站在巨人的肩膀上，看得比較遠 - 泛科學

我愣怔怔地站在一旁，只顧著忌妒那片玻璃，又想起小時候被同學罵過玻璃，到底罵人玻璃是什麼意思呢。

耽溺於自己年少的過往，輕易錯過了一次在心上人面前表現的大好機會。

000文字分享友善列印000來自台灣專欄萬物之理站在巨人的肩膀上，看得比較遠賴以威・2014/03/11・2159字・閱讀時間約4分鐘・SR值450・四年級＋追蹤PhotoCredit：rottnapples“IfIhaveseenfurtheritisbystandingontheshouldersofgiants.”-IssacNewton「如果說我看得比別人遠，那是因為我站在巨人的肩上。

」–牛頓說出這句話的牛頓，後來成了科學史上最偉大的巨人，比《進擊的巨人》漫畫裡能畫出來的巨人都還要大上許多，牛頓三大運動定律、微積分，無數的科學家與工程師站在他的肩膀上，發明出造福人類生活的技術。

不過，每次看到牛頓這句流傳千古的名言時，都會有一則回憶，從我內心深處彈出來。

回憶裡的女孩那麼問著：「看得比較遠，是有多遠？」※我高中時還沒有101，台北市的頂點是台北火車站前的新光三越。

當時，我們常說「約在新光三越的石獅子前面」。

當時，手機只要能隨著來電時改變螢幕顏色，就是走在時尚與科技的最先端（如果你答出GD92，恭喜你至少跟我一樣老）。

當時，能跟暗戀的女孩子在周末補習後，拎著裝著補習班講義的紀念書包，用存了一周的零用錢買兩張到頂樓展望台的票，就是一個月、不，一學期以來最快樂的事情。

站在展望台的窗邊，行人小得像螞蟻、汽車小得像蟑螂（想到這裡，我打了個寒顫），整個台北盆地盡收眼底。

下起雨，在地面是抬頭看雨滴從天而降，但在展望台上，是低頭看雨滴往地上撒。

「好漂亮的畫面噢。

」暗戀的對象這樣說，我在旁邊想說「再漂亮也沒你漂亮」，但想想拿人跟雨來比較好像不怎麼恰當，比雨漂亮這種讚美也應該讓人不知道該怎麼開心吧。

這一猶豫，就錯過說話的時機了。

「如果沒有被盆地擋住，一直往外望，站在這麼高的地方看得比較遠，是有多遠呢？」暗戀的對象靠著窗邊說話。

室內的冷氣很強，她的聲音停在牆上，化成一團霧氣。

我愣怔怔地站在一旁，只顧著忌妒那片玻璃，又想起小時候被同學罵過玻璃，到底罵人玻璃是什麼意思呢。

耽溺於自己年少的過往，輕易錯過了一次在心上人面前表現的大好機會。

如果是現在，我會趕快結束妄想，挨近她身邊，在她造成的玻璃上的那團霧氣上畫一個大大的圓，圓上面畫兩個小人依偎在一起。

當然，恐怕會因為畫太久，得叫她補呵幾口氣，別讓霧消失了。

接著，我會以小人為起點，畫一條與大圓相切的切線。

玻璃上的插畫示意圖她一臉迷糊地看著我，我露出自信的微笑，告訴她：「這是地球，上面的兩個人，是站在新光三越頂樓上的我們。

地球半徑約為6400公里，新光三越展望台高度為250公尺，利用畢氏定理，從我們所在位置畫出去的切線長度x為(0.25+6,400)2=6,4002+x2。

我俐落地列出一元二次方程式，但計算過程有點複雜，又不能要她連續呵氣，弄出一大面霧氣供我計算，畢竟是250公尺高的地方，這樣搞，她可能會缺氧吧!不過這樣就可以作人工呼吸了也不錯……，不，我不能再妄想了！我趕緊化簡式子：(0.250+6,400)2=6,4002+x2式子展開，左邊是0.252+2×0.25×6,400+6,4002，第一項跟後面兩項比太小，可以忽略，第三項地球半徑平方又可以跟右邊第一項消掉，整理一下可得x2近似於2×0.25×6,400x近似於根號√(2×0.25×6,400)=56.6公里。

也就是說，站在展望台的我們能看到56.6公里以外的景色。

大概是宜蘭、還有東北角外海好幾公里的地方。

」她露出崇拜的眼神看著我，扯著我的袖子問我怎麼那麼聰明，要我教她數學。

我裝作勉為其難，苦笑地答應，繼續若無其事地賣弄：「先別說數學了，妳聽過『站在巨人的肩膀上，可以看得比較遠』這句話嗎？」「嗯嗯，我記得是……」「牛頓說的。

」她崇拜的眼神又增加了幾燭光。

方才的式子可以化簡成，看到的距離=根號(2H)×80公里，H是眼睛的高度，以公里為單位。

如果要換算成以公尺為單位，要除以1000，變成看到的距離=根號(20h)×0.8公里，這時h的單位就是公尺了。

換句話說，假設有一天我們去旅行。

飛機失事在一片平坦的大草原上，倖存但走散的我們，在草原走來走去，尋找對方的蹤影。

這時候，我比較有可能找得到妳。

「為什麼，說不定是我會先找到你啊。

」她賭氣地說「因為我身高1.7公尺，眼睛位在1.6公尺的位置左右，而你的眼睛大概位在1.5公尺高。

所以我們各自能看見的範圍大概是4.53公里和4.38公里左右，只要沒有障礙物，我看得可以比妳遠150公尺。

我還是高中生，說不定我還會再長高到1.8公尺，那樣的話，我可以再多看130公尺。

為，為了妳，我會長高的。

」「那答應我，你不能只是長高，還要練習跑步。

」「為什麼？」「因為就算看到我了，我們之間的距離還有4.53公里。

你要趕快跑過來接我……」她說到最後，聲音越來越小，頭越來越低……我深深吐了一口氣，彷彿將肺裡所有的空氣吐出，走上前將她擁入懷裡，他的身體震了震，一股從曾體驗過的巨大喜悅從我心頭湧上。

「我不只是會早一點，遠遠地就會看到妳。

我還希望從今以後，我都能看到妳所看見的一切，除了妳眼中的我，替換成我眼中的妳。

」※那是我想出來最棒的告白台詞。

嚴格來講，台詞有點問題，因為我們眼中的彼此左右還要對調。

不過我想在那種情況下應該沒人會去認真追究這個細節。

可惜想出來時，三年已經過去了。

這三年間，我時常想起這段往事，在新光三越的我和她。

想像裡的我每次都表現得更好，更能打動想像裡的她的心。

奈何現實之中，不管是她、我的身高、或我的跑步，都失敗了。

要是能早點站在巨人的肩膀上，早點懂得將數學應用在生活當中，或許就不會是這樣的結局了。

註：更多賴以威的數學故事，請參考《超展開數學教室》。

數感宇宙探索課程，現正募資中！相關標籤：巨人畢氏定理熱門標籤：大麻量子力學CT值女科學家後遺症文章難易度剛好太難所有討論 0登入與大家一起討論賴以威32篇文章・ 8位粉絲＋追蹤數學作家、譯者，作品散見於聯合報、未來少年、國語日報，與各家網路媒體。

師大附中，台大電機畢業。

我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「Ifpeopledonotbelievethatmathematicsissimple,itisonlybecausetheydonotrealizehowcomplicatedlifeis」。

為了讓各位跟我一樣相信這句話，我們得先從數學有多簡單來說起，聊聊數學，也用數學說故事。

歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的：數感實驗室。

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採訪撰文｜簡克志美術設計｜林洵安機器學習輔助材料設計為了2050淨零排放的目標，太陽能發電為不可或缺的再生能源之一，其中「鈣鈦礦太陽能電池」是近年最熱門的研究領域，不僅成本低廉、光電轉換效率也可達到25%。

然而，鈣鈦礦材料在環境中容易降解，影響使用壽命。

材料科學家為了做出效能好又穩定的鈣鈦礦「料理」，無不卯足了勁，替這道菜加上各種「食材」，但是越複雜的菜，調出好味道就越困難。

人腦畢竟有限，如果交給機器呢？中央研究院「研之有物」專訪院內應用科學研究中心包淳偉研究員，他與團隊訓練了一套機器學習模型，可以又快又準的找出複雜鈣鈦礦材料的最佳化條件！「鈣鈦礦太陽能電池」是近年最熱門的研究領域，不僅成本低廉、光電轉換效率也可達到25%。

圖／WikimediaCommons光電好夥伴：複雜鈣鈦礦材料對太陽能電池來說，鈣鈦礦材料具有優異的光電性質和低生產成本，近年也廣泛應用在LED、雷射、光感測器和光觸媒。

鈣鈦礦是什麼呢？最初是指鈣與鈦的氧化物CaTiO3，而現在常講的「鈣鈦礦材料」為一種統稱，泛指擁有相似結構的金屬鹵化物材料，通式為ABX3。

要調配出優秀的鈣鈦礦材料並不容易，科學家必須像大廚一樣，運用各種「食材」煮出ABX3。

鈣鈦礦材料ABX3 的結構示意圖，同一個位置可以放入不同的相應元素。

資料來源／JournalofEnergyChemistry鈣鈦礦材料 ABX3 的「食材」有哪些？A的位置：可放入+1價的有機或無機陽離子，例如甲胺（CH3NH3+，簡稱MA）、甲脒（HC(NH2)2+，簡稱FA）或銫離子（Cs+）。

B的位置：可放入+2價的無機金屬陽離子，通常是鉛離子（Pb2+）。

X的位置：可放入-1價的鹵素陰離子，如碘（I–）、溴（Br–）、或氯（Cl–）離子。

由於鈣鈦礦材料在環境中容易降解、影響使用壽命。

研究發現，添加多種有機和無機離子的鈣鈦礦太陽能電池可大幅提升性能和穩定性，因此科學家為了調配出最好的鈣鈦礦材料，加料不手軟，成份也愈來愈複雜。

在眾多複雜鈣鈦礦材料中，包淳偉研究員探討的是 MAyFA1−yPb(BrxI1−x)3 ，下標符號y和1-y表示相對含量，如果MA佔60%、FA就是40%，因為MA和FA會競爭同一個位置；同理Br和I亦然。

圖片為鈣鈦礦材料通式ABX3 對應到混合離子鈣鈦礦材料MAyFA1−yPb(BrxI1−x)3 之示意圖。

圖／研之有物問題來了，MAyFA1−yPb(BrxI1−x)3 這個材料這麼複雜，比例要怎麼配比較好呢？「你累積的經驗越多，你就猜得越準」，包淳偉說道。

2016年曾經有國外團隊為了找出離子濃度配方與 MAyFA1−yPb(BrxI1−x)3 元件性能的關係，不惜花重本「土法煉鋼」，分別將兩組相對含量7等分（0,1/6,2/6,3/6,4/6,5/6,1），做出49種不同的鈣鈦礦太陽能電池，再去測量光電轉換效率，得出最佳比例為MA2/6FA4/6Pb(Br1/6I5/6)3 。

然而，爲何這樣的濃度配方可以得到最佳元件呢？很遺憾的，實驗團隊由於實驗表徵手段的限制，並不能解答這個重要的基礎問題。

因此，實驗團隊仍然需要學生們焚膏繼晷地爆肝，用試誤法（trialanderror）把最佳配方「踹」（try）出來。

國外團隊為了找到MAyFA1−yPb(BrxI1−x)3 最佳比例，做出49種不同的鈣鈦礦太陽能電池，黃框處即為最佳比例。

左圖為相應濃度的元件外觀，右圖為相應濃度的材料表面微結構。

資料來源／Energy&EnvironmentalScience不過，一直反覆試誤並非好方法，畢竟每做一次實驗就是一次成本。

因此，科學家也設法從理論模擬著手，包淳偉強調「模擬的好處是可以在電腦空間中創造一個最純淨的系統。

」，而原子尺度模擬，更可以達到原子級的解析度，提供許多實驗無法量測的資訊。

要如何模擬一個材料系統？材料科學注重製程（Process）、性質（Property）和結構（Structure）之間的關係。

當我們對結構不夠瞭解時，往往只能透過不同的製程參數，慢慢做出我們想要的性質，可能在失敗多次之後，才能抓到一些訣竅。

理論模擬幫助科學家在做出樣品之前，先建立能量模型，找出能量最低、最穩定的微結構。

當我們了解結構之後，可以避免有問題的製程參數設定，進而得到較好的材料性質。

首先，如果要知道材料性質，有個最精準也最耗時的方法：「第一原理計算」，只用量子力學原理，從頭開始把原子間的作用力和能量計算出來。

因為計算繁瑣，應用上只能模擬1奈米以內（10-9 公尺）的三維材料，抓到數個皮秒（10-12 秒）內的原子狀態，若再往外擴展所耗費的時間和成本難以想像。

相對地，計算材料性質也有省時省力的方法：「分子動力學模擬」，運用古典的牛頓力學，搭配統計力學去計算系統的微觀結構和能量。

分子動力學模擬大約可以模擬100奈米內的三維材料，抓到數個微秒（10-6 秒）內的原子狀態，可模擬的系統尺寸和時間都比第一原理計算要來得多！可惜準確度對於現在化學組成高度複雜的新穎材料而言是一個極大的挑戰。

有沒有一種方法，可以做到又快又準呢？有有有！它就是近年大熱門的「機器學習」！圖／研之有物第一原理計算僅適合用在1奈米以內尺度，計算準確耗時；分子動力學模擬可用於100奈米尺度，計算省時卻不夠精準；透過機器學習建立的神經網路模型，可以快速模擬100奈米尺度的材料，也保留高準確度。

資料來源／包淳偉時間就是金錢，請愛用機器學習！當包淳偉看到2016年國外團隊的 MAyFA1−yPb(BrxI1−x)3 鈣鈦礦研究之後，他認為「結構」這塊還有很多地方可以討論，如果透過理論模擬，先找出最低能量的微結構，或許就能更有效率地探索離子濃度空間，找出決定最佳配方的關鍵要素！由於第一原理計算和分子動力學模擬都不夠好用，包淳偉就將念頭轉到近年熱門的「機器學習」，他和團隊就先從簡單的PbI2 開始，慢慢做到複雜的鈣鈦礦材料。

一開始包淳偉的團隊使用布朗大學開發的原子尺度機器學習套件（AtomisticMachine-learningPackage,AMP）來進行訓練與測試，然而，由於AMP套件性能無法達到預期，包淳偉團隊就走上了自行開發機器學習分子動力學模擬程式的不歸路。

訓練神經網路模型時，包淳偉採用第一原理計算的結果當作機器學習素材，並設計函數進行反饋校正，直到預測的原子能量誤差遠小於熱擾動。

這套神經網路模型如何運作？先輸入原子座標（位置向量 r），再換算成「原子指紋」（特徵向量 G，表示該原子與其他原子之間獨一無二的相對關係），之後透過神經網路，快速輸出整個材料系統的原子能量和作用力。

從輸入到輸出，要模擬原子走一個步階（註1）有多快？假設以2000顆原子的計算量來看，自行開發的機器學習方法只要約0.1秒，第一原理計算則要花費3小時，足足快了十萬倍（註2）！包淳偉與團隊成功訓練出可以模擬複雜鈣鈦礦材料系統的神經網路模型。

資料來源／包淳偉此神經網路模型可以準確預測MAyFA1−yPb(BrxI1−x)3 鈣鈦礦材料的系統能量和受力。

縱軸表示包淳偉團隊的神經網路模型模擬結果，橫軸表示第一原理計算結果。

資料來源／包淳偉AI告訴我們什麼？包淳偉團隊成功訓練出來的神經網路模型，可以在2,000顆原子左右的材料系統上進行數百萬種可能的原子排列採樣，並計算出複雜鈣鈦礦材料的最低能量結構，模擬出不同原子在材料中最穩定的位置、它們的振動，以及它們受到擠壓時會怎麼跑。

多虧了神經網路的快速計算，即使是 MAyFA1−yPb(BrxI1−x)3 這麼複雜的系統也能處理，跑了將近1百萬次結構模擬，得出不同成份比例下81種最低能量的微結構（如下圖），這是第一原理計算絕對跑不出來的成果。

MAyFA1−yPb(BrxI1−x)3 鈣鈦礦材料的最低能量原子結構，縱軸y為MA濃度（CMA，從MA0-FA1到MA1-FA0），橫軸x為Br濃度（CBr，從Br0-I1 到Br1-I0），各自9等分。

為求圖片簡潔，省略x,y=0或1的結構圖。

資料來源／包淳偉找出系統最低能量的原子組態還不夠，包淳偉團隊想要進一步檢驗鈣鈦礦材料 MAyFA1−yPb(BrxI1−x)3 是否能穩定地保持混合狀態，因此計算不同濃度成份下的離子混合能Emix（如下圖）。

混合能是負的，表示系統會傾向混合在一起，這也是材料學家想要的微結構，系統會維持單一固溶相，原子和原子之間「和平共處」。

混合能是正的，表示系統會傾向分離成不同成分的「相」（Phase），材料不能保持穩定的混合狀態，會析出相異固溶相，產生許多缺陷。

MAyFA1−yPb(BrxI1−x)3 鈣鈦礦材料的混合能Emix分布，藍色表示混合能為負（維持單一固溶相），紅色表示混合能為正（析出相異固溶相），可以看到Br和MA濃度高的時候，容易析出化合物。

其中，縱軸y為MA濃度（CMA），橫軸x為Br濃度（CBr）。

資料來源／包淳偉從 MAyFA1−yPb(BrxI1−x)3 混合能分布初步來看，Br濃度（CBr）或MA濃度（CMA）越高的時候，混合能就越高，系統越容易析出相異的固溶相。

除了混合能之外，研究團隊更進一步檢驗了不同濃度成份下的其他結構參數，例如短程有序參數αA-B（正值表示A-B析出；負值表示A-B混合）、晶格扭曲ηs（shearstrain）與晶格畸變ηv（volumetricstrain），觀察析出化合物時，是否真的會改變晶格的幾何結構。

為了將模擬結果和實際情況對照，包淳偉再將模擬出來的結構以第一原理計算出不同濃度成份下的材料能隙（Eg），以及用內差法比對2016年國外團隊的實驗數據，得出不同濃度成份下的元件短路電流（Jsc）和光電轉換效率（powerconversionefficiency,PCE）。

有了這些關鍵數據，我們終於可以完成鈣鈦礦材料 MAyFA1−yPb(BrxI1−x)3 優化製程參數的最後一哩路！鈣鈦礦材料設計最佳化！還記得我們一開始跑模擬的目標嗎？幫助研究團隊在花大錢做實驗之前，先找出最穩定的結構，從結構參數回推好的製程參數，進而得到較好的材料性質。

那麼要如何把這麼多參數的相關性一網打盡呢？有個好工具叫「皮爾森相關性矩陣」（Pearsoncorrelationmatrix）。

MAyFA1−yPb(BrxI1−x)3 鈣鈦礦材料透過機器學習方法模擬之後，計算出性質參數（Eg、Jsc、PCE）、結構參數（Emix、α、ηs、ηv）與製程參數（CMA、CBr）與之間的相關性。

其中，r為相關係數，紅色正值表示兩者正相關，藍色負值表示兩者負相關。

資料來源／包淳偉上圖的矩陣整合了結構參數、製程參數與性質參數的相關性。

這張表格要怎麼解讀呢？首先看結構參數，混合能（Emix）越高，晶格扭曲（ηs）程度越大，MA和FA不互溶，Br和I也不互溶，鈣鈦礦材料 MAyFA1−yPb(BrxI1−x)3 不能保持穩定的混合狀態。

再來看製程參數和結構參數，Br的濃度（CBr）和MA的濃度（CMA）越高，晶格扭曲明顯增加，使得混合能越高。

尤其是Br，Br加得越多，MA和FA不互溶，Br和I也不互溶，容易析出其他固體相，在材料中引入缺陷。

最後看性質參數與結構參數，會發現混合能越高，光電轉換效率（PCE）和元件短路電流（Jsc）越差。

因此，如果要提升光電轉換效率，必須降低Br和MA的摻雜濃度來減少晶格扭曲，以降低混合能，使得MA和FA，Br和I都能充分混合，讓析出物和缺陷減少。

使電流傳輸時不會受到材料缺陷或晶界的阻礙，光電轉換效率才會好。

要做出好的鈣鈦礦材料MAyFA1−yPb(BrxI1−x)3 必要條件之一：「降低Br和MA的摻雜濃度，盡量讓材料維持單一固溶相」。

這就是理論模擬的科學力量，預先評估一款材料設定的製程參數好不好。

如果要透過實驗方法窮舉出上述的最佳化原則，不僅金錢花費巨大，時間成本也相當高。

包淳偉與研究團隊透過近年熱門的機器學習技術，建立了模擬材料系統的神經網路模型，因為神經網路快速運算的特性，大幅降低花費時間和成本，並且模擬結果相當準確。

包淳偉團隊從簡單的化合物模擬開始，終於在2021年成功發表複雜鈣鈦礦材料 MAyFA1−yPb(BrxI1−x)3 的最佳化條件，成果發表在權威期刊《JournalofPhysicalChemistryLetters》。

目前除了繼續改善神經網路模型之外，也開始和其他國外研究團隊合作解決混合複雜元素的材料系統問題，例如高熵合金。

最近包淳偉團隊與香港研究團隊在《自然》期刊發表了一種超彈性高熵合金，而包淳偉團隊也正在使用機器學習輔助原子尺度模擬來研究它有趣的塑性變形性質。

要做出好的材料，結構、製程與性質缺一不可，機器學習輔助的模擬方法可以幫助科學家快速找到最低能量的結構，這是傳統模擬方法無法做到的。

目前除了繼續改善神經網路模型之外，最近包淳偉團隊與香港研究團隊在《自然》期刊發表了一種超彈性高熵合金，而包淳偉團隊也正在使用機器學習輔助的原子尺度模擬來研究它有趣的塑性變形性質。

圖／研之有物註解註1：原子走一個步階的意思是：原子從某個位能井跳到下一個位能井。

註2：此為研究團隊早期模擬MAPbI3 的成果，之後的神經網路模型效率更好。

延伸閱讀機器學習與材料廚神的神祕Recipe應用人工神經網路勢能場研究複雜鈣鈦礦材料微觀結構見微知著─分子模擬的應用AhighlydistortedultraelasticchemicallycomplexElinvaralloyExplorationofthecompositionalspaceformixedleadhalogenperovskitesforhighefficiencysolarcellsIsmachinelearningredefiningtheperovskitesolarcells?MicrostructureMapsofComplexPerovskiteMaterialsfromExtensiveMonteCarloSamplingUsingMachineLearningEnabledEnergyModelMolecularDynamicsSimulationforAll數感宇宙探索課程，現正募資中！相關標籤：光電轉換效率太陽能發電材料科學機器學習皮爾森相關性矩陣鈣鈦礦熱門標籤：大麻量子力學CT值女科學家後遺症文章難易度剛好太難所有討論 1登入與大家一起討論#1samlin-case2022/06/11回覆高知識份子的疫苗猶豫，也來自於科學研究的可怕，實驗數據是可被「人為篩選」(研博的應該可以理解)，更可被「人為隱藏」(隱性的特殊案例)，這兩個人為的重大問題，是疫苗猶豫的最根本來源。

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