無限集與可數集

Theorem:可數集的子集必定是可數集。

Theorem:可數個可數集合的聯集仍為可數集。

i ... mathematical_analysis Introduction 數學分析 邏輯(Logic) 集合的運算 實數(Realnumber) Dedekind分劃(cut) Dedekind分劃2(cut) 集合(Set) 集合2(Set) Cantor集合 Cauchysequence 單調序列(monotonicsequence) 不等式(Ineqlity) 歐式空間(Euclideanspace) 可數集合(Countableset) 歐式空間拓樸集(Euclideanspacetopology) 開集合(openset) 閉集合(closeset) 稠密集合(denseset) 緊緻集合(compactset) 緊緻集合等價敘述(compactsetequivment) 緊緻集合應用(compactsetapplication) 連通集合(connectedset 度量空間(Metricspace) Hausdorff空間 點拓撲集定義(Pointtopologydefinition) 點拓撲集定義2(Pointtopologydefinition2) 點拓撲集理論(Pointtopologytheorem) 序列(Sequence) 級數(Series) 函數(Function) 微分(Derivative) 微分2(Derivative) 向量微分(Derivativeofvector) 有界變分(Boundedvariation) Riemann-Stieltjes可積分函數性質 Riemann-Stieltjes積分存在性 Riemann-Stieltjes積分存在性2 Riemann-Stieltjes積分微積分定理 Lebesgue積分 Sigmafield(algebra) 測度(Measure) 可測函數(Measurablefunction) 隨機變數收斂性(Convergenceofr.v.) 複數(Complexnumber) 向量空間(Vectorspace) 賦範空間(Normedspace) 劣梯度(Subgradient) Weierstrasstheorems PoweredbyGitBook 可數集合(Countableset) 無限集與可數集 有限的集合直觀定義為若將該集合元素一個一個地數，必定可以將元素數盡。

因此無限多個元素即無法經由一個一個地數來數盡所有的元素。

定義:集合等價或基數相同。

A, BA,\BA, B為二集合。

若A, BA,\BA, B間存在一對一且映成的函數f:A→Bf:A\rightarrowBf:A→B，則稱AAA與BBB等價(equivalent)，或兩集合基數相同(havethesamecardinalnumber)，以A∼BA\simBA∼B表示。

Theorem:等價關係的基本性質。

反身性(reflexive):∀A, A∼A\forallA,\A\simA∀A, A∼A. 對稱性(symmetric):∀A, B, A∼B⇒B∼A\forallA,\B,\A\simB\RightarrowB\simA∀A, B, A∼B⇒B∼A. 遞移性(transitive):∀A, B, C, A∼B, and B∼C⇒A∼C\forallA,\B,\C,\A\simB,\text{and}B\simC\RightarrowA\simC∀A, B, C, A∼B, and B∼C⇒A∼C. E.g.整數集Z\mathbb{Z}Z與自然數集N\mathbb{N}N等價。

定義函數f:Z→Nf:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{N}f:Z→N. ∀n∈N,f(n)={n/2n is even,−(n−1)/2n is odd.\foralln\in\mathbb{N},f(n)=\begin{cases} n/2&n\text{iseven},\\ -(n-1)/2&n\text{isodd}. \end{cases}∀n∈N,f(n)={​n/2​−(n−1)/2​​​n is even,​n is odd.​​.(QED) 雖然自然數集是整數集的子集合，但因兩者是無限集，且可以找到一對一且映成的函數，所以兩個集合大小相等。

E.gN×NN\timesNN×N與自然數N\mathbb{N}N等價。

定義函數：f:N×N→Nf:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}f:N×N→N. ∀(m,n)∈N×N, f(m,n)=(m+n−2)(m+n−1)/2+m\forall(m,n)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N},\f(m,n)=(m+n-2)(m+n-1)/2+m∀(m,n)∈N×N, f(m,n)=(m+n−2)(m+n−1)/2+m. E.g.實數集R\mathbb{R}R與(−1,1)(-1,1)(−1,1)等價。

定義函數f(x)=x(1+∣x∣f(x)=\frac{x}{(1+|x|}f(x)=​(1+∣x∣​​x​​或g(x)=2/πtan−1xg(x)=2/\pi\tan^{-1}xg(x)=2/πtan​−1​​x都是一對一且映成的函數。

E.g.∀a,b∈R, a