羅素悖論 - 中文百科知識

羅素悖論是把所有集合分為2類，第一類中的集合以其自身為元素，第二類中的集合不以自身為其元素，假設令第一類集合所組成的集合為P，第二類所組成的集合為Q， ... 羅素悖論 羅素悖論是把所有集合分為2類，第一類中的集合以其自身為元素，第二類中的集合不以自身為其元素，假設令第一類集合所組成的集合為P，第二類所組成的集合為Q，則有：P=A∣A∈A，Q=A∣A∉A。

問題：Q∈P還是Q∉P？若Q∈P，則根據第一類集合的定義，必有Q∈Q，而Q中的任何集合都有A∉A的性質，因為Q∈Q，所以Q∉Q，引出矛盾。

若Q∉P，根據第二類集合的定義，A∉A，而P中的任何集合都有A∈A的性質，所以Q∈P，還是矛盾。

這就是著名的“羅素悖論”（Russell'sparadox）。

羅素悖論還有一些較為通俗的解釋，如理髮師悖論等。

基本信息中文名：羅素悖論中文名稱：羅素悖論別稱：理髮師悖論、書目悖論提出者：羅素提出時間：1902年套用學科：數學、邏輯學基本簡介羅素悖論先了解下什麼是悖論。

悖論(paradox)來自希臘語“para+dokein”，意思是“多想一想”。

這個詞的意義比較豐富，它包括一切與人的直覺和日常經驗相矛盾的數學結論，那些結論會使我們驚異無比。

悖論是自相矛盾的命題。

即如果承認這個命題成立，就可推出它的否定命題成立；反之，如果承認這個命題的否定命題成立，又可推出這個命題成立如果承認它是真的，經過一系列正確的推理，卻又得出它是假的；如果承認它是假的，經過一系列正確的推理，卻又得出它是真的。

古今中外有不少著名的悖論，它們震撼了邏輯和數學的基礎，激發了人們求知和精密的思考，吸引了古往今來許多思想家和愛好者的注意力。

解決悖論難題需要創造性的思考，悖論的解決又往往可以給人帶來全新的觀念。

悖論有三種主要形式：1．一種論斷看起來好像肯定錯了，但實際上卻是對的（佯謬）。

2．一種論斷看起來好像肯定是對的，但實際上卻錯了（似是而非的理論）。

3．一系列推理看起來好像無懈可擊，可是卻導致邏輯上自相矛盾。

理論含義羅素悖論羅素悖論：設性質P(x)表示“x不屬於x”，現假設由性質P確定了一個類A——也就是說“A={x|x∉x}”。

那么問題是：A屬於A是否成立？首先，若A屬於A，則A是A的元素，那么A具有性質P，由性質P知A不屬於A；其次，若A不屬於A，也就是說A具有性質P，而A是由所有具有性質P的類組成的，所以A屬於A。

羅素悖論還有一些更為通俗的描述，如理髮師悖論、書目悖論。

形成分類羅素悖論集合可以分為兩類：第一類集合的特徵是：集合本身又是集合中的元素，例如當時人們經常說的“所有集合所成的集合”；第二類集合的特徵是：集合本身不是集合的元素，例如直線上點的集合。

顯然，一個集合必須是並且只能是這兩類集合中的一類。

現在假定R是所有第二類集合所成的集合。

那么，R是哪一類的集合呢？如果R是第一類的，R是自己的元素，但由定義，R只由第二類集合組成，於是R又是第二類集合；如果R是第二類集合，那么，由R的定義，R必須是R的元素，從而R又是第一類集合。

總之，左右為難，無法給出回答。

這就是著名的“羅素悖論”。

相關案例羅素悖論世界文學名著《唐·吉訶德》中有這樣一個故事：唐·吉訶德的僕人桑喬·潘薩跑到一個小島上，成了這個島的國王。

他頒布了一條奇怪的法律：每一個到達這個島的人都必須回答一個問題：“你到這裡來做什麼？”如果回答對了，就允許他在島上遊玩，而如果答錯了，就要把他絞死。

對於每一個到島上來的人，或者是盡興地玩，或者是被吊上絞架。

有多少人敢冒死到這島上去玩呢？一天，有一個膽大包天的人來了，他照例被問了這個問題，而這個人的回答是：“我到這裡來是要被絞死的。

”請問桑喬·潘薩是讓他在島上玩，還是把他絞死呢？如果應該讓他在島上遊玩，那就與他說“要被絞死”的話不相符合，這就是說，他說“要被絞死”是錯話。

既然他說錯了，就應該被處絞刑。

但如果桑喬·潘薩要把他絞死呢？這時他說的“要被絞死”就與事實相符，從而就是對的，既然他答對了，就不該被絞死，而應該讓他在島上玩。

小島的國王發現，他的法律無法執行，因為不管怎么執行，都使法律受到破壞。

他思索再三，最後讓衛兵把他放了，並且宣布這條法律作廢。

這又是一條悖論。

由著名數學家伯特蘭·羅素（Russel，1872—1970）提出的悖論與之相似：在某個城市中有一位理髮師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理髮技藝十分高超，譽滿全城。

我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。

我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。

可是，有一天，這位理髮師從鏡子裡看見自己的鬍子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬於“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬於“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。

理髮師悖論與羅素悖論是等價的：因為，如果把每個人看成一個集合，這個集合的元素被定義成這個人刮臉的對象。

那么，理髮師宣稱，他的元素，都是村里不屬於自身的那些集合，並且村里所有不屬於自身的集合都屬於他。

那么他是否屬於他自己？這樣就由理髮師悖論得到了羅素悖論。

反過來的變換也是成立的。

形成影響十九世紀下半葉，康托爾創立了著名的集合論，在集合論剛產生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。

但不久這一開創性成果就為廣大數學家所接受了，並且獲得廣泛而高度的讚譽。

數學家們發現，從自然數與康托爾集合論出發可建立起整個數學大廈。

因而集合論成為現代數學的基石。

“一切數學成果可建立在集合論基礎上”這一發現使數學家們為之陶醉。

1900年，國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：“藉助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈。

今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了”可是，好景不長。

1903年，一個震驚數學界的訊息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。

羅素的這條悖論使集合理論產生了危機。

它非常淺顯易懂，而且所涉及的只是集合論中最基本的東西。

所以，羅素悖論一提出就在當時的數學界與邏輯學界內引起了極大震動。

德國的著名邏輯學家弗里茲在他的關於集合的基礎理論完稿付印時，收到了羅素關於這一悖論的信。

他立刻發現，自己忙了很久得出的一系列結果卻被這條悖論攪得一團糟。

他只能在自己著作的末尾寫道：“一個科學家所碰到的最倒霉的事，莫過於是在他的工作即將完成時卻發現所乾的工作的基礎崩潰了。

”1874年，德國數學家康托爾創立了集合論，很快滲透到大部分數學分支，成為它們的基礎。

到19世紀末，全部數學幾乎都建立在集合論的基礎之上了。

就在這時，集合論中接連出現了一些自相矛盾的結果，特別是1902年羅素提出的理髮師故事反映的悖論，它極為簡單、明確、通俗。

於是，數學的基礎被動搖了，這就是所謂的第三次“數學危機”。

羅素的悖論發表之後，接著又發現一系列悖論（後來歸入所謂語義悖論）：1、理察悖論2、培里悖論3．格瑞林和納爾遜悖論。

問題解決羅素悖論羅素悖論提出，危機產生後，數學家紛紛提出自己的解決方案。

人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。

“這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價值的內容得以保存下來。

”1908年，策梅羅在自己這一原則基礎上提出第一個公理化集合論體系，後來這一公理化集合系統很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。

除ZF系統外，集合論的公理系統還有多種，如諾伊曼等人提出的NBG系統等。

公理化集合系統的建立，成功排除了集合論中出現的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數學危機。

但在另一方面，羅素悖論對數學而言有著更為深刻的影響。

它使得數學基礎問題第一次以最迫切的需要的姿態擺到數學家面前，導致了數學家對數學基礎的研究。

而這方面的進一步發展又極其深刻地影響了整個數學。

如圍繞著數學基礎之爭，形成了現代數學史上著名的三大數學流派，而各派的工作又都促進了數學的大發展等等。

以上簡單介紹了數學史上由於悖論而導致的三次數學危機與度過，從中我們不難看到悖論在推動數學發展中的巨大作用。

有人說：“提出問題就是解決問題的一半”，而悖論提出的正是讓數學家無法迴避的問題。

它對數學家說：“解決我，不然我將吞掉你的體系！”正如希爾伯特在《論無限》一文中所指出的那樣：“必須承認，在這些悖論面前，人們目前所處的情況是不能長期忍受下去的。

人們試想：在數學這個號稱可靠性和真理性的模範里，每一個人所學的、教的和套用的那些概念結構和推理方法竟會導致不合理的結果。

如果甚至於數學思考也失靈的話，那么應該到哪裡去尋找可靠性和真理性呢？”悖論的出現逼迫數學家投入最大的熱情去解決它。

而在解決悖論的過程中，各種理論應運而生了：第一次數學危機促成了公理幾何與邏輯的誕生；第二次數學危機促成了分析基礎理論的完善與集合論的創立；第三次數學危機促成了數理邏輯的發展與一批現代數學的產生。

數學由此獲得了蓬勃發展，這或許就是數學悖論重要意義之所在吧，而羅素悖論在其中起到了重要的作用。

羅素悖論理性不能回答關於其自身的問題，這個問題在康德時期就發現了。

邏輯存在無法彌補的漏洞，卻是人了解世界的唯一途徑。

到頭來你會發現，不是否定理性就是否定信仰。

因為所謂唯心唯物之爭都是建立在這樣不完備的邏輯體系上的純粹理性科學。

既然理性無法對其自身做出判斷，那么選擇立場就不能以理性為依據，從而變成一種實質上的迷信。

當然如果你堅持要說自己的立場是合乎所謂的科學或實踐的，那么其實你既不屬於唯物也不屬於唯心，本質上只是一種泛經驗主義或者泛邏輯主義罷了。

當然，這裡的邏輯主義當然不是羅素的那個，只是一個形象點的稱呼而已。

異己詞悖論和羅素悖論還有其它的不同嗎？思考這個問題的動機原是這樣：是否所有能導致兩難推理的悖論（包括一些所謂的語義學悖論）都有相同結構？如果不是，能不能把它們按照邏輯結構來分類？從而能夠更加清晰地看清每一類悖論產生的根源。

比如羅素悖論，用符號表示出來，就可看出，它用了這樣一個定義模式：x是S的，如果x不是x的。

(稍微嚴格一點寫成這樣：xRS,如果非xRx.R為一個二元謂詞。

)而在定義S時，S本身又可以用它自己的定義來判定，即可以把定義中的x換成S，導致這樣一個語句：S是S的，如果S不是S的。

注意在定義中的兩個語句互為充要條件，所以原來的定義中就蘊含了一個“P等價於非P”的結論，從而導致兩難推理。

這種定義模式本身是邏輯中的漏洞，康托的樸素集合論正因為沒有防範的機制而陷入了這個邏輯漏洞，才導致了集合論形式的羅素悖論。

羅素悖論已被消除，自己包含自己的集合是不可能存在的。

公理體系羅素悖論不加定義的概念在類的公理體系中，有一些基本的概念是不加定義的，人們只能從其客觀含義上給予解釋，但這樣的解釋僅僅起到幫助理解這些概念。

數學中研究的任何一個客體對象都稱為一個類。

類的概念是沒有任何限制。

類與類之間可能存在著一種稱為屬於的關係，類A屬於類B記為A\inB，此時也稱類A是類B的一個元素(簡稱為元)。

人們可以把類理解成為是由若干元素組成的一個整體。

一個類是否是另一個類的元素是完全確定的，這就是類元素的確定性。

類A如果不是類B的元素，則稱A不屬於B，記為A\not\inB。

另一個不加定義的概念就是：類總是具有一定的性質，人們常以P(x)表示類x具有性質P。

人們可以把性質理解為“關於類的一句表述”。

人們還認為邏輯學中的基本概念與基本知識是類理論的基礎。

類的外延公理公理Ⅰ(外延公理)\forallA,B(A=B\iff\forallx(x\inA\iffx\inB))。

公理Ⅰ的含義是：兩個類“相等”的充要條件是它們的元素完全相同，這就是說，類完全由其元素確定。

類的所有元素可以通俗地稱為它的外延，正因如此，公理Ⅰ被稱為外延公理。

由此人們可以定義：定義1.1兩個類A、B，如果它們的元素完全相同，則稱這兩個類是相等的，記為A=B。

因此，類完全由其外延確定。

由外延公理人們可以得出：類中的元素是不會重複出現的(準確地說，重複出現的元素仍然被當作一個元素)，這就是類元素的互異性；類中的元素是不計其出現在類中的順序的，這就是類元素的無序性。

一個類可能由若干元素組成，而它本身又可能成為另外的類的元素，這就是類元素的相對性。

類的內涵與羅素悖論一般地說，類中的元素總是具有某種共同的性質的，這就是類的元素的同質性。

一個類的所有元素所共同具有的、而且是這個類的元素所獨有的性質(也就是說不是該類的元素就不具有該性質)通俗地稱為該類的內涵。

類的內涵與外延之間存在著直觀的“反比關係”：類的內涵越多，其外延越小；內涵越少，其外延越大。

對於類的內涵問題，人們通常希望：任給一個性質，滿足該性質的所有類可以組成一個類。

但這樣的企圖將導致如下的悖論：羅素悖論設性質P(x)表示“x\not\INX”，現假設由性質P確定了一個類A----也就是說“\forallx(x\inA\iffx\not\inx)”。

那么現在的問題是：A\inA是否成立？首先，若A\inA，則A是A的元素，那么A具有性質P，由性質P知A\not\inA其次，若A\not\inA，也就是說A具有性質P，而A是由所有具有性質P的類組成的，所以A\inA。

羅素悖論還有一些更為通俗的描述，如理髮師悖論：理髮師悖論某理髮師發誓“要給所有不自已理髮的人理髮，不給所有自己理髮的人理髮”，現在的問題是“誰為該理髮師理髮？”。

首先，若理髮師給自己理髮，那他就是一個“自己理髮的人”，依其誓言“他不給自己理髮”；其次，若“他不給自己理髮”，依其誓言，他就必須“給自己理髮”。

而書目悖論也是羅素悖論的一種通俗表達形式。

真類與集合為解決此類悖論，人們把類區分為兩種：定義1.2如果存在類B,而類A滿足條件“\existsB(A\inB)”，則稱類A為一個集合(簡稱為集)，記為Set(A)。

定義1.2說明，一個集合是類的一種，它可以成為其它類的一個元素，這也正是集合的"嚴格"定義。

有另一種集合的定義：已存在一個類B,其中凡是符合屬性P(x)的，可以構成一個類A。

類A則是一個集合，或者說是B的一個子類。

但對此種定義，人們可以提出質疑，不能保證A不是真類。

但人們還是樂於接受該定義的。

但定義說不上嚴格。

集合能進行各種類運算。

真類不是集合的類就是真類。

真類是一種能以自身作為元素的類，對於真類，類運算並不一定都能進行。

一個真類卻不能成為其它類的元素。

因此人們可以理解為“本性類是最高層次的類”。

羅素悖論等於用反證法證明了真類的存在。

但真類是抽象難理解的。

但是，“類和集合是非常一般的概念，什麼是集合的問題是不能徹底回答的。

只有隨著數學實踐來確定哪些類是集合，哪些類是真類，任何時間，總有一些類無法確定其到底是不是集合。

”類的內涵公理公理Ⅱ(內涵公理)設P是一個性質，則\existsA(\forallx(x\inA\iffP(x)\wedgeSet(x)))。

公理Ⅱ的含義是：滿足一定性質的所有集合可以組成一個類。

內涵公理能夠解決羅素悖論：令P(x)為“x\not\inx”(稱為羅素性質)，依內涵公理，人們不能確定所有滿足P的類能否構成一個類，人們只能確定滿足P的所有集合能夠構成一個類A（下面提到的性質1.1），人們有結論“A\inA\iffP(A)\wedgeSet(A)”，即“A\inA\iffA\not\inA\wedgeSet(A)”。

此時不會出現悖論，只能得出結果：A不是集合，因此A是本性類，人們把這個類稱為羅素類。

對於內涵公理，任給一個對所有集合都滿足的性質P，如P(x)=Set(x)，則有：性質1.1所有的集合構成一個真類。

人們把所有集合構成的類稱為極限類（真類），它是類理論所承認的“最大的”類。

由公理Ⅰ(外延公理)、公理Ⅱ(內涵公理)組成的公理體系人們稱為羅素公理體系，這是關於類的理論的最基本的公理體系。

羅素公理體系與羅素悖論羅素悖論產生的原因，是把真類當成集合。

可以說，羅素公理體系在兩方面避免羅素悖論：第一，不存在包含自身的集合（包含自身的類是真類）。

第二，“所有”集合的總體不是集合！而是一個真類。

因為“所有”一詞，包含了自身。

以書目悖論為例，根據羅素公理體系，所有符合條件的書的確構成了一個集合，因為它們可以與其它的書進一步構成更大的整體（集合的定義）--比如它們和不符合條件的書共同構成了圖書館里所有的書（類）。

問題“這本書要記下自己的書名嗎？”，即是，它包含自己嗎？已經沒有回答的意義。

因為根據內涵定義，不存在包含真類的集合。

所以實物上不存在裡面提到的那一本目錄書（也有人認為那是一個非法的集合，一個集合要包含自身，但又要和集合內其它元素相區別，是不可能的）。

但注意，這一抽象概念卻是存在的，它是一個真類。

在理髮師悖論里，理髮師其實劃出了一個真類。

如果理髮師修改一下自己的說法：“除了我理髮師本人之外，我給所有不給自己理髮的人理髮”，悖論就被避免了。

因為理髮師此時定義了一個集合（根據聲明，他不在自己定義的服務群里）。

注意：羅素公理體系只是“避免”了羅素悖論，並沒有解決羅素悖論。

羅素公理體系的提出，是保證不產生悖論，又要求這些公理的範圍足夠寬，能容納全部數學。

就是說要給數學提供足夠的集合。

影響公理化集合論的建立，成功排除了集合論中出現的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數學危機。

但在另一方面，羅素悖論對數學而言有著更為深刻的影響。

它使得數學基礎問題第一次以最迫切的需要的姿態擺到數學家面前，導致了數學家對數學基礎的研究。

而這方面的進一步發展又極其深刻地影響了整個數學。

如圍繞著數學基礎之爭，形成了現代數學史上著名的三大數學流派，而各派的工作又都促進了數學的大發展。

科學幻想科學是無止境的，在人們的思維中存在無窮的空間給我們去想像、去思考、去猜測，理論的提出效應的總結都無疑不是人類智慧的結晶。

相空間柳文揚羅盤夢枕獏隧道效應曲速灰鴿子蠕蟲病毒51區磁場指南針活字印刷術IFO鏡面效應逆反效應宇宙弦屏風效應外祖母悖論空間摺疊羅素悖論黑眼圈禮花沼氣青蛙效應平行空間相關詞條 數學悖論 數學悖論，歷史源遠流長，它的起源可以一直追溯到古希臘和我國先秦時代。

“悖論”一詞源於希臘文，意為“無路可走”，轉義是“四處碰壁，無法解決問題”。

什麼是悖... 定義   了解   歷史發展   悖論一覽 伯蘭特·羅素 伯蘭特·羅素（1872年5月18日－1970年2月2日）是二十世紀最有影響力的哲學家、數學家和邏輯學家之一，同時也是活躍的政治活動家，並致力於哲學的大眾...  簡介   生平和著作   和平運動   哲學思想與貢獻   生平記錄 羅素[英國哲學家、數學家、邏輯學家] 伯特蘭·羅素（BertrandRussell，1872-1970），二十世紀英國哲學家、數理邏輯學家、歷史學家，無神論者，也是上世紀西方最著名、影響最... 人物生平   主要著作   主要成就   人物影響   人物評價 羅素 伯特蘭·羅素（BertrandRussell，公元1872年5月18日-公元1970年2月2日），英國哲學家、數學家、邏輯學家、歷史學家，也是上世紀西... 基本資料   個人概述   職業生涯   個人榮譽   人物評價 羅素駁論 著名的“羅素悖論”。

羅素悖論還有一些較為通俗的版本，如理髮師悖論等。

1900年前後,在數學的集合論中出現了三個著名悖論，理髮師悖論就是羅素...特別是羅素悖論，在當時的數學界與邏輯界內引起了極大震動。

觸發了第三次數學... 編輯本段羅素悖論例子   編輯本段羅素悖論的影響   編輯本段問題的解決 說謊者悖論 說謊者悖論，又叫謊言者悖論。

公元前六世紀，克里特島的哲學家埃庇米尼得斯（Epimenides）：“所有克里特人都說謊，他們中間的一個詩人這么說。

”這就是... 起源   典故   羅素命題   悖論格式   其它相關 悖論 悖論指在邏輯上可以推導出互相矛盾之結論，但表面上又能自圓其說的命題或理論體系。

悖論的出現往往是因為人們對某些概念的理解認識不夠深刻正確。

悖論的成因極為復... 定義   性質   根源   解悖   形式 伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素 伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素（BertrandArthurWilliamRussell，1872年5月18日－1970年2月2日）是二十世紀最有影響力... 人物生平   女權主義   歷史貢獻   經濟理論   思想貢獻 相關搜尋阿羅悖論道家悖論數學悖論友情悖論錢包悖論公理集合論生產成本遠程數據對象數學無矛盾性數學中比的故事辛普森悖論趣味數學羅素悖論芝諾悖論RemoteDataObjects發生認識論原理外祖母悖論數學基礎邏輯熱門詞條Australiadalmatiandiabetesexam低密度脂蛋白元太科技北海巨妖吸血臭蟲女人的選擇嫩妻山豬崔貞媛建國大學弦子木工教學江子翠行道會王哲林環島瓊崖海棠臺南米糕艾芙琳蒙古王蘭陵皇妃金士頓A8Molly《那些年，我們一起追的女孩》伊比薩島喬丹一代媽咪寶貝寶拉珍選愛恨一線牽拉圖莊園最強升級系統楚漢爭霸武媚娘傳奇死了都要愛潛水裝備火車大劫案看穿讀心術網遊之縱橫天下臺灣腫瘤護理學會莫爾行屍走肉第一季lioelevray豐臣公主南寧王煤油美國獨立戰爭酒店青春斗羅素悖論@百科知識中文網