國中數學

1.前言﹕以前曾學過線型函數與二元一次方程式，其圖形坐標平面上是一直線，那麼二次函數的圖形又是如何？如何描繪它的圖形？它有什麼特性？這是本節所要討論的重點。

2.二 ... 1-1簡易二次函數的圖形 1.前言﹕以前曾學過線型函數與二元一次方程式，其圖形坐標平面上是一直線，那麼二次函數的圖形又是如何？如何描繪它的圖形？它有什麼特性？這是本節所要討論的重點。

2.二次函數的意義:若一函數等是右邊為一個x的二次多項式，這樣的函數叫做二次函數﹔即可表示成y=ax2+bx+c(其中a,b,c為常數且a≠0)型式的函數。

例如:y=x2,,y=πx2,,y=100–4.9x2,…..等都是二次函數。

3.二次函數的圖形--拋物線 重點整理: 描繪y=x2, ，y= 2x2,， y=1/2x2,，…y=ax2,，a>0的圖形，並發現這些圖形都是以原點為頂點，y軸為對稱軸，開口向上的對稱圖形。

當a的值越大，圖形的開口越小。

a的值越小，圖形的開口越大。

描繪y=–x2,，y=–2x2,，y=–1/2x2,，…y=bx2,，b<0的圖形，並發現這些圖形都是以原點為頂點，y軸為對稱軸，開口向下的對稱圖形。

當b的值越大，圖形的開口越小。

a的絕對值越小，圖形的開口越大。

描繪y=x2,+1，y=x2,+2，……y=x2,+k，k>0的圖形，並發現把y=x2,的圖形向上移動k個單位長，就可以得到y=x2,+k的圖形。

描繪y=x2,-1，y=x2,-2，……y=x2,-k，k>0的圖形，並發現把y=x2, 的圖形向下移動k個單位長，就可以得到y=x2,-k的圖形。

　 　 　 深入探討 1.二次函數通過(0，3)，(1，4)，且對稱於y軸，求此二次函數。

2.設二次函數y=-x2,+4的圖形與x軸相交於A，B兩點，則 (1)=？(2) 的中點坐標為何？ 3.如圖，拋物線與直線L交於A(-2，3)，C兩點，且直線L交x軸於B(4，0)，則C點的坐標為何？ 　 　4.拋物線y=1/2x2,上有相異兩點A.B，設A點之橫坐標為–2，B為第一象限內之點，若通過A，B之直線L與x軸交於C，且點A為BC之中點，求B點之坐標。

　 　　5.如圖，拋物線y=x2,，ABCD為期內接梯形，X軸，E(0，1)，梯形的高為3，求梯形ABCD面積 　 2配方法與二次函數的圖形 前言﹕在第一節中，我們發現所有二次函數的圖形都是以y軸為對稱軸，崎頂點也都是在y軸上，那麼二次函數若不以y軸為對稱圖形，又是如何呢？ 函數y=a(x-h)2之圖形，可由y=ax2,之圖形向左或向右平移h單位而得。

y=ax2,向右平移h單位長，就得到y=a(x-h)2 ，頂點在(h，0)。

y=ax2,向左平移h單位長，就得到y=a(x+h)2 ，頂點在(-h，0)。

函數y=a(x-h)2+k之圖形可由y=ax2,之圖形向左或向右平移h單位，再向上或向下平移k單位而得。

　 重點整理二次函數y=ax2,+bx+c圖形與兩軸的關係 二次函數圖形與y軸必有一交點，其焦點坐標﹕ 令x=0代入二次函數，得y之值為c，即可求出與y軸之焦點坐標為(0，c)。

二次函數的圖形與x軸之相交情形﹕ 令y=0，解方程式ax2,+bx+c=0，再由判別式(b2-4ac)可得知。

　 有關圖形的其他討論如下表﹕ 判別式(b2-4ac) b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 此函數所決定之方程式根之性質 　 兩相等的根 無解 拋物線與x軸之交點 相異兩交點 一交點(相交) 無交點　 　　 　 a>0(開口向上) 　　 a<0(開口向下) 　 　 深入探討 1.已知二次函數y=-x2+4x-3，寫出下列各點的坐標﹕ 頂點 圖形與y軸的交點 圖形與x軸的交點 2.二次函數y= x2-4x-5的圖形與x軸交於A，B兩點,與Y軸相交於C點，頂點為D點，求﹕ 中點坐標 C點坐標 D點到x軸的距離 ΔABD的面積 3.設二次函數y=kx2-4x+(k-3)與x軸只相交於一點，求(1)k值。

(2)交點坐標。

4.若二次函數y=ax2+bx+c的圖形如右圖所示，試判別a.b.c.b2-4的正負關係。

　 1-3二次函數的最大值與最小值 重點整理 利用二次函數圖形的頂點位置以及開口方向，求得此二次函數的最大值或最小值。

2.二次函數y= ax2+bx+c(a0) 配方法將二次函數化為y=a(x-h)2 +k頂點(h，k) 當a>0時，y=a(x-h)2+kk x=h時，y有最小值k。

當a<0時，y=a(x-h)2+kk x=h時，y有最大值k。

　 3.利用二次函數本身而不惜借助於它的圖形，討論初它的最大值或最小值。

當a>0時，則當x=-時，y=- 為最小值。

當a<0時，則當x=-時，y=- 為最大值。

利用二次函數解決一些有關最大值或最小值簡單的應用問題。

　 深入探討 1.(1)y=x2-6x+10且1x4，求最大值及最小值。

(2)y=x2-4x+3且-5x1，求最大值及最小值。

2. y=2x2-bx+58有最小值8，求b值 二次函數y=-2x2+ax+b且x=1時，y有最大值為3，求a.b之值。

3.對於二次函數y=ax2+bx+c。

若其圖形通過(0，8)，(1，5)，(2，6)三點，求此二次函數。

承題(1)將此二次函數配方成y=p(x+q)2+r，求p+q+r。

承題(2)，若-1x1，室求此二次函數之最小值。

4.請將30分成兩數，使其乘積為最大。

5.把20公分長線段分成兩段，以此兩段為編，做兩正方形，求面積和的最小值。

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