如果π不是3.14159...那可以是多少？ - 關鍵評論網

今天是3月14日，不少數學、科學愛好者會因為π的近似值是3.14，把這一天訂為「圓周率日」（Pi Day）。

去年我寫過π的一些特性（連結見文末），今年寫寫 ... 集團資訊關於我們集團介紹我們的團隊旗下媒體關鍵評論網everylittled.INSIDE運動視界Cool3c電影神搜未來大人物歐搜哇旗下節目多元服務Ad2Taketla拿票趣關鍵議題研究中心Cr.EDShareParty與我們合作內容行銷與廣告業務異業合作加入我們新聞中心日本版新上線EnglishEdition簡體/正體2018/03/15,科學PhotoCredit:PiledhigheranddeeperatEnglishWikipedia,CCBY-SA3.0 KayueFactcheckLab執行編輯，曾任《關鍵評論網》編輯，最想寫的還是數學。

        看更多此作者文章...訂閱作者收藏本文圓周率π是數學中一個重要常數，其定義為圓周跟直徑的長度比率，數值為3.14159...——它是個無理數，因此是個無限而不循環的小數。

今天是3月14日，不少數學、科學愛好者會因為π的近似值是3.14，把這一天訂為「圓周率日」（PiDay）。

去年我寫過π的一些特性（連結見文末），今年寫寫另一個問題︰π可以不等於3.14159...嗎？這個問題看來奇怪，既然圓周率是個常數，數值自然不會改變，為何會有其他可能？在1897年，美國印第安納州議會差點通過的「π法案」（IndianaPiBill）。

這是由一位業餘數學家提出的法案，內容宣稱能夠「化圓為方」——古希臘幾何學家一直希望能解決的難題︰給定一個圓形，用圓規和無刻度直尺畫出相同面積的正方形。

不過早於1882年，數學家林德曼（FerdinandvonLindemann）已證明這不可能做到，「π法案」內提出的解答自然有錯。

雖然「π法案」其實沒有提及「π」本身，但內文其中一句提到「直徑跟圓周之比為五分之四比四」，即指π=4/1.25=3.2。

幸好「π法案」最終未能通過，政治力量始終無法改變數學事實（當然，就算通過了也無改π的數值）。

不過我想說的其實不是「π法案」這類改變，而是π本身可不可能有其他數值。

答案是可以的——如果採用「圓周跟直徑的長度比率」這個定義，我就有方法「改變」π的數值。

首先，怎樣畫出一個圓形？很簡單，在平面上先固定某個點，稱為「圓心」，再畫出其他跟圓心保持相同距離的點，那些點連起來就是一個圓形，這條曲線就是圓周。

在圓形上其中一點畫一條直線，穿過圓心抵達圓的另一邊，這條線段就是直徑。

ImageCredit:McgillatEnglishWikibooks,PublicDomain如果用上笛卡爾坐標系，以原點(0,0)為圓心畫出來的圓形，可以用以下方程式表示︰其中r是半徑長度。

例如以原點為圓心、半徑為2的圓形就是這樣︰ ImageCredit:345Kaionen.wikipedia,CCBY-SA3.0為甚麼會是二次方？因為我們一般定義兩點(x1,y1)及(x2,y2)的距離如下︰這樣定義距離的話，兩點之間最短距離的線會是一條直線，因此這可算是最符合直覺的定義，也是大多數人初學解析幾何時接觸到的定義，這種距離稱為「歐幾里得距離」（Euclideandistance）。

不過數學家總是喜歡把定義推廣，得出不同樣子的「距離」，而「距離」的定義改變後，其空間亦相應改變。

其中一種改變方式如下︰其中p是一個大於1的數字，用兩條直線代替括號，代表那是絕對值，確保不會得出負數。

這類距離稱為「p範數距離」（p-normdistance），又稱「閔考斯基距離」（Minkowskidistance）。

當p=2的時候，這就是歐幾里得距離。

由於「圓形」的定義建基於距離，當我們採用另一種方式定義距離時，所畫出來的圓應也會相應改變，以下是一些例子︰ImageCredit:Waldir,CCBY-SA3.0上圖中藍線上的點跟原點距離相等，但每個坐標中「距離」的定義都不一樣。

當p的值改變時，圓周長度亦會相應改變，但直徑長度不變，所以其「圓周率」也會改變，記作πp。

而當p=1所得出的距離比較特別，粗略地說，在這種空間內量度兩點的距離時，我們只能沿坐標的橫線和直線量度，如下圖中的紅、藍及黃色線，就像計程車只能跟馬路行走，不能穿過大廈一樣，因此這種距離又稱作「計程車距離」。

ImageCredit:Psychonaut,PublicDomain此外，當p的數值越大時，相應的「圓形」看上去也越來越「胖」，到極限時就會變成以下樣子︰那麼，圓周率會有甚麼變化呢？數學家C.L.Adler及JamesTanton研究過這個問題，並製作以下列表︰ImageCredit:C.L.Adler&JamesTanton(2000)他們更證明了，當p是1或者無限大時，相應的圓周率數值為4，也是最大的數值，而當p=2的時候，πp的數值最小，也是我們平日常見的那個π=3.14159...。

不過這結果只限於p範數距離，如果我們採用其他方式定義距離，仍然可能得出更小的圓周率。

本文內容取材自數學節目《PBSInfiniteSeries》其中一集︰相關文章︰ 我們知道圓周率π「無理」和「超越」，但它是不是「正規」？ 今天是「畢氏定理日」，你懂得多少個證明？ 圓周率小數點從第七位到第八位，花了數學家九百多年核稿編輯： Tags：圓周率π圓周率圓周率日數學圓形幾何距離More...成為會員，在關鍵評論網暢所欲言成為會員成為會員謝謝王力宏提醒我們，結婚前一定要去對方家裡好好觀察1則觀點「口譯哥」趙怡翔提不在籍投票卻被炎上，不在籍投票分成哪幾種？台灣可能採用的是哪個？2則觀點3+11等防疫混亂讓年輕人憤怒，他們如何理解國民黨「用公投民意懲罰民進黨」？3則觀點索尼攜手台積電在熊本設廠，為何受到日本社會批評？學者：該補貼案使日本廠商更難以競爭1則觀點大同高層頻換人，王光祥接手董事長未來重點「活化土地」，研究員強調：公司並不會放棄電子本業1則觀點美、日晶片荒未獲改善，業內人士：白宮可能擴大查供應鍊囤貨，矛頭指向中國1則觀點【重啟核四公投QA】爭議超過20年，核四當初蓋到哪了？沒有它台灣會缺電嗎？1則觀點【公投民調】6成民眾會投票但所有人投票意願都降低，哪個黨的支持者「不跟著黨投」？2則觀點今日新增本土1例舊案、境外移入11例，指揮中心公布防疫旅宿4大強化作為1則觀點我是金山高中退休教師，這是當地居民與萬年核廢料共伴的心情4則觀點