子集是一個數學概念 - 華人百科

中文名稱子集外文名稱Subset分類數學表達式A⊆B. ... 基本定義. 對于兩個非空集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們就說A ⊆ B(讀作A包含于B)，或B ... 子集子集是一個數學概念，如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素（任意a∈A則a∈B），那麽集合A稱為集合B的子集（subset）。

中文名稱子集外文名稱Subset分類數學表達式A⊆B​基本定義對于兩個非空集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們就說A⊆B(讀作A包含于B)，或B⊇A(讀作B包含A)，稱集合A是集合B的子集。

規定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.空集的子集是它本身。

如果A⊆B，而集合B中至少有一個元素不屬于集合A，則稱集合A是集合B的真子集。

任何一個集合是它本身的子集.集合的包含關系和實數的大小關系有相似之處,記號⊆和≦有相似之處,開口指向"較大的一邊"基本性質命題1：空集是任意集合的子集。

證明：給定任意集合A，要證明Φ是A的子集。

這要求給出所有Φ的元素是A的元素；但是，Φ沒有元素。

對有經驗的數學家們來說，推論"Φ沒有元素，所以Φ的所有元素是A的元素"是顯然的；但對初學者來說，有些麻煩。

因為Φ沒有任何元素，如何使"這些元素"成為別的集合的元素？換一種思維將有所幫助。

為了證明Φ不是A的子集，必須找到一個元素，屬于Φ，但不屬于A。

因為Φ沒有元素，所以這是不可能的。

因此Φ一定是A的子集。

這個命題說明：包含是一種偏序關系。

命題2：若A，B，C是集合，則：自反性:A⊆A反對稱性:A⊆B且B⊆A當且僅當A=B傳遞性:若A⊆B且B⊆C則A⊆C這個命題說明：對任意集合S，S的冪集按包含排序是一個有界格，與上述命題相結合，則它是一個布爾代數。

命題3：若A，B，C是集合S的子集，則：存在一個最小元和一個最大元：Φ⊆A⊆S(thatΦ⊆AisProposition1above.)存在並運算:A⊆A∪B若A⊆C且B⊆C則A∪B⊆C存在交運算:A∩B⊆A若C⊆A且C⊆B則C⊆A∩B這個命題說明：表述"A⊆B"和其他使用並集，交集和補集的表述是等價的，即包含關系在公理體系中是多餘的。

命題4:對任意兩個集合A和B，下列表述等價：A⊆BA∩B=AA∪B=BA−B=B′⊆A′相關例子我們知道，任何一個正整數都是自然數。

就是說，正整數集E的任何一個元素都是自然數集N的一個元素。

對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，那麽集合A叫做集合B的子集。

記作：A⊆B子集　讀作“A包含于B”（或B包含A）。

例如，上述的如果A是B的子集，但A中至少有一個元素不屬于B，那麽A就不是B的真子集，可記作讀作“A不包含于B”（或“B不包含A”）。

註意事項談起子集，特別要註意的是空集.記住空集是任何集合的子集，而不是任何集合的真子集,如空集就不是空集的真子集,因為真子集的定義，如果A真包含于B，那麽至少存在一個元素屬于B，卻不屬于A，所以空集不符合。

故空集是任何非空集合的真子集。

子集如果一個集合的元素有n個，那麽它的子集有2的n次方個（註意空集的存在），.非空子集有2的n次方減1個，真子集有2的n次方減1個，非空真子集有2的n次方減2個。

相關詞條空集補集並集非空真子集描述法∈數學集合集合論實數集實數有限集合包含非負整數集值域有理數集有理數復數整數開集非負整數質數正整數指數函式浮點數定義域奇偶性外切相關搜尋真子集經史子集非空真子集快樂王子集非空子集辣子雞椰子雞重慶辣子雞劉子驥其它詞條EasyLoveGOGOstop克里米亞戰爭八極拳軍銜劉威垃圾食品大江戶溫泉物語射箭平底鞋總參謀長李斯氟乙酸甲酯愛玩咖牡丹園研究祭十二郎文秘密天使自在生活子集@華人百科子集