自然底數e 的定義(上) - 昌小澤的秘密基地

自然底數e 的定義(上) · 1. 定義下面數列的極限值為e: e_01.jpg · 2. 我們先定義對數函數. e_03.jpg. 則自然對數ln x 的底數, 我們就定義為e. 即. e_02.jpg · 3. 定義指數函數 ... 昌小澤的秘密基地 跳到主文 相信你的直覺　順從你的渴望　我就是我　我是昌小澤 部落格全站分類：心情日記 相簿 部落格 留言 名片 Aug08Sun201001:30 自然底數e的定義(上) 上周和S閒聊時無意間聊到自然底數e(又稱尤拉常數) 就我們從高中第一次接觸到他一直到念了大學大致上看到的定義有下面三種: 1.定義下面數列的極限值為e: 2.我們先定義對數函數 則自然對數lnx的底數,我們就定義為e.即 3.定義指數函數 其中0!=1.則x=1代入可以得到 而我們兩個當天討論的重點在於 「這三種完全迥異的定義方式所定義出來的e,我們是怎麼肯定他們是"相同"的」 不過這三個值相等(或說這三個敘述是等價)的證明我們留到最後再說 第一個定義我是在高三的時候遇到(這部分內容已在88年後的課綱已刪除) 去考慮這個數列 的極限是有他的背景和意義: 一來納皮爾當初在粗創"對數"這個概念時用的是以底數b=1-10^{-8}=0.9999999所形成的關係: 然後去計算對應到每一個整數y的值x 或許你會覺得奇怪怎麼會去考慮用這麼奇怪的數字b來做為底數 但如果你真的去計算(用Excel就可以了)你會發現所對應的x值的變化非常的小: 這樣的好處是你不用擔心在對數表裡找不到你要的x而無法使用對數的性質來做計算 雖然納皮爾並不是用e來當作他的底數但他所使用的b為後代的我們帶來啟發 更重要的是為什麼我們會去討論以這個奇怪數列的極限值當作底數的對數就其來有自了 第二個原因是和銀行的計息有關-跟計算複利的期數有關 複利計息的意思是:每次計息時是以戶頭裡"所有的錢"來計息利息因此會利滾利 (另一種計息方式是單利是指每次計息皆以"存進去的錢"來計算之前生的利息不能再生息) 假設我們存入的本金為A元年利率為r每年計息一次則 以此類推到第t年時我們的本利和S就有 但並不是所有的銀行計算利息的方式都是一年一次 如果他一年計息兩次則每次的利率即為年利率r除以2但半年就會記息一次 因此第t年就會記息2t次所得到的本利和S即為 所以如果一年計息n次則每次的利率為r/n而且t年後的本利和S就是 當然身為顧客的我們一定會問到底分成幾期對我們是比較有利的 也就是去看當n越來越大時數列 的值會是怎樣的變化 而數列{b_n}跟我們在第一個定義裡所使用的數列{a_n}類似(當r=1,t=1兩者就是一樣了) 所以去討論{a_n}的極限是有他實際應用的地方 (因此我們知道分太多期的意義不大因為他會趨近一個定值而不是無止盡的變大) 這三個定義中第二個定義對我來說是比另外兩個還要"自然"的 我們是會去看一個數列的極限也的確會去考慮一個無窮級數的和 但把這麼奇怪的數字拿來當作對數的底數這怎麼想我也不會想去做這樣的事情 第二個定義幾乎是所有微積分課本對對數函數lnx以及自然底數e的定義方式 根據積分公式 可以得到下表: 我們發現當n=-1代入積分公式時會時分母變成0無法使用積分公式 因此一切的關鍵就是想知道"1/x的積分會是誰"或者是"誰微分後會得到1/x" 我們知道對1/x積分的意思就是去看y=1/x下方的面積 因此我們可以很肯定的知道函數 是存在的 但!注意一件事! 到目前為止我們無法得知F(x)會是一個對數函數!這是需要檢查的! 只是我很好奇第一個發現F(x)是對數函的人是基於怎樣的觀察而去做下面的檢查 不論是以哪一個數為底數只要符合下面兩個條件他就是對數函數家族的一員: (i)對於任意的底數,log1都會等於0 對我們來說就是要去說F(0)=1 這是一個簡單的事直接從定義就可以得到: (ii)對數律log(ab)=log(a)+log(b)要保持 對我們來說就是要證F(ab)=F(a)+F(b) 這就不容易了證明如下: O.K.現在確定了F(x)是一個對數函數因此我們把他記作lnx 既然F(x)=lnx是一個對數函數當然我們會問他是以哪一個數為底數的對數函數 這不是個簡單的問題但有個簡單的解決方法 就是直接定義lnx的底數用符號e來表示夠賤吧XD 而這樣定義的好處也出現在找指數函數e^x的微分上 (廢話微積分課本裡用了一個不好找微分的方式來定義e^x這豈不是拿石頭砸自己的腳嗎?) 首先因為e是對數函數lnx的底數因此指數函數e^x和lnx互為反函數 又我們知道lnx是1/x積分的結果所以反過來說lnx的微分就是1/x 因此使用隱含數為分法令y=e^x則 第三個定義出現在高等微積分課本 對一個第一次認識自然底數e的人而言 應該會覺得這個定義最莫名其妙至少到目前為止我還找不到一個自然說法讓e要這樣定義 再換個角度看他其實也就只是指數函數e^x的泰勒展開式 但這個幂級數在數學的分析領域裡卻是非常重要也非常好用 舉個最經典的令子: 除了e^x是用幂級數表示外我們也將正弦函數sinx與餘弦函數cosx用幂級數表示: 接著我們把x=iy代入得到 最後把y=pi代入就會得到鼎鼎大名的"尤拉公式": 這個集合了0,1,i,e,pi五個數學基本元素的公式 到現在還是決大多數數學家認為最美個數學公式 很神奇吧他是這樣被發現的 而因為這些幂級數真的是太有用了也比前兩個定義好用太多了 所以編書者常常為了節省時間節省篇幅 就直接拿這個幂級數來當作e^x的定義 以減省從前兩個定義翻山過嶺才得到這個幂級數的過程方便後面的發展 寫到這邊赫然發現 我一開始所提的問題現在連邊都還沒有勾上 只是再寫下去對一篇網誌來說我覺得太長了(其實是自己累了想休息了) 所以就敬請期待下集囉^^ 全站熱搜 創作者介紹 昌小澤 昌小澤的秘密基地 昌小澤發表在痞客邦留言(5)人氣() E-mail轉寄 全站分類：不設分類個人分類：[數學]昌小澤的數學教室此分類上一篇：短評99學年度大學指定考科數學科試題 此分類下一篇：自然底數e的定義(下) 上一篇：賀本站開站五週年 下一篇：開學第一天 歷史上的今天 2006:[無名]大學放榜台大是明星高中天下！ 2006:[無名]今天的宵夜 ▲top 留言列表 發表留言 站方公告 [公告]MIB廣告分潤計劃、PIXwallet錢包帳戶條款異動通知[公告]2021年度農曆春節期間服務公告[公告]新版部落格預設樣式上線 最新文章 熱門文章 最新迴響 我的連結 森棚教官的塗鴉(wretch)四小折's繪本日誌(wretch)子維的流浪計畫'sBlog(wretch)tnyang'sBlog(wretch)克里斯夢想天空(wretch)伍思凱的BLOG(sina)Lanew活力熊官方網站(pixnet) 文章分類 [生活]昌小澤的生活日記(230)[數學]昌小澤的數學教室(51)[教育]昌小澤的教育手札(32)[童軍]昌小澤的童軍旅程(29)[羅浮活動](12)未分類文章(7) 文章搜尋 參觀人氣 本日人氣： 累積人氣： 活動快報 最愛的冬季必吃美食 按讚並追蹤PIXstyleMe於此貼文的留言處寫下#冬季必... 看更多活動好康 QRCode POWEREDBY (登入) 回到頁首 回到主文 免費註冊 客服中心 痞客邦首頁 ©2003-2021PIXNET 關閉視窗