【代數】Field：體 - 筆記

一個Field F 定義在一個集合與兩種運算方式之下，兩種運算分別為加法( + ) 與乘法( * )。

若a, b, c 為F 中的元素，則具有以下性質： 跳到主要內容 【代數】Field：體 取得連結 Facebook Twitter Pinterest 以電子郵件傳送 其他應用程式 2月13,2012 Def：Field一個Field F定義在一個集合與兩種運算方式之下，兩種運算分別為加法(+)與乘法(*)。

若a,b,c為F中的元素，則具有以下性質：1.乘法與加法封閉性與唯一性：a+b與a*b唯一且皆屬於F2.乘法與加法單位元素：0、1屬於F，使得a+0=a且a*1=a3.乘法與加法反元素：任意a皆存在b、c，使得a+b=0、a*c=1，(只有0沒有乘法反元素)4.乘法與加法交換律：a+b=b+a 、 a*b=b*a5.乘法與加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)、(a*b)*c=a*(b*c)6.乘法對加法的分配律：a*(b+c)=ab+acR是一個Field、有理數也是一個Field、Z2：{0,1}，其中1+1=0，其餘運算與與正常運算相同，這也是一個Field。

經由加法與乘法反元素，可以定義減法與除法為與反元素相加或相乘。

#### Thm：消去律對任意a,b,c屬於F(1)若a+b=c+b，則a=c(2)若a*b=c*b，且b不等於0，則a=c由反元素、結合律即可證出corollary：由此定理可證出加法及乘法單位元素唯一。

Thm 若a,b為FieldF中的元素，則具有以下性質：(1)a*0=0(2)(-a)*b=a*(-b)=-(a*b)(3)(-a)*(-b)=a*b其中(1)可利用0+0=0與消去律證得，(2)則是各自檢驗前兩項符合a*b的反元素，(3)可由(2)證得。

Characteristic在上方Z2的例子中，可以發現有一些Field具有循環的特質。

即其乘法單位元素1，在連加p次之後，其總和會是0，對於一個Field，我們把最小的p稱為這個Field的 Characteristic ，而若是沒有任何正整數p可以符合，則稱這個Field的 Characteristic為0。

我們可以發現，若一個Field的 Characteristic為p則該Field中任意元素連加p次，其結果也會是0! 代數 線性代數 取得連結 Facebook Twitter Pinterest 以電子郵件傳送 其他應用程式 留言 這個網誌中的熱門文章 【線性代數】線性組合 3月21,2012 Def：linearcombination若向量空間V中的元素v，可由V的子集合S之元素 ui 表達為：v=a1u1+a2u2 +...+ anun 那麼我們說v是 u1,u2,...,un的一個線性組合(linearcombination)，而稱 a1, a2,..., an為這個線性組合之係數(coefficients)。

我們所關注的問題是：一個向量是否可被寫成某些向量的線性組合。

若是可以，要怎麼做。

我們可以發現，這個問題就等同於要我們找出對應的係數，因此我們將係數設為未知數，藉由對照等式的兩端，我們得到一個線性方程組，因此，尋找線性組合的問題就被簡化為：解出線性方程組(linearequation)。

閱讀完整內容 【線性代數】subspaces：子向量空間 2月15,2012 Def：subspaces子向量空間若W為向量空間V(F)的子集合，且其運算方式與V相同，若W也是一個向量空間，則我們稱W為V的子空間。

(ps. V(F)表示V定義在FieldF上。

)因此要證明W是一個子空間，就必須證明他是一個向量空間，但因為W已經是V的子集合，因此顯然有許多性質不需再被檢驗，例如交換律、結合律等對V中所有向量皆適用的性質。

因此若已知【W為V的子集合】，且【運算的定義相同】，要證明W為V的子空間，只需檢驗以下性質即可：(a)向量加法封閉性(b)係數積封閉性(c)加法單位元素：零向量存在(d)每一個向量的加法反元素存在####其中(c)可以利用消去律證明該零向量與V中的零向量是同一個。

且其中(d)其實是可以省略的，這是因為係數積封閉性的緣故。

因為係數來自一個Field，而Field必定包含1這個係數(乘法單位元素)，且同時包含1的反元素-1，這麼一來，根據係數積封閉性，若x為W中的一個向量，則-x也必定會存在於W之中。

問：既然如此，為什麼在向量空間的定義中不也省略反元素這一項？若是不在向量空間的定義中定義反元素，將會造成許多問題。

雖然每個x可以經由係數積的封閉性造出-x，然而x+(-x)=0x卻是未被定義的！回頭看看向量空間的定理，0x=0是由消去律所證出來的，然而消去律卻是由反元素性質所證明！也就是說，若是不去定義反元素，我們可能無法僅僅由其他定義證出消去律，而隨著消去律而來的許多有用性質也會跟著付之一炬。

其實在向量空間的條件中定義反元素時，不僅是讓每一個向量都對應到一個反元素，也同時在每一個向量與零向量之間形成連結，在定義了反元素之後，零向量才有其用武之處，零向量與反元素其實是一體兩面啊！回過頭來看子空間的情形，可以發現上述的問題不會發生，因為子空間包含於向量空間之內，而在向量空間之中是可以使用消去律及其他定理的，因此x+(-x)=0x 不會陷入未定義的窘境。

Thm：在同一個向量空間中，任意子空間的交集都會是一個子空間。

這個定理可以輕易獲得證明，若現在有兩個子空間V、W，兩子空間皆包含零向量，因此其交集也必包含零向量 閱讀完整內容 【線性代數】Vectorspaces：向量空間 2月14,2012 向量空間：向量空間由兩個集合：V、F，兩種運算方式：【向量加法】、【係數積】構成。

 V：該空間中所有向量的集合 F：可作用於向量上之係數所形成之Field 向量加法：由V中兩個元素對應至V中另一元素的運算 係數積：由F中一元素與V中一元素對應至V中一元素之運算向量空間中的向量加法與係數積，與一般算術之加法與乘法不一樣，向量加法牽涉到方向的相加(牽涉到順序)，而係數積則是一個外在的係數乘以向量，並非兩個向量相乘，因此在向量空間中需要另外一個由係數構成的集合F。

####Def：vectorspace( 向量空間)一個定義在Field F、向量加法及係數積之上的向量空間V具有以下性質：(其中a,b,c屬於F，x,y,z屬於V)1.加法封閉性：向量x+y屬於V2.加法單位元素：V裡頭存在0向量，使得x+0=x3.加法反元素：對任意向量x都可以找到一個y，使得x+y=04.加法交換律：x+y=x+y5.加法結合律：x+(y+z)=(x+y)+z6.係數積封閉性：向量ax屬於V7.係數積單位元素：對於任意x，1x=x8.係數積結合律：(ab)x=a(bx)9.係數積分配律：a(x+y)=ax+ay10.係數運算的分配律：(a+b)x=ax+bx為什麼沒有係數積反元素？加法反元素之結構為，一個向量，加上反元素(向量)之後，變成加法單位元素0向量。

對應至係數積，我們期待係數積反元素之結構為：一個係數，與係數積反元素做運算後，變成係數積單位元素1。

然而這並沒有意義，因為這樣的結構已經包含在F這個Field之中了，也就是說，定義向量空間時，其實已同時為係數的集合內定了一個結構，因此係數本身即具有加法與乘法，及其他Field之性質，然而這與整個向量空間的關係不大，我們只需要保證這些係數在與向量們作用時不會出問題就好，因此我們有8.10.項，確保係數間的運算，在係數積的運算中能保持一致。

n-tuple：(a1,a2,...,an) 閱讀完整內容 Kevin 瀏覽簡介 封存 2015 1 十二月 1 2014 1 一月 1 2013 8 六月 2 五月 2 三月 2 一月 2 2012 27 十二月 2 十一月 2 五月 1 四月 3 三月 9 二月 7 【離散數學】Graphmodels 【線性代數】對角化(一) 【線性代數】課堂筆記(一) 【線性代數】Matrix：矩陣 【線性代數】subspaces：子向量空間 【線性代數】Vectorspaces：向量空間 【代數】Field：體 一月 3 顯示更多 顯示較少 標籤 代數 生活 向量空間 高等微積分 資訊工程 線性代數 離散數學 homomorphisms isomorphism kernel 檢舉濫用情形