e (數學常數) - 維基百科

係自然指數同埋自然對數函數嘅底數。

有時又叫做自然底數或歐拉數（Euler's number），個名來自瑞士數學家歐拉；佢嘅數值大約係（小數點後20位）： ... {\displaystyle e= ... e(數學常數) 出自維基百科，自由嘅百科全書 跳去導覽 跳去搵嘢 數學嘅數 基本 N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C {\displaystyle\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}} 自然數 N {\displaystyle\mathbb{N}} 整數 Z {\displaystyle\mathbb{Z}} 二進分數 有限小數 循環小數 有理數 Q {\displaystyle\mathbb{Q}} 高斯整數 Z [ i ] {\displaystyle\mathbb{Z}[i]} 代數數 A {\displaystyle\mathbb{A}} 實數 R {\displaystyle\mathbb{R}} 複數 C {\displaystyle\mathbb{C}} 負數 分數 單位分數 無限小數 規矩數 無理數 超越數 二次無理數 虛數 艾森斯坦整數 Z [ ω ] {\displaystyle\mathbb{Z}[\omega]} 延伸 雙複數 四元數 H {\displaystyle\mathbb{H}} 共四元數 八元數 O {\displaystyle\mathbb{O}} 超數 上超實數 超現實數 超複數 十六元數 S {\displaystyle\mathbb{S}} 複四元數 Tessarine 大實數 超實數 ⋆ R {\displaystyle{}^{\star}\mathbb{R}} 其他 對偶數 雙曲複數 序數 質數 同餘 可計算數 艾禮富數 公稱值 超限數 基數 P進數 規矩數 整數序列 數學常數 圓周率 π = 3.141592653… 自然對數嘅底 e = 2.718281828… 虛數單位 i =  + − 1 {\displaystyle+{\sqrt{-1}}} 無窮大量 ∞ e {\displaystylee} 係自然指數同埋自然對數函數嘅底數。

有時又叫做自然底數或歐拉數（Euler'snumber），個名來自瑞士數學家歐拉；佢嘅數值大約係（小數點後20位）： e = 2.71828182845904523536... {\displaystylee=2.71828182845904523536...} 同圓周率 π {\displaystyle\pi} 同埋虛數單位 i {\displaystylei} 一樣， e {\displaystylee}  係數學入面最重要嘅常數之一。

目錄 1定義 2無理數 3用處 4睇埋 定義[編輯] e {\displaystylee} 可以用微分嚟定義。

如果試吓對隨便一個指數函數 f ( x ) = a x {\displaystylef(x)=a^{x}} 求導，根據基本原理： f ′ ( x ) = d d x a x = lim h → 0 a x + h − a x h = lim h → 0 a x a h − a x h = a x lim h → 0 a h − 1 h {\displaystylef'(x)={d\overdx}a^{x}=\lim_{h\to0}{a^{x+h}-a^{x}\overh}=\lim_{h\to0}{a^{x}a^{h}-a^{x}\overh}=a^{x}\lim_{h\to0}{a^{h}-1\overh}} 會發現佢嘅微分等於佢自己乘一個數，所以為咗方便，將後面嗰個數 lim h → 0 a h − 1 h {\displaystyle\lim_{h\to0}{a^{h}-1\overh}} 定義做 1 {\displaystyle1} ，呢個時候嗰個特定嘅 a {\displaystylea} 就係最自然嘅底數，即數學常數 e {\displaystylee} 。

亦即係 lim h → 0 e h − 1 h := 1 {\displaystyle\lim_{h\to0}{e^{h}-1\overh}:=1} ，轉換一吓 lim h → 0 ( e h − 1 ) = lim h → 0 h {\displaystyle\lim_{h\to0}(e^{h}-1)=\lim_{h\to0}h} lim h → 0 e h = lim h → 0 ( 1 + h ) {\displaystyle\lim_{h\to0}e^{h}=\lim_{h\to0}(1+h)} 得到 e := lim h → 0 ( 1 + h ) 1 h {\displaystylee:=\lim_{h\to0}(1+h)^{1\overh}} 或 e := lim h → ∞ ( 1 + 1 h ) h {\displaystylee:=\lim_{h\to\infty}\left(1+{1\overh}\right)^{h}} 。

即係話 e {\displaystylee} 嘅定義係 ( 1 + 1 h ) h {\displaystyle(1+{\frac{1}{h}})^{h}} ，入面嘅 h {\displaystyleh} 趨於無限大。

如果用二項式定理展開佢，會變成： e = lim h → ∞ ( 1 + 1 h ) h = lim h → ∞ ∑ k = 0 ∞ ( ( k h ) 1 h k ) {\displaystylee=\lim_{h\to\infty}\left(1+{1\overh}\right)^{h}=\lim_{h\to\infty}\sum_{k=0}^{\infty}\left((_{k}^{h}){1\overh^{k}}\right)} = lim h → ∞ ( ( 0 h ) 1 h 0 + ( 1 h ) 1 h 1 + ( 2 h ) 1 h 2 + . . . ) {\displaystyle=\lim_{h\to\infty}\left((_{0}^{h}){1\overh^{0}}+(_{1}^{h}){1\overh^{1}}+(_{2}^{h}){1\overh^{2}}+...\right)} = lim h → ∞ ( 1 0 ! + h 1 ! 1 h + h ( h − 1 ) 2 ! 1 h 2 + h ( h − 1 ) ( h − 2 ) 3 ! 1 h 3 + . . . ) {\displaystyle=\lim_{h\to\infty}\left({1\over0!}+{h\over1!}{1\overh}+{h(h-1)\over2!}{1\overh^{2}}+{h(h-1)(h-2)\over3!}{1\overh^{3}}+...\right)} = lim h → ∞ ( 1 0 ! + 1 1 ! + 1 − 1 h 2 ! + ( 1 − 1 h ) ( 1 − 2 h ) 3 ! + . . . ) {\displaystyle=\lim_{h\to\infty}\left({1\over0!}+{1\over1!}+{1-{1\overh}\over2!}+{(1-{1\overh})(1-{2\overh})\over3!}+...\right)} = lim ( 1 0 ! + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3 ! + . . . ) {\displaystyle=\lim\left({1\over0!}+{1\over1!}+{1\over2!}+{1\over3!}+...\right)} = lim h → ∞ ∑ n = 0 h 1 n ! {\displaystyle=\lim_{h\to\infty}\sum_{n=0}^{h}{1\overn!}} 所以 e {\displaystylee} 亦可定義做 ∑ n = 0 ∞ 1 n ! = 1 + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3 ! + . . . {\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{1\overn!}=1+{1\over1!}+{1\over2!}+{1\over3!}+...} ，當中嘅   n !   {\displaystyle\n!\} 係階乘嘅意思。

當定義咗 e {\displaystylee} 之後，可以定義埋自然對數 ln ⁡ ( x ) = log e ⁡ ( x ) {\displaystyle\ln(x)=\log_{e}(x)} 。

所以 a x = e x ln ⁡ ( a ) {\displaystylea^{x}=e^{x\ln(a)}} (對數律)。

然後 a x {\displaystylea^{x}} 嘅微分就可以用連鎖律計： d d x a x = d d x e x ln ⁡ ( a ) = d d ( x ln ⁡ ( a ) ) e x ln ⁡ ( a ) × d d x (   x ln ⁡ ( a )   ) = a x ln ⁡ ( a ) {\displaystyle{d\overdx}a^{x}={d\overdx}e^{x\ln(a)}={d\overd(x\ln(a))}e^{x\ln(a)}\times{d\overdx}(\x\ln(a)\)=a^{x}\ln(a)} 另一方面，睇返一開始用基本原理得到 a x {\displaystylea^{x}} 嘅微分係 a x lim h → 0 a h − 1 h {\displaystylea^{x}\lim_{h\to0}{a^{h}-1\overh}} ，而家知道 lim h → 0 a h − 1 h = ln ⁡ ( a ) {\displaystyle\lim_{h\to0}{a^{h}-1\overh}=\ln(a)} 。

再調位： lim h → 0 ( a h − 1 ) = lim h → 0 h ln ⁡ ( a ) {\displaystyle\lim_{h\to0}(a^{h}-1)=\lim_{h\to0}h\ln(a)} lim h → 0 a h = lim h → 0   (   1 + h ln ⁡ ( a )   ) {\displaystyle\lim_{h\to0}a^{h}=\lim_{h\to0}\(\1+h\ln(a)\)} a = lim h → 0   (   1 + h ln ⁡ ( a )   ) 1 h {\displaystylea=\lim_{h\to0}\(\1+h\ln(a)\)^{1\overh}} 因為 a = e ln ⁡ ( a ) {\displaystylea=e^{\ln(a)}} 同埋上面對 e {\displaystylee} 嘅定義，所以： e ln ⁡ ( a ) = lim h → ∞ ( 1 + ln ⁡ ( a ) h ) h = lim h → ∞ ( 1 + 1 h ) h ln ⁡ ( a ) {\displaystylee^{\ln(a)}=\lim_{h\to\infty}\left(1+{\ln(a)\overh}\right)^{h}=\lim_{h\to\infty}\left(1+{1\overh}\right)^{h\ln(a)}} 即 e x = lim h → ∞ ( 1 + x h ) h = lim h → ∞ ( 1 + 1 h ) h x {\displaystylee^{x}=\lim_{h\to\infty}\left(1+{x\overh}\right)^{h}=\lim_{h\to\infty}\left(1+{1\overh}\right)^{hx}} 用二項定理展開，過程同上面差唔多，會得到 e x = lim h → ∞ ∑ n = 0 h x n n ! {\displaystylee^{x}=\lim_{h\to\infty}\sum_{n=0}^{h}{x^{n}\overn!}} 所以自然指數 e x {\displaystylee^{x}} 可定義做 ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + . . . {\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{x^{n}\overn!}=1+x+{x^{2}\over2!}+{x^{3}\over3!}+...} 無理數[編輯] e {\displaystylee} 係一個無理數。

可以用反證法證明。

假設 e {\displaystylee} 係一個有理數， P , Q {\displaystyleP,Q} 係正整數，同埋 Q ≠ 0 {\displaystyleQ\neq0} ： e = P Q = 1 + 1 1 + 1 1 ⋅ 2 + 1 1 ⋅ 2 ⋅ 3 + . . . {\displaystylee={P\overQ}=1+{1\over1}+{1\over{1\cdot2}}+{1\over{1\cdot2\cdot3}}+...} Q e = P = Q + Q 1 + Q 1 ⋅ 2 + Q 1 ⋅ 2 ⋅ 3 + . . . ∈ Z {\displaystyleQe=P=Q+{Q\over1}+{Q\over{1\cdot2}}+{Q\over{1\cdot2\cdot3}}+...\in\mathbb{Z}} k ! ⋅ Q e = k ! ⋅ Q + k ! ⋅ Q 1 + k ! ⋅ Q 1 ⋅ 2 + k ! ⋅ Q 1 ⋅ 2 ⋅ 3 + . . . ∈ Z {\displaystylek!\cdotQe=k!\cdotQ+{k!\cdotQ\over1}+{k!\cdotQ\over{1\cdot2}}+{k!\cdotQ\over{1\cdot2\cdot3}}+...\in\mathbb{Z}} ，當中嘅 k {\displaystylek} 係大於 Q {\displaystyleQ} 嘅任意正整數。

k ! ⋅ Q e = L + Q k + 1 + Q ( k + 1 ) ( k + 2 ) + Q ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) + . . . {\displaystylek!\cdotQe=L+{Q\over{k+1}}+{Q\over{(k+1)(k+2)}}+{Q\over{(k+1)(k+2)(k+3)}}+...} ，入面 L {\displaystyleL} 係整數。

0 < Q k + 1 + Q ( k + 1 ) ( k + 2 ) + Q ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) + . . . < Q k + 1 + Q ( k + 1 ) 2 + Q ( k + 1 ) 3 + . . . = Q k < 1 {\displaystyle0