三次方程的求根公式 - 線代啟示錄

經過變數變換原方程式可改寫為$latex y^3+py+q=0&fg=000000$， ... 下面我用一個矩陣特徵值問題說明三次方程公式解的計算步驟。

考慮. A=\left[\!\! 線代啟示錄 Iseeknottoknowtheanswers,buttounderstandthequestions. Skiptocontent ←每週問題May14, 2012 每週問題May21, 2012→ 三次方程的求根公式 Postedon05/17/2012byccjou 本文的閱讀等級：初級 公元1545年，義大利數學家卡當(GerolamoCardano,1501-1576)出版了ArsMagna，意為「偉大的技藝」，書中首度向世人公開三次方程的求根公式[1]。

本文介紹卡當公式解的推導過程，並以一個階矩陣的特徵值問題為例展示計算步驟。

GerolamoCardano(1501-1576)Fromhttp://www.uh.edu/engines/cardano.jpg 考慮一般實三次方程 ， 其中。

為簡化代數運算，先將上式通除以，運用二次方程求解過程所使用的配方法，可得[2] 。

令。

經過變數變換原方程式可改寫為 ， 其中 。

接下來的問題是如何解出這個缺乏二次項的「不完全」三次方程。

  考慮的三次展開式 ， 提出公因式，可得 。

我們設想上式中即為的一個解，故兩式係數相同，就有 。

表面上，事情變得更加複雜，但這正是卡當解法最令人激賞之處：以我們熟悉的二次方程的解替換三次方程的解。

將上面兩式改寫成 ， 利用根與係數的關係，可知和為下列二次方程的解： 。

令和代表此二次方程的解： ， 故得和。

注意和分別可能有三個解，如下： 其中 滿足與，且。

表面上，共有種可能，但是實數，因此僅有下列三組解符合所求： 此即為不完全三次方程的公式解，故原三次方程的解為，。

  最後我們定義判別式： ， 則 。

分開三種情況討論： 若，和皆為實數，有一實根，兩共軛虛根； 若，為實數，有三實根且； 若，為共軛複數，不難證明為三相異實根。

  下面我用一個矩陣特徵值問題說明三次方程公式解的計算步驟。

考慮 ， 寫出特徵多項式(見“特徵多項式蘊藏的訊息”)： ， 矩陣的特徵值即為的根。

步驟一：給定三次方程 ， 上式通除，並代入，可得，其中且。

步驟二：計算判別式 ， 故知存在一實根和兩共軛虛根。

接著計算 上式的三次方根過於複雜，必須進一步化簡。

令，等號兩邊同時計算三次方，比較有理項和無理項，立得。

因此， ， 可得一實根 ， 共軛虛根為 和。

步驟三：最後再將不完全三次方程的解轉換為原三次方程的解：，，即得。

  註解 [1]維基百科：三次方程 [2]使用三次方展開式，三次多項式的配方過程如下： 相關閱讀： 從推導一元二次方程式的公式解看個性 Sharethis:EmailPrintFacebookTwitterLikethis:LikeLoading... Thisentrywaspostedin特別主題andtagged特徵值,特徵多項式,公式解,三次方程.Bookmarkthepermalink. ←每週問題May14, 2012 每週問題May21, 2012→ 12Responsesto三次方程的求根公式 Chenlogysays: 05/17/2012at5:27pm 感謝教授,百忙當中抽空解答問題,其實wiki百科上大致看過卡當的方法,當初著眼在”如果特徵值很複雜”(開根又有虛數)的狀況下,才想請教有無便捷的方法,從上面範例的行列式中,很容易看出有一根是2,用了卡當果真是…不如用觀察法… Reply ccjousays: 05/17/2012at9:11pm 長久以來線性代數教本都不著重特徵值的計算，而是將重點放在特徵分析及其應用，畢竟計算的事交給電腦處理即可。

Reply WattLinsays: 05/17/2012at6:46pm 一般認為，「虛數」的使用，是為了解一元二次方程，而發明「想像的」數。

我曾經在一本書看到，解了二次方程之後，「虛數」卻還沒流行，而且受到一些反對，認為沒有必要存在「想像的」數。

等了若干年之後，「虛數」觀念之迫切需要，而讓數學家開始積極推廣，是因為想要解三次方程。

不知道這種說法，有沒有文獻依據？ Reply ccjousays: 05/17/2012at9:26pm 有的。

WilliamDunham的Journeythroughgenius:thegreattheoremsofmathematics，1991，中譯《天才之旅》，牛頓出版社，pp173： 有一點需要特別強調。

與大眾所認知的恰好相反，虛數之所以邁入數學的領域，並不是用來做為解二次方程式的工具，而是做為解三次方程式的工具。

當出現在的解中時，數學家確實容易將它放棄(因為此方程式明顯地沒有實根)。

但是當在獲得上述三次方程式(指)的解中扮演關鍵角色時，他們即不能如此容易將它忽略掉。

所以是三次方程式而非二次方程式給了複數最初的激勵和現在無可置疑的合法性。

上面說的式子是 王懷權，代數學發展史，1976，協進圖書，pp146： 問題：把1分為兩部分，使其兩部分的乘積為40。

Cardano解得此兩部分為和。

他一方面視為強詞奪理，另一方面又認可而運用之。

Cardano用Rx15表示。

Reply WattLinsays: 05/17/2012at10:24pm 感謝老師引用書籍內容來回答，上面答案，我很滿意！ 另外，「把1分為兩部分，使其兩部分的乘積為40」是不是「把10分為兩部分，使其兩部分的乘積為40」漏打一個「0」？ Reply ccjousays: 05/18/2012at8:24am 謝謝指正，兩數字之和確實是10。

我倒是認為幾乎每個文化都有負數的觀念，只是未必具備數學符號形式罷了。

我問過一個六歲小孩：15減8是多少？他想了一想，給了答案。

我問他怎麼算的，他說：8減5得到3，10再減3得到7。

Reply WattLinsays: 05/17/2012at10:34pm 我印象中，在另一本書看到，「虛數」剛開始受到不少反對，但是比「負數」少。

「負數」觀念，最初被提出來時，受到更強烈的反對！ Reply WattLinsays: 05/17/2012at10:52pm Sorry!我的用詞，需作一些調整： 「負數」被提出時，很難使人接受。

「虛數」的被接受，不像「負數」那麼困難。

(「不接受」與「反對」，意思存在差距。

) 我忘了在哪一本書看到，也不記得「負數」開始被正式使用的年代。

這是數學史中，很有趣的話題，但高中課程沒談，我是看課外書籍而得知。

Reply Scorpiochengsays: 05/11/2018at12:36pm 如何得知(2+11i)^(1/3)=2+1i? 待定係數法似乎也不可行 Reply CHUAsays: 11/02/2013at10:42am 教授您好，判別式內形式是兩數相減，是否為相加筆誤? Reply ccjousays: 11/02/2013at5:05pm 天哪，竟然有這麼嚴重的錯。

多謝指正。

Reply dadasays: 07/23/2016at2:38pm 教授沒有說錯,q²-4(1)(-p³/27)=q²+4p³/27 Reply LeaveaReplyCancelreply Enteryourcommenthere... Fillinyourdetailsbeloworclickanicontologin: Email(required)(Addressnevermadepublic) Name(required) Website YouarecommentingusingyourWordPress.comaccount. ( Log Out /  Change ) YouarecommentingusingyourGoogleaccount. ( Log Out /  Change ) YouarecommentingusingyourTwitteraccount. ( Log Out /  Change ) YouarecommentingusingyourFacebookaccount. ( Log Out /  Change ) Cancel Connectingto%s Notifymeofnewcommentsviaemail.Notifymeofnewpostsviaemail. Δ 搜尋(繁體中文或英文) Searchfor: 訊息看板 近期文章 每週問題June26, 2017 每週問題June19, 2017 每週問題June12, 2017 每週問題June5, 2017 每週問題May29, 2017 線性代數專欄其他主題專欄每週問題數據充分性問題其他分類RecentComments curcon簡約列梯形式的唯一性ccjouon矩陣導數Zacharyon矩陣導數zacharyon矩陣導數用julia的線性代數套件解聯立方程…on別再算逆矩陣了連on教學光碟 近期最多人點閱 三階逆矩陣公式 行列式的運算公式與性質 從推導一元二次方程的公式解看個性 奇異值分解(SVD) 利用行列式計算多邊形面積 基底與維數常見問答集 Karush-Kuhn-Tucker(KKT)條件 內積的定義 正定矩陣的性質與判別方法 你不能不知道的矩陣秩 分類分類 SelectCategory 無關線代  (23) 特別主題  (20) 答讀者問  (49) 網友分享  (2) 線性代數專欄  (426)    特徵分析  (76)    特殊矩陣  (23)    線性變換  (33)    線性方程  (30)    行列式  (32)    證明細解  (4)    內積空間  (28)    典型形式  (27)    向量空間  (47)    應用之道  (42)    數值線性代數  (29)    二次型  (42)    仿射幾何  (11) 隨筆雜談  (18) 試閱  (2) 周老師時間  (16) 問題回報  (24) 圖論  (12) 布告欄  (22) 希爾伯特空間  (4) 數據充分性問題  (3)    DSQ特徵分析  (1)    DSQ向量空間  (2) 機率統計  (21) 機器學習  (8) 每週問題  (435)    pow特徵分析  (87)    pow線性變換  (23)    pow線性方程與矩陣代數  (56)    pow行列式  (55)    pow內積空間  (57)    pow典型形式  (9)    pow向量空間  (75)    pow二次型  (73) Archives Archives SelectMonth June2017 (4) May2017 (5) April2017 (4) March2017 (4) February2017 (6) January2017 (11) December2016 (5) November2016 (5) October2016 (5) September2016 (4) August2016 (5) July2016 (4) June2016 (4) May2016 (10) April2016 (6) March2016 (10) February2016 (11) January2016 (7) December2015 (11) November2015 (9) October2015 (8) September2015 (11) August2015 (14) July2015 (8) June2015 (11) May2015 (5) April2015 (5) March2015 (6) February2015 (4) January2015 (7) December2014 (9) November2014 (5) October2014 (4) September2014 (5) August2014 (5) July2014 (5) June2014 (11) May2014 (10) April2014 (12) March2014 (14) February2014 (15) January2014 (10) December2013 (16) November2013 (14) October2013 (19) September2013 (15) August2013 (13) July2013 (13) June2013 (18) May2013 (16) April2013 (14) March2013 (6) February2013 (8) January2013 (13) December2012 (16) November2012 (18) October2012 (17) September2012 (10) August2012 (8) July2012 (10) June2012 (15) May2012 (12) April2012 (12) March2012 (11) February2012 (10) January2012 (7) December2011 (5) November2011 (4) October2011 (6) September2011 (5) August2011 (5) July2011 (8) June2011 (13) May2011 (14) April2011 (11) March2011 (11) February2011 (10) January2011 (12) December2010 (12) November2010 (13) October2010 (8) September2010 (11) August2010 (15) July2010 (7) June2010 (13) May2010 (12) April2010 (12) March2010 (14) February2010 (14) January2010 (12) December2009 (12) November2009 (14) October2009 (10) September2009 (13) August2009 (14) July2009 (12) June2009 (12) May2009 (12) April2009 (15) March2009 (39) 標籤雲 Cayley-Hamilton定理 Frobenius範數 Gram-Schmidt正交化 Gramian矩陣 Hermitian矩陣 Householder矩陣 Jordan典型形式 LU分解 QR分解 Schur定理 SVD Vandermonde矩陣 三角不等式 不變子空間 么正矩陣 二次型 代數重數 伴隨矩陣 內積 冪矩陣 冪等矩陣 冪零矩陣 分塊矩陣 列空間 半正定矩陣 反對稱矩陣 可交換矩陣 可逆矩陣 向量空間 圖論 基底 基本列運算 奇異值 奇異值分解 實對稱矩陣 對角化 座標變換 微分方程 投影矩陣 排列矩陣 旋轉矩陣 最小多項式 最小平方法 正交性 正交投影 正交矩陣 正交補餘 正定矩陣 正規矩陣 特徵值 特徵向量 特徵多項式 特殊矩陣 相伴矩陣 相似 矩陣乘法 矩陣多項式 矩陣指數 矩陣範數 矩陣譜 秩 秩─零度定理 簡約列梯形式 組合數學 線性獨立 線性變換 線性變換表示矩陣 行列式 行空間 譜分解 跡數 逆矩陣 通解 零空間 高斯消去法 線代線上影音課程 Essenceoflinearalgebra(3Blue1Brown) KhanAcademy(SalmanKhan) MITOCW(GilbertStrang) 國立台灣大學OCW(蘇柏青) 國立清華大學OCW(趙啟超) 國立交通大學OCW(莊重) 國立交通大學OCW(巫木誠) 線代學習網站 用maxima學數值分析─特徵值和特徵向量 FreeOnlineBooks MathInsight MITOCW Wikibooks:LinearAlgebra WolframDemonstrationProject 線代電子書 AFirstCourseinLinearAlgebra(RobertA.Beezer) FundamentalsofLinearAlgebra(JamesB.Carrell) LinearAlgebra(JimHefferon) LinearAlgebraDoneWrong(SergeiTreil) LinearAlgebraProblems(JerryL.Kazdan) LinearAlgebraviaExteriorProducts(SergeiWinitzki) LinearAlgebra,TheoryandApplications(KennethKuttler) MatrixAnalysisandAppliedLinearAlgebra(CarlD.Meyer) NotesonLinearAlgebra(PeterJ.Cameron) 矩陣計算器 JordanFormCalculator MatrixCalculator OnlineMatrixCalculator LaTeX OnlineLaTeXEquationEditor Wikibooks:LaTeX Blogroll 陰暗的小角落 MarkChang'sBlog 尼斯的靈魂 微積分福音 訂閱 請輸入您的email，當有新文章發表時，您將會收到通知。

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