大學物理相關內容討論:關於有效位數和實驗數據處理的想法

2. 若兩質點質量分別是m1=3.00±0.06 kg, m2=10.00±0.10 kg 則質心的結果你會如何標示? 關於取函數後的誤差分析, 假設你真的做實驗測量角度θ 之後要分析sinθ 的測量後誤差則 ... 國立台灣師範大學物理系物理教學示範實驗教室(舊網站)物理問題討論區(黃福坤) 我們也針對科學教學建立開課系統:科學園,讓老師更方便運用網路科技輔助教學，歡迎教師多加利用！中學物理(維基) (學習物理不只是knowHOW更重要的是knowWHY,歡迎參考聞名全球的物理動畫,英文網頁NTNUJAVA以動畫為主) 白話物理 關鍵詞 最近天 物理名詞中英檢索 無法登入或系統功能不正常回報 討論區首頁>>物理課程相關問題(分成國中/高中/大學等區)>>大學物理相關內容討論>>關於有效位數和實驗數據處理的想法 本區註冊且登入者方可留言 聲/波動標題:關於有效位數和實驗數據處理的想法 1:朱書寬(高中職)張貼:2010-12-0519:33:49: 最近在研究一些有關實驗數據處理的問題，在買了一些書後大都已經獲得解答，然而還有一個最關鍵的問題，而各家的說法也有所出入，那就是有效位數 有效位數的四則運算應該是最基本的吧，「加減運算最末數齊，乘除運算有效位數齊」應該不失為簡便有效的方法 但當我碰到指數、對數、三角函數時，我卻是一頭霧水了 一開始我以為他們的規則應該和乘除運算一樣吧(因為有人是這麼說的），但當我在處理數據時，部分數據會因此而失真而有效位數不有效 我開始翻閱一些書籍並上網查資料，發現大家的說法都不相同 ﹝有些說：﹝《大學物理實驗》高等教育出版社作者：成正維﹞    對數函數運算結果的有效數字中，小數點後面的位數取成與真數的位數相同    指數函數運算結果的有效數字中，小數點後的位數取成與指數中小數點後的位數相同    三角函數結果中有效數字的取法，可採用試探法，即將自變量欠準位上、下波動一個單位，觀察結果在哪一位上波動，結果的欠準位就取在該位上     有些說：﹝《更高更妙的物理實驗篇》浙江大學出版社作者：沈晨許炎橋袁張瑾﹞    對數運算時，答案尾數的位數與底相同，如ln25.4=3.235    三角函數運算時，根據角度的精度是1',10"或1"，決定函數值使用四位表、五位表與六位表取值    一般情況下，$e^x$的有效位數與x的有效數字位數相同    有些說：﹝維基百科﹞    取對數(不管是常用對數還是自然對數)，按照有效數字的個數來確定小數點後的位數(位數等於個數)    取反對數，按照小數點後的位數來確定有效數字的個數(個數等於位數)  ←←反對數應該是說指數吧！    有些說：﹝某網站我忘記了﹞    指數、對數、三角函數的有效位數使用試探法，將自變量有效位數最末位的數字上下試探一位，並觀察應變量在哪一位上有波動，取其為有效位數最末位 ﹞  當我看到這麼多種說法時，我也開始想怎樣才是合理的，以下是我的想法   指數： 令$y=e^x$，則$\frac{\bigtriangleupy}{y}=\bigtriangleupx$，若$\bigtriangleupx=0.1$，則應該很容易看出y的有效位數是兩位吧 x以$13.1\pm0.1$做舉例，按計算機的結果是y=488942.4146，$\bigtriangleupy=48894.24146$ 因為可疑的我們只留一位，因此$y\pm\bigtriangleupy=(4.9\pm0.5)\times10^4$ 倘若今天$\bigtriangleupx=0.01$ 則$y\pm\bigtriangleupy=(4.89\pm0.05)\times10^4$ 結論：指數y的有效位數是x的小數到第幾位加一   對數： 令y=lnx ，則$\bigtriangleupy=\frac{\bigtriangleupx}{x}$，若x有五位有效位數，則$\bigtriangleupy$的小數點可準確到第四位 x以$1.0000\times10^4\pm1$為例，按計算機可得y=9.210340372，$\bigtriangleupy=0.0001$ 因為可疑的位數只取一位，因此$y\pm\bigtriangleupy=9.2103\pm0.0001$ 若今天$\bigtriangleupx=10$ 則$y\pm\bigtriangleupy=9.210\pm0.001$ 結論：對數的小數點後面的位數是真數的有效位數減一   三角函數： 這個我認為最複雜啦，應該用試探法最保險吧，但cos和sin還是有一些規律的 以$y=cosx$為例，x適度度量，則$\bigtriangleupy=sinx\bigtriangleupx$，一般而言$\bigtriangleupx$為$0.1^\circ$  以下將$\bigtriangleupy$(做運算時已將$\bigtriangleupx$換成徑度量)列表 $x$                                 $\bigtriangleupy$                                 y                                  $y\pm\bigtriangleupy$ $0.0^\circ$                       $0.00\times10^-4$                       $1.000000$                       $1.0000\pm0.0000$             $10.0^\circ$                      $3.03\times10^-4$                       $0.984807$                       $0.9848\pm0.0003$ $20.0^\circ$                      $5.97\times10^-4$                      $0.939693$                       $0.9397\pm0.0006$ $30.0^\circ$                      $8.73\times10^-4$                       $0.866025$                       $0.8660\pm0.0009$ $40.0^\circ$                      $1.12\times10^-3$                       $0.766044$                       $0.766\pm0.001$ $50.0^\circ$                      $1.34\times10^-3$                       $0.642787$                       $0.643\pm0.001$ $60.0^\circ$                      $1.51\times10^-3$                       $0.500000$                       $0.500\pm0.002$ $70.0^\circ$                      $1.64\times10^-3$                       $0.342020$                       $0.342\pm0.002$ $80.0^\circ$                      $1.72\times10^-3$                       $0.173648$                      $0.174\pm0.002$ $90.0^\circ$                      $1.75\times10^-3$                       $0.000000$                       $0.000\pm0.002$[這篇文章被編輯過:朱書寬在2010-12-0522:13:56][這篇文章被編輯過:朱書寬在2010-12-0522:14:31][這篇文章被編輯過:朱書寬在2010-12-0522:15:25][這篇文章被編輯過:朱書寬在2010-12-0522:16:09][這篇文章被編輯過:朱書寬在2010-12-0522:16:47][這篇文章被編輯過:朱書寬在2010-12-0522:19:08][這篇文章被編輯過:朱書寬在2010-12-0522:19:45][這篇文章被編輯過:朱書寬在2010-12-0522:20:32] 2:朱書寬(高中職)張貼:2010-12-0522:47:03:[回應上一篇] 由以上數據可知 在$30^\circ$到$90^\circ$之間，cosx的有效位數和x相同 在$20^\circ$到$30^\circ$之間，因為四捨五入，勉強使用上述法則 在$10^\circ$到$30^\circ$之間，cosx的有效位數可取為比x的有效位數多加一位 在$0^\circ$到$10^\circ$之間，我認為以上方法不適用，看$0^\circ$的數據$y\pm\bigtriangleupy=1.0000\pm0.0000$會不會太扯了，我建議用兩種方法 其一：利用試探法，將x以0.1和-0.1代入，則y為0.999998和0.999998，取誤差為0.000002，因此$y\pm\bigtriangleupy=1.000000\pm0.000002$，但因為cos不大於一，我想$y\pm\bigtriangleupy=0.999999\pm0.000001$會比較好吧 其二：利用泰勒展開到二次項，則$\bigtriangleupy=\frac{cos0.0^\circ}{2!}\bigtriangleupx^2=1.523\times10^-6$，誤差取$0.000002$應該可以吧，同樣由於上述原因$y\pm\bigtriangleupy=0.999999\pm0.000001$ 在這樣的情況下y的有效位數就為6位   其實我以上所使用的都是誤差傳遞，並利用可疑數只有一位的方法來決定有效位數，但我的$\bigtriangleupx$都有刻意選定，若今天為其他數時，有效位數的取法可能不太一樣，但我認為「先算出誤差，再決定有效位數」應該是沒錯的吧﹝我猜的(→_→)﹞ 但在乘除法則時，誤差傳遞出來的結果會違反「可疑數只有一位」 所以我不知道「先利用誤差傳遞算出誤差，再決定有效位數」的方法是否都適用 還有一點想要題的是 如果今天有一個二維數據，x和y的有效位數皆為四位，若線性回歸的結果是 斜率m2.54323334 斜率m標準差0.053342截距b2.883742 截距b標準差0.000144 到底是利用 1.「可疑數只有一位」的方法決定出$m\pm\bigtriangleupm=2.54\pm0.05$和$b\pm\bigtriangleupb=2.8837\pm0.0001$ 2.斜率和截距的有效位數和x,y有效位數最小的一樣，因此$m\pm\bigtriangleupm=2.543\pm0.053$和$b\pm\bigtriangleupb=2.884\pm0.001$(不知直接將0.0001無條件進位到0.001是否正確） 篇幅有點長，這些問題困擾我還蠻久的，希望有人可以耐心的讀完我的問題並給予建議或方法，不勝感激！  [這篇文章被編輯過:朱書寬在2010-12-0522:54:28][這篇文章被編輯過:朱書寬在2010-12-0523:15:19] 3:黃福坤(研究所)張貼:2010-12-0714:35:30:[回應上一篇] 假設目前要計算兩點的質心,例如x1=3.00±0.03, x2=5.00±0.051.若兩質點質量都相同,忽略質量可能的誤差則質心的結果你會如何標示?2.若兩質點質量分別是m1=3.00±0.06kg,m2=10.00±0.10kg則質心的結果你會如何標示?關於取函數後的誤差分析,假設你真的做實驗測量角度θ之後要分析sinθ的測量後誤差則其相同精密度誤差,原本就會因為角度θ不同造成sinθ的誤差不同誤差傳遞也告訴你如此!為何做實驗時不直接測量y=sinθ而卻要測量θ呢?又如y=ex,則x不會是某個有單位的物理量,x應該會對應至少兩個有相同單位物理量的比值,還有怎樣的情況下你會想知道y=ex的誤差呢?代表怎樣的意義以一個高中生而言會提出以上問題真的很不簡單表示你很認真可是既然想討論物理,就從物理實際的觀點來看問題! 4:朱書寬(高中職)張貼:2010-12-0722:01:41:[回應上一篇] Quote:在2010-12-0714:35:30,黃福坤寫了:假設目前要計算兩點的質心,例如x1=3.00±0.03, x2=5.00±0.051.若兩質點質量都相同,忽略質量可能的誤差則質心的結果你會如何標示?2.若兩質點質量分別是m1=3.00±0.06kg,m2=10.00±0.10kg則質心的結果你會如何標示?關於取函數後的誤差分析,假設你真的做實驗測量角度θ之後要分析sinθ的測量後誤差則其相同精密度誤差,原本就會因為角度θ不同造成sinθ的誤差不同誤差傳遞也告訴你如此!為何做實驗時不直接測量y=sinθ而卻要測量θ呢?又如y=ex,則x不會是某個有單位的物理量,x應該會對應至少兩個有相同單位物理量的比值,還有怎樣的情況下你會想知道y=ex的誤差呢?代表怎樣的意義以一個高中生而言會提出以上問題真的很不簡單表示你很認真可是既然想討論物理,就從物理實際的觀點來看問題! 1.關於第一個問題，我會如下計算 $\frac{(3.00\pm0.03)+(5.00\pm0.05)}{2}=\frac{(3.00+5.00)\pm\sqrt{0.03^2+0.05^2}}{2}=\frac{8.00\pm0.06}{2}=4.00\pm0.03$ 2.第二個問題比較麻煩了 如果我偷懶的話 $x_c\pm\Deltax_c=\frac{(3.00\pm0.06)(3.00\pm0.03)+(10.00\pm0.10)(5.00\pm0.05)}{(3.00\pm0.06)+(10.00\pm0.10)}=\frac{(9.00\pm0.20)+(50.0\pm0.7)}{13.00\pm0.12}=\frac{59.0\pm0.7}{13.00\pm0.12}=4.54\pm0.07$ 不過這應該是錯的 嚴謹的話是下面的 $x_c=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}=4.53846$ $\Deltax_c=\sqrt{(\frac{m_1}{m_1+m_2}\bigtriangleupx_1)^2+(\frac{m_2}{m_1+m_2}\bigtriangleupx_2)^2+(\frac{m_2(x_1-x_2)}{(m_1+m_2)^2}\bigtriangleupm_1)^2+(\frac{m_1(x_2-x_1)}{(m_1+m_2)^2}\bigtriangleupm_2)^2}=0.0398$ $x_c\pm\Delta x_c=4.54\pm0.04$ 這是我的答案，可是我一直有一個疑慮，那就是把$m_2$寫成$10.0\pm0.1$會不會更好呢？ 3.關於sinθ的問題，我了解教授的想法了。

而有關指數的問題，我覺得最常會碰到的問題就是半衰期吧，實驗可能不太會用到，但如果是考題的話就常出現了，題目會給你時間和半衰期，然後問你還剩多少 4.我覺得實驗最常用到的函數對數大概是少不掉的，而實驗也最注重有效位數了，可是在那麼多說法中，我不知道我這麼做是不是對的（利用誤差傳遞，然後取一位可疑位） 5.關於斜率和截距有效位數的問題，是不是在正式文刊中也適用「利用誤差傳遞，然後取一位可疑位」，還是說和xy中有效位數最少的一樣 6.我想追加一個問題，在教授所寫的「實驗數據的處理與分析」中，斜率和截距的標準差推導中，已認定每個數據點y的標準差都一樣了，可是常常它們的標準差都不一樣，那時公式是不是就不適用了？ 非常感激教授能撥冗回答我的問題！[這篇文章被編輯過:朱書寬在2010-12-0722:55:46][這篇文章被編輯過:朱書寬在2010-12-0722:57:43][這篇文章被編輯過:朱書寬在2010-12-0723:00:30][這篇文章被編輯過:朱書寬在2010-12-0723:12:50][這篇文章被編輯過:朱書寬在2010-12-0723:40:49][這篇文章被編輯過:朱書寬在2010-12-0723:47:13] 本區註冊且登入者方可留言回首篇留言 黃福坤修改,轉成中文版面並增加功能從2011/06/15起 對本討論區有何疑問請Ruby:onlineid=0:time=1639386713/Dec:1317:12:pagetime=0s