數字，因此例如3.0075是5位有效數字、0.0360是3位有效數字。

然而在整數中的尾數若為「0」時會具有混淆性，例如1500可能是2位有效數字，但也可能是3位或4位有效數字，除了在數學上可以利用非零後面加小數點符號「.」或零上面加符號「－」來定位有效數字外，在自然科學實驗上最常以科學記數法來表示較大測量值的有效數字，例如為正確表示1500mL測量值的有效數字，可根據儀器的最小測量單位，以下列科學記數法來表示：.農業試驗所技術服務．2013年03月．93期.11.(2)生物統計.1.5×103mL（2位有效數字，表示±100mL）1.50×103mL（3位有效數字，表示±10mL）1.500×103mL（4位有效數字，表示±1mL）這些數值都是1500mL，但精確度不同，如1.500×103mL較1.5×103mL的精確度增加了一百倍，確度增加了一百倍，因為最後多了兩個0，這兩個0也是有效數字。

倘若根據最小測量單位，1500mL需表示到5位有效數字時，則應寫成1500.0mL或以科學記數1.5000×103mL呈現。

.四、實驗分析數據的有效數字這可以從直接測量、計算及統計量之三種不同應用場合，分別說明。

.（一）測量數據的有效數字1.具刻度之測量：通常我們以儀器最小能讀到的刻度值（精確數字）外加一位估計值（欠準數字）作為記錄的結果。

例如（圖一）的量筒之最小測量單位是0.1mL，依刻度上可準確讀到的最小刻度為3.1mL，並可從3.1到3.2之間粗略估.表一、有效數字的位數決定準則準則.12.計溶液體積大致為3.13mL，此「1」後面的「3」估計值可能隨不同的人判讀而有不同的估計差異，所記錄的讀值3.13mL是3位有效數字。

2.數位化電子螢幕顯示：由於科技進步，現代很多儀表顯示都已數位化（直接顯示數值），在正常情形下，最後一位顯示的數值，已包含了儀器幫忙估計的成分，的成分，故通常以直接記錄有數值為原則。

以電子天平為例，同一藥品若用兩種不同精密度的天平稱重，各得到1.20g及1.1835g兩組數據，顯示這兩台天平的精密度分別為±40.01g及±0.0001g。

以第一台天平來說，記錄數字1.20g中的「0」便很重要，不3能簡略寫成1.2g，否則會讓人誤以為天平的稱重誤差為±0.1g。

因此記錄實驗測量數據時，要特別2注意有效數字，即記錄精確讀到的數值再圖一、量筒測量的實例加一位估計值。

(最小刻度0.1mL)。

.範例.1.所有非零數字皆為有效數字.148（3位有效數字）、48.26（4位有效數字）.2.在兩非零數字間的數字亦皆為有效數字.4308（4位有效數字）、3.0075（5位有效數字）.3.純小數中，非零數字前面的零不計而後面的零要計入有效數字.0.0360（3位有效數字）.4.帶小數中，非零數字後面的零皆為有效數字.2.30（3位有效數字）.5.整數後面的零，可計或不計為有效數字，除非零後面加小數點符號「.」或零上面加符號「－」.47,500（3位有效數字）、1500（2位有效數字）、1500.（4位有效數字）、1500（3位有效數字）.6.任何量度之數字皆可寫成科學記號：a×10n；則a的位數全為有效數字.4.75×104（3位有效數字）、4.750×104（4位有效數字）.7.非因測量得到的精確數字（exactnumber），有效位數為無窮多位.像是由定義而來的數字，如1in=2.54cm、π、無理數、一世紀100年等；與測量無關的計數值，如3個果實等.農業試驗所技術服務．2013年03月．93期.(3)但是，並非數位化儀器所顯示的數值，都必須完全記錄。

儀器顯示的最小刻度值，應該要配合儀器的精密度。

但儀器商基於成本問題，可能使用相同的顯示元件來生產不同精密度的儀器，造成其顯示數值可能多於實際的精密度；另外儀器確實夠精密，卻因為測量週遭環境影響，而可能超過儀器精密度的範圍。

例如使用例如使用66位數精密電表測量電阻位數精密電表測量電阻，，結果數值後幾位連續不斷跳動（即選用太過精密的儀器），此時就沒有必要多記錄後面一直變動的數值，徒增計算和記錄的負擔而已。

3.測量尺度轉換：當實際測量數據進行測量尺度的轉換後，原來測量值的有效位數應不變。

例如以儀器測量到148.2mm的4位有效數字，若將此長度測量值的單位由mm轉換成cm表示時，應寫成14.82cm，以維持原有的4位有效數字。

.（二）計算數據的有效數字在運算各有效數字時，先不要對個別數字進行四捨五入，應該在運算後，根據以下有效位數運算規則再進行四捨五入。

1.加法、減法：以小數點的位數為準，取小數點後面位數最少者。

例如3.145（4位有效數字）+1.12（3位有效數字）=4.265，最後應以四捨五入後數值4.27的3位有效數字來表示，因為1.12的小數點後第2位的「2」是欠準數字，加上其他數字所產生的合計數字，其小數點後第2位數後面的所有數字自然也是欠準的，不當作有效數字。

2.乘法、除法：取所有運算式子中最少位數者。

例如3.0（2位有效數字）×12.6（3位有效數字）=37.80，最後應以38的2位有效數字來表示。

.3.乘方、開根號：有效數字的位數不變。

例如2位有效數字1.5的兩次方為1.52=2.25，最後應以四捨五入後數值2.3的2位有效數字來表示。

.生.（三）統計數據的有效數字.統.一般統計軟體通常會將計算結果以至少8個有效位數來顯示統計量，但太多的位數不易閱讀，因此我們在撰寫報告或製作簡報時，為求精簡，在不影響其精準度下得將其四捨五入。

以下列舉一些常用統計量之有效數字的表示原則。

1.大部分的統計量需以2位有效數字，或當統計量數值<1時以小數點後2位數呈現，例如以下統計量：相對比值：12,2.6,0.64百分比：73%,7.3%,0.73%相關係數(r)或迴歸決定係數(R2)：0.97,0.23,0.05除非該統計量的數值小到0.01以下，例如0.0032，若將其四捨五入到小數點後第2位，會讓人以為數值是0，此時就應取到小數點後3位數，以0.003來表示。

同理，若統計量的數值不超過1，也勿將其四捨五入到看起來等於1，例如0.995。

2.標準差SD（或平均值標準差SE），通常需2個有效位數（除非SD或SE＜0.01），而平均值(mean)須配合SD（或SE）的精確度，使兩者小數點後的位數一致，例如：23500±1300(而非23538±1341等)2350±130235±132.35±0.130.235±0.013由於這些例子中的SD(或SE)都是2位有效數字，而平均值應與SD(或SE)的小數點後位數是一樣的。

.計.農業試驗所技術服務．2013年03月．93期.物.13.(4)生物統計.14.在某些情況下，有些性狀如高度、重量、年齡、公頃產量等，因平均值較大，且SD（或SE）本身從整數來看已可充分表現出應有的變異性，其所損失的精確度便顯得不重要，則可縮減SD（或SE）的有效位數，甚至簡約成整數呈現即可，而平均值配合SD（或SE）也一致取到整數，例如：高度：高度：178±7cm重量：67±5kg年齡：23±4y.農業試驗所技術服務．2013年03月．93期.但若是23.4±0.4則不應取至整數，否則會讓人以為誤差項（SD或SE）是0。

一些統計顯著性測驗法，如卡方、t、F等測驗的檢定值，通常以小數點後2位數來表示即可，例如記錄t=2.56。

顯著性機率值(P)，常以*及**來表示顯著性測驗是否已達P<0.05及P<0.01之顯著水準，但有時候統計圖表內因需要而直接顯示所計算出的P要而直接顯示所計算出的P機率值時機率值時，，為避免讓圖表看起來擁擠，除非精確P值是必要的，否則該P值勿超過2位有效數字，例如應寫成P=0.002、0.04、0.35等。

.(5) 閱讀更多 數據 Updating... 參考文獻 Updating... Download(PDF-4頁-2.73MB) 相關主題: 相關文件 宇宙的六個神奇數字 作者：馬丁‧芮斯(SirMartinRees)譯者：丘宏義出版年月：2004年6月出版地：台北出版社：天下文化出版社導讀：  2   0   4 不同字母提示功能數位教材輔助國小學童英文字母書寫效益之探討 Theperformanceinpaperhandwritingabilitiestestsoftheteachingmaterialwithletterformonmainguide-linewasbetterimproveaccuracyratesofalltheletterwritingabilities  151   0   1 一個國小三年級兒童的有理數概念 Children’smeaningsoffractionalnumberwords..Unpublisheddoctoral  189   0   1 無時不有、無所不在：年輕世代的數位生活 CraigWatkins任教於美國德州大學奧斯汀分校廣播電視電影學系（DepartmentofRadio-Television-FilmatTheUniversityofTexasat  8   0   0 在數位訊號處理器架構下有效指令排程法之研究 AfterenlargingthegivenMDFGusingdifferenttechniquestosuiteachvariablepartitionmechanism,themulti-dimensionalrotationschedulingisappliedtoscheduleinstructionsand  146   0   0 多維度有限型移位的zeta-函數 Finally,themethodisappliedtothermodynamiczetafunctionforthesquareIsingmodelwithafiniterangeinteractions..InSection3,thethree-dimensionalcaseisstudied  117   0   0 感覺數字：運用實體使用介面於數字輸入之探索 Inthissection,moreinputtingconceptsaredevelopedbynotonlydifferentmovementsbutalsoanypossiblewaystoverifyourassumptionandgetanoverviewconceptofhowtangible  62   0   0 數學在自然科學中不合理的有效性 Kellner）和希勒羅斯（EgilHilleraas）發展出來的。

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