景深公式與超焦距離公式證明推導老詹

已知放大率，計算景深 ... (21) 景深近點公式 ... 性質一：其他成像條件不變（鏡頭焦長，物距，底片系統），光圈開愈大，景深愈小，且理論上會趨近於○。

        景深公式與超焦距離公式證明推導      老詹                                                                         已知放大率，計算景深 令放大率為m,m>0 而放大率之定義為m= Li/Lo,從(1)可推得m=f/(Lo-f),移項得Lo=(m+1)*f/m …..(19) (19)代入(11)，得Lof=(m+1)*f2/(mf-an) ……………..(20)景深遠點公式 (19)代入(12)，得Lon=(m+1)*f2/(mf+an) ……………..(21)景深近點公式 (19)代入(13)，得DOF=2(m+1)*f2an/(m2f2-a2n2) ………..(22) 景深範圍公式   DOF   性質一：其他成像條件不變（鏡頭焦長，物距，底片系統），光圈開愈大，景深愈小，且理論上會趨近於○。

光圈開愈小，景深愈大，且光圈小至mf/a時，景深無限大。

此時，景深近點在物距的一半(Lon=Lo/2)，亦即此時的物距為超焦距離hyperfocaldistance。

1.   光圈開愈大，即n愈小，若nà0，根據(22)得DOFà0 2.    n=mf/a   光圈開愈小，即n愈大，若nàmf/a，根據(22)得DOFà∞ n   而n從○至mf/a時，DOF是否為遞增？答案是肯定的。

將(22)取一階微分，得DOF‘=2af2(m+1)(m2f2+a2n2) /(m2f2-a2n2)2 在00恆成立。

而邊界值DOF(0)=0，故知在0 將(22)之分子，分母同除以f2 得DOF=2(m+1)*an/(m2 –(a2n2/f2))  可知，若fà∞，則DOFà  2(m+1)*an/m2 鏡頭焦長愈長時，景深會漸小，然後逼近此值。

  性質三：同一放大率，長短鏡頭之間的景深差異，若光圈愈大，則此差異愈小。

若光圈愈小，則此差異愈大，當光圈數值為mf1/a時，差異無限大。

r   令短鏡頭焦長為f1，長鏡頭焦長為f2，且f2=k*f1，k>1 今考慮此二者的景深比值 r=DOF1/DOF2 根據(22)得 n=mf1/a   r=(k2m2f12-a2n2) /(k2(m2f12-a2n2)) =1+(a2n2(k2-1) /(k2(m2f12-a2n2))) 1   r對n取一階微分，得 r’=2a2nk2f12m2(k2-1) /(k4(m2f12-a2n2)2)  ∵k>1  ∴ r’>0恆成立 n   r對n取二階微分，得 r”=2a2k5f12m2(m2f12-a2n2)(k2-1)(k(m2f12-a2n2)+2a2n2) /(k8(m2f12-a2n2)4) ∵n1 ∴r”>0恆成立 邊界值r(0)=1 ，r(mf1/a) à∞，故可以做出右圖