三次方程式公式解有用乎? @ isdp2008am - 隨意窩

我們國中就學過二次方程式的解法了，比如說像下面這樣子的解法： 只要你還記得二次方程式公式解，你就可以像我一樣輕鬆寫下答案。

而像上面這樣的解，我們稱為「根式 ... isdp2008am[交大理學院學士班數學小站]提供對數學有興趣的學生們課堂之外的線上學習園地，本網誌的內容走向希望朝向[數學理論]與[數學應用]兼備，成立目標是希望對數學有興趣的學生們可以在此吸收更多數學相關知識，達成跨領域學習的成效。

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)日誌相簿影音好友名片 200909101112三次方程式公式解有用乎??幾何學   我們國中就學過二次方程式的解法了，比如說像下面這樣子的解法： 只要你還記得二次方程式公式解，你就可以像我一樣輕鬆寫下答案。

而像上面這樣的解，我們稱為「根式解」，它只使用到「加、減、乘、除與根號」來表示解x。

然而，任何三次方程式呢？三次方程式也有像二次方程式那樣的公式解嗎？其實是有的，而且求出公式解的第一個步驟就是把三次方程式透過變數變換，得到一個「不具二次項」的係數的方程式。

舉一個例子，其處理方法如下： 上述過程的最後式子(*)，就是可以套用公式來解的三次方程式，至於公式長得怎麼樣，暫且不提，有興趣的讀者請看文末[參考文獻]。

   本文的目的不在於說明如何推導三次方程式的公式解，而是想問問讀者，您本身有遇過任何數學上的應用問題，最後的結果是要解一個三次方程式呢？當然，若要求一個體積為5的正立方體的邊長為何，可立刻寫下解法如下： 會這麼快解出來，是因為它不需要用到公式解，直接在等式兩邊開立方即可。

那請問您有遇過其它比較不一樣的三次方程式嗎？   沒關係，不論有沒有，在此筆者想要分享一個例子，其結果最後會歸結到一個三次方程式。

請看下圖   題目是說有個半圓，設半圓的直徑是AD（注意一件有趣的事：一個半圓內只有一條直徑），設半徑OA=r。

此半圓內有個四邊形ABCD，且令線段AB=a,BC=b,CD=c,則請問r之值為何？我們先連接BO與CO，並分別作出O到AB,BC,CD的中垂線OE,OF,OD(我們用虛線來畫出這五條線，以代表是後來才劃上去的線)，然後有下圖： 上圖中我們標出了三個將要用到的角，分別假設其大小為： ∠1=∠BOE=θ1,∠2=∠COF=θ2,∠3=∠DOG=θ3. 因為等腰三角形底邊上的高平分底邊，因此我們可以寫下： 又等腰三角形底邊上的高平分頂角，所以有 ∠AOB+∠BOC+∠COD=2(θ1+θ2+θ3)=π. 但是目前我們只有上面這個有關於「角度」的條件，要如何進展呢？其實就是使用三角函數。

一般來說，三角函數是建立「長度」與「角度」關係的橋樑，請看下面的推導： 不妨使用「兩邊平方」這招來解開上面最後一式，得到： 接下來，把(1)的結果代入(2)式裡面，得到： 可以看出(3)式就是一個三次方程式，比如將a=2,b=4,c=6帶入(3)式，就可以得到下式： 像(4)式這種一次項係數不為0的三次方程式，若要求出「根式解」，大部份來說都需要三次方程式的公式解，所以說，三次方程的公式解還是有用的。

   如何，您要不要自己出個題目考考自己，列出方程式來，看看最後會不會找出一個三次方程式呢？  [參考文獻]： [1]李白飛，<>，第4~5頁，數學知識網站。

(連結如下：http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_10_04_1/page4.html))(本文作者：連威翔，現任職於交通大學理學院學士班)isdp2008am/Xuite日誌/回應(0)/引用(0)沒有上一則|日誌首頁|沒有下一則回應 加我為好友日誌相簿影音 我的相簿 isdp2008am's新文章有用連結UsefulLinks披著對數律運算(外衣)的一道因倍數問題的另解一定要使用遞迴數列的方法求解嗎？關於數字33…3平方之表達式的另證藥師輪值排班問題的另解也是巧算123456789×8+9？一定要使用降冪函數不等式來求解嗎？雙殺數據是否有誤呢？一道可使用泰勒級數求解的問題一個四面體體積的試算與驗證兩道有趣的國中會考問題 全部展開|全部收合 關鍵字 isdp2008am's新回應沒有新回應！