ZF公理系統:公理化集合論,說明及套用 - 中文百科全書

ZF公理系統，提出者是Cantor、策梅洛，適用領域範圍：集合論。

在集合論創建的初期，Cantor是以所謂“樸素”的觀點來看待集合的，他建立了廣泛而深刻的集合理論，但是他 ... ZF公理系統 ZF公理系統，提出者是Cantor、策梅洛，適用領域範圍：集合論。

在集合論創建的初期，Cantor是以所謂“樸素”的觀點來看待集合的，他建立了廣泛而深刻的集合理論，但是他沒有明確對於已知集合，哪些操作是合法的。

為了填補Cantor在理論基礎上的不足，1908年策梅洛(Zermelo)提出了比較完整的公理，這些公理指明了對集合的哪些操作是合法的。

後經過弗蘭克爾（Fraenkel）的完善和補充，形成了ZF公理系統。

基本介紹 中文名：ZF公理系統別稱：公理化集合論提出者：Cantor、策梅洛提出時間：1908年套用學科：集合適用領域範圍：集合論 公理化集合論,說明及套用, 公理化集合論(1)外延公理（容積公理）：一個集合完全由它的元素所決定。

如果兩個集合含有的元素相同，則它們是相等的。

(2)分離公理模式：“對任意集合X和任意對X的元素有定義的邏輯謂詞P(z)，存在集合Y，使z∈Y若且唯若z∈X而且P(z)為真”也就是說：若X是一個集合，那么可以斷定，Y={x∈X|P（x）}也是一個集合。

(3)配對公理：對任意a和b是對象，則存在一個集合{a，b}，其僅有的元素是a和b。

也就是說：我們可以用一個集合Z={X,Y}來表示任給的兩個集合X,Y，稱之為X與Y的無序對。

(4)並集公理：任給一族M，存在UM（稱為M的並）它的元素恰好為M中所含元素的元素。

也就是說：我們可以把族M的元素的元素匯集到一起，組成一個新集合。

註：為了方便描述，定義族表示其元素全為集合的集合。

(5)冪集公理(子集之集公理)：對任意集合X，存在集合P（X），它的元素恰好就是X的一切子集。

也就是說：存在以已知集合的一切子集為元素的集合。

(6)無窮公理：存在歸納集。

（存在一個集合，空集是其元素，且對其任意元素x，x+=x∪{x}也是其元素）也就是說，存在一集合x，它有無窮多元素。

(7)替換公理模式（置換公理）：也就是說，對於任意的函式F（x），對於任意的集合T，當x屬於T時，F（x）都有定義（ZF中唯一的對象是集合，所以F（x）必然是集合）成立的前提下，就一定存在一集合S，使得對於所有的x屬於T，在集合S中都有一元素y，使y=F（x）。

也就是說，由F（x）所定義的函式的定義域在T中的時候，那么它的值域可限定在S中。

(8)正則公理：也叫基礎公理。

所有集都是良基集。

說明一個集合的元素都具有最小性質，例如，不允許出現x屬於x的情況。

準確的定義：“對任意非空集合x，x至少有一元素y使x∩y為空集。

”以上8條公理組成了ZF公理系統，再加上選擇公理，則組成了ZFC公理系統(9)選擇公理：也叫策梅洛公理，對於任意兩兩不交的集合族，存在集合C，使對所給的族中的每個集合X，集合X與C的交恰好只含一個元素。

說明及套用公理1~8組成了ZF集合論公理系統，即著名的ZF公理體系。

9作為與前8個獨立的公理，在數學分析中經常用到。

公理1，2可以推出任何集合X有空子集，且空集唯一。

通過公理3，可以定義有序對（X,Y）：={{X,X}，{X,Y}}。

公理1~5可以限制新集合形成的可能，從而消除羅素悖論中的集合(存在集合A滿足A不包含於自己)。

公理6，連同1~4，按照馮諾依曼的提出（根據皮亞諾公理系統對自然數的描述）可以建立自然書數集N0的標準模型。

公理7在建立分析學時並不使用之。

公理8與羅素悖論：羅素悖論實際上構造了一個真類，而根據正則公理，真類被排除在ZF集合論的公理體系之外。

也就是說，正則公理並沒有真正解決羅素悖論，只是限制了數學所討論的集合（更恰當的說法是類或是蒐集）的範圍，從而避開了羅素悖論。

這是目前數學家們所找到的最好的解決辦法：通過正則公理排除所有已知的矛盾。

注意正則公理並沒有否定羅素悖論，因為如果通過其他公理能夠構造出該悖論中的集合，那么仍然是矛盾。

實際上不用正則公理，羅素已經替我們證明了這個集合是不存在的。

相關詞條 ZF公理系統ZF公理系統,提出者是Cantor、策梅洛,適用領域範圍:集合論。

在集合論創建的初期,Cantor是以所謂“樸素”的觀點來看待集合的,他建立了廣泛而深刻的集合理論,但是他...替換公理模式替換公理模式是集合論的ZF公理系統中的一個公理模式。

......替換公理模式是集合論的ZF公理系統中的一個公理模式。

中文名替換公理模式定義集合論的ZF公理系統...羅素悖論除ZF系統外,集合論的公理系統還有多種,如馮·諾伊曼(vonNeumann)等人提出的NBG系統等。

在該公理系統中,所有包含集合的"collection"都能被稱為類(class),凡是...奇異基數大基數公理雖然早已提出(在ZF+大基數公理(即“存在一大基數”)的公理系統中,可以證明ZF是無矛盾的),但直到20世紀60年代以後才作為公理集合論某一領域的附加假設...良基關係例如,在ZF公理系統中,由正則公理知,∈關係為集合論全域V上的良基關係,但不是良序關係。

從直觀上講,被良基化的集合或類,可以通過其上的良基關係對其元素進行...蘇斯林假設蘇斯林假設(Suslinhypothesis)簡稱SH.獨立於ZF公理系統的著名假設之一。

......蘇斯林假設(Suslinhypothesis)簡稱SH.獨立於ZF公理系統的著名假設之一。

...良基集WFCV,V為集合全域.在ZF公理系統下,V=WF,即ZF系統中的任何集合均為良基集。

如果在ZF系統中去掉正則公理(記為ZF-),則不能證明V=WF,但可以證明WF為ZF...標準模型假設在介紹力迫法時引人的一個命題.在證明集合論外加公理的相容性時,通常以ZF公理系統本身的相容性作為前提.由模型論中的完備性定理,既然ZF系統相容,則一定存在ZF...第三次數學危機數學家們通過將集合的構造公理化來排除了這樣的集合的存在性。

例如,在策梅洛(Zermelo)和弗倫克爾(Fraenkel)等提出的ZF公理系統(也稱ZFC公理系統)中,嚴格規定了一個... 熱門詞條 Oscars 煮水餃 真幌站前番外地 世界滑板日 TheFamily 地勤 唐詩三百首 大華嚴寺 糖衣陷阱 劉真 腳本 諸界末日線上 儒艮 遣散費 任天堂遊戲 永泰雲頂旅遊區 經國號 U19 JackMurphy 革命Dualism 王熙鳳 殺手2 塔羅牌占卜 生人勿近之邪花 寶米恰恰 飛翔情報室 秋空 小弟弟 ZF公理系統@中文百科全書