域Field - 尼斯的靈魂

域Field. 域是一種具有加減乘除的一個集合，你可以把他想成是某一種數 ... 代數有趣的地方就是在於希望把極為抽象的數學概念變成你平常熟悉的概念。

跳至內容區 域是一種具有加減乘除的一個集合，你可以把他想成是某一種數所成的集合。

這裡的除法指的並不是歐幾里得長除法，指的是“當不為零的時候，你可以定義出的倒數“。

當然這個集合裡面要有乘法單位元這個元素才能夠談是甚麼。

同時我們希望這集合的運算是可換的:如果則 (1)加法是可交換的 (2)乘法是可換的。

在中小學的時，一個數的倒數怎麼定義呢?就是方程的解。

你也可以把他想成是"等分"問題。

例如你想把1分成4等份，那麼每一個等份就等於。

而方程的解就給出了的定義。

如果是整數，那麼把分成等份的概念就定義出。

但實際上有兩個問題值得我們去思考 (1)為什麼有解? (2)為什麼解唯一呢? 只有解唯一的情況下，才有意義。

首先，我們來看看一個不比較不那麼顯然的例子 在整數集合上我們定義一個等價關係。

我們說如果與被除之後具有相等的餘數。

我們記的等價類為，所有的等價類集合我們記為接著我們來看時的例子。

任何一個整數被除之後餘數只有種可能性，。

則 且 所以我們可以在上面定義加法與乘法。

例如,,, 由於就像是我們一般學到的一樣，因為任何中的數乘上之後會得到原本的數。

問題來了，我們希望在解方程。

當然不等於所以當時這個方程自然沒解，當不等時，。

但此時具有唯一解(如果，不等於)。

所以，(看起來很像廢話的東西，但一點都不顯然喔!)。

Field裡面的元素組成可能很複雜。

但不管元素組成怎樣，你就是把他當"數"來用。

所謂的同構的概念就是你希望把很複雜的東西想像成你能夠理解的東西，彼此之間有個一一對應的關係，並且其代數結構是保持的。

例如考慮集合，就是歐氏平面。

令 ， 記那麼就是一個具有體(field)的結構的集合(就是裡面的點有加法有乘法)這個field是甚麼呢?就是複數。

把向量“看成"，把看成，那麼。

歐式平面就具有數的結構了!並且。

把你不懂的東西變成你懂的東西，就是同構的概念。

只是你再轉換成你熟悉的東西的時候，你希望某些運算是保持的。

例如乘法，向量係數積，向量加法等等，這種轉換的關係就叫同態(homomorphism) 如加法的同態: 如乘法的同態: 你隨便取個集合你定義乘法與加法如下 ,,,,, 真是太抽象了，不知道在寫甚麼鬼。

沒關係，我們可以把他變成我們知道的!定義函數如下:且。

則是一個一一對應並且滿足 與 你把抽象的與變成你知道的,，並且定義在上面的運算結構跟一模一樣!就是所謂的同構啦! 如果你考慮抽象的向量空間，至多二次的多項式所成的集合。

這真是太抽象了，甚麼鬼向量空間?你可以這樣定義: 你就會大叫:Jack這真是神奇了。

我把不懂得變成我懂的呀。

這就是同構能帶給你的。

儘管你學了極高深的數學，你永遠都在找同構，因為你要把你所不懂的，變成你懂的東西。

代數有趣的地方就是在於希望把極為抽象的數學概念變成你平常熟悉的概念。

就像是說，你知道的排列是長怎樣。

例如排任意座位。

就像是有限群的定理，任何一個有限群都可以視為某個的子群一樣。

他就是要跟你講，即使你有很抽象的東西，你也可以把他變得很具體的。

只是有時候把東西變抽象有他的好處。

你可以看到你想研究的東西所內涵的特質。

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