康托爾集- 維基百科，自由的百科全書

在數學中，康托爾集，由德國數學家格奧爾格·康托爾在1883年引入（但由亨利·約翰·斯蒂芬·史密斯（英語：Henry John Stephen Smith）在1875年發現），是位於一條線段上的一些 ... 康托爾集 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 一種像康托爾集圖案的柱頭。

Jollois,Jean-BaptisteProsper;Devilliers,Edouard,Descriptiond'Egypte,Paris:ImprimerieImperiale,1809-1828 請檢查|date=中的日期值(幫助)菲萊島雕塑 在數學中，康托爾集，由德國數學家格奧爾格·康托爾在1883年引入[1][2]（但由亨利·約翰·史蒂芬·史密斯（英語：HenryJohnStephenSmith）在1875年發現[3][4][5][6]），是位於一條線段上的一些點的集合，具有許多顯著和深刻的性質。

通過考慮這個集合，康托爾和其他數學家奠定了現代點集拓撲學的基礎。

雖然康托爾自己用一種一般、抽象的方法定義了這個集合，但是最常見的構造是康托爾三分點集，由去掉一條線段的中間三分之一得出。

康托爾自己只附帶介紹了三分點集的構造，作為一個更加一般的想法——一個無處稠密的完備集的例子。

目次 1康托爾集的構造 2參見 3註釋 4參考文獻 5外部連結 康托爾集的構造[編輯] 康托爾集是由不斷去掉線段的中間三分之一而得出。

首先從區間 [ 0 , 1 ] {\displaystyle\left[0,1\right]} 中去掉中間的三分之一 ( 1 3 , 2 3 ) {\displaystyle\left({\frac{1}{3}},{\frac{2}{3}}\right)} ，留下兩條線段： [ 0 , 1 3 ] ∪ [ 2 3 , 1 ] {\displaystyle\left[0,{\frac{1}{3}}\right]\cup\left[{\frac{2}{3}},1\right]} 。

然後，把這兩條線段的中間三分之一都去掉，留下四條線段： [ 0 , 1 9 ] ∪ [ 2 9 , 1 3 ] ∪ [ 2 3 , 7 9 ] ∪ [ 8 9 , 1 ] {\displaystyle\left[0,{\frac{1}{9}}\right]\cup\left[{\frac{2}{9}},{\frac{1}{3}}\right]\cup\left[{\frac{2}{3}},{\frac{7}{9}}\right]\cup\left[{\frac{8}{9}},1\right]} 。

把這個過程一直進行下去，其中第 n {\displaystylen} 個集合為： C n − 1 3 ∪ ( 2 3 + C n − 1 3 ) . {\displaystyle{\frac{C_{n-1}}{3}}\cup\left({\frac{2}{3}}+{\frac{C_{n-1}}{3}}\right).} 康托爾集就是由所有過程中沒有被去掉的區間 [ 0 , 1 ] {\displaystyle[0,1]} 中的點組成。

下面的圖顯示了這個過程的最初六個步驟。

有些學術論文詳細描述了康托爾集的明確公式。

[7][8] 參見[編輯] 康托爾函數 康托爾立方體（英語：Cantorcube） 謝爾賓斯基地毯 科赫雪花 門格海綿 分形列表（英語：ListoffractalsbyHausdorffdimension） 註釋[編輯] ^GeorgCantor(1883)"Überunendliche,linearePunktmannigfaltigkeitenV"[Oninfinite,linearpoint-manifolds(sets)]，MathematischeAnnalen,vol.21,pages545–591. ^H.-O.Peitgen,H.Jürgens,andD.Saupe,ChaosandFractals:NewFrontiersofScience2nded.(N.Y.,N.Y.:SpringerVerlag,2004),page65. ^HenryJ.S.Smith(1875)「Ontheintegrationofdiscontinuousfunctions.」ProceedingsoftheLondonMathematicalSociety,Series1,vol.6,pages140–153. ^「康托爾集」還由PaulduBois-Reymond發現（1831–1889）。

參見：PaulduBois-Reymond(1880)「DerBeweisdesFundamentalsatzesderIntegralrechnung，」MathematischeAnnalen,vol.16,pages115–128的第128頁的腳註。

「康托爾集」還由VitoVolterra在1881年發現（1860–1940）。

參見：VitoVolterra(1881)「Alcuneosservazionisullefunzionipunteggiatediscontinue」[Someobservationsonpoint-wisediscontinuousfunctions]，GiornalediMatematiche,vol.19,pages76–86. ^JoséFerreirós,LabyrinthofThought:AHistoryofSetTheoryandItsRoleinModernMathematics(Basel,Switzerland:BirkhäuserVerlag,1999),pages162–165. ^IanStewart,DoesGodPlayDice?:TheNewMathematicsofChaos ^MohsenSoltanifar,OnAsequenceofcantorFractals,RoseHulmanUndergraduateMathematicsJournal,Vol7,No1,paper9,2006. ^MohsenSoltanifar,ADifferentDescriptionofAFamilyofMiddle-aCantorSets,AmericanJournalofUndergraduateResearch,Vol5,No2,pp9–12,2006. 參考文獻[編輯] Steen,LynnArthur;Seebach,J.ArthurJr.,CounterexamplesinTopologyDoverreprintof1978,Berlin,NewYork:Springer-Verlag,1995[1978],ISBN 978-0-486-68735-3,MR507446 (Seeexample29). GaryL.WiseandEricB.Hall,CounterexamplesinProbabilityandRealAnalysis.OxfordUniversityPress,NewYork1993.ISBN0-19-507068-2.(Seechapter1). cut-the-knot上的康托爾集 cut-the-knot上的康托爾集與函數 外部連結[編輯] CantorSetsandCantorSetandFunctionatcut-the-knot 閱論編碎形特性 分形維數 Assouad維數（英語：Assouaddimension） 關聯維數（英語：Correlationdimension） 豪斯多夫維數 計盒維數 填充維數（英語：Packingdimension） 拓撲維數 遞歸 自相似 Barnsleyfern（英語：Barnsleyfern）迭代函數系統 巴恩斯利蕨葉（英語：Barnsleyfern） 康托爾集 龍形曲線 科赫雪花 門格海綿 謝爾賓斯基地毯 謝爾賓斯基三角形 空間填充曲線（英語：Space-fillingcurve） T型方間（英語：T-square(fractal)） 魏爾斯特拉斯函數 單峰映象 萊維C形曲線 希爾伯特曲線 奇異吸子 多重分形系統（英語：Multifractalsystem） L系統 分形灌木（英語：Fractalcanopy） H樹 空間填充曲線（英語：Space-fillingcurve） 逃逸時間分形 曼德博集合 朱利亞集合 朱利亞填充集合（英語：FilledJuliaset） 李亞普諾夫分形（英語：Lyapunovfractal） 牛頓分形（英語：Newtonfractal） 燃燒巨輪分形（英語：BurningShipfractal） 三角帽分形（英語：Tricorn(mathematics)） 渲染技術 佛像分形 軌跡陷阱（英語：Orbittrap） Pickover杆（英語：Pickoverstalk） 隨機分形 布朗運動 布朗樹（英語：Browniantree） 布朗馬達 分形地形（英語：Fractallandscape） 擴散限制凝聚（英語：Diffusion-limitedaggregation） 萊維飛行（英語：Lévyflight） 曼德爾盒（英語：Mandelbox） 曼德爾球 逾滲理論 自避行走 學者 格奧爾格·康托爾 費利克斯·豪斯多夫 加斯東·朱利亞（英語：GastonJulia） 海里格·馮·科赫 保羅·皮埃爾·萊維 亞歷山大·李亞普諾夫 本華·曼德博 劉易斯·弗雷·理查森（英語：LewisFryRichardson） 瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基 其他相關 「《英國的海岸線有多長？統計自相似和分數維度》」 海岸線悖論（英語：Coastlineparadox） 以豪斯多夫維數排列的分形列表（英語：ListoffractalsbyHausdorffdimension） 《分形之美（英語：TheBeautyofFractals）》(1986) 分形藝術（英語：Fractalart） 《混沌學傳奇（英語：Chaos:MakingaNewScience）》(1987) 《大自然的分形幾何學（英語：TheFractalGeometryofNature）》(1982) 分形壓縮 仿射變換 閱論編點集拓撲系列基本概念連續函數 ·同胚 ·子空間 ·積空間 ·商空間 ·序空間 鄰域 ·內部 ·邊界 ·外部 ·極限點 ·孤點 基 ·鄰域系統 ·開集 ·閉集 ·閉開集 ·稠密集 ·無處稠密集 ·閉包拓撲空間實數線 ·離散空間 ·密著拓撲 ·餘有限空間 ·下限拓撲 ·康托爾集 · 有限拓撲空間 ·緊緻開拓撲連通空間連通空間 ·局部連通空間 ·道路連通空間 ·單連通 ·N-連通 ·不可約空間緊空間可數緊 ·序列緊 ·聚點緊 ·局部緊一致空間一致同構 ·一致性質 ·一致收斂 ·一致連續可數性公理第一可數 ·第二可數 ·可分空間 ·林德勒夫空間分離公理柯爾莫果洛夫空間 ·T1空間 ·豪斯多夫空間 ·正則空間 ·吉洪諾夫空間 ·正規空間定理 波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理 海涅-博雷爾定理 貝爾綱定理 吉洪諾夫定理 烏雷松引理 烏雷松度量化定理 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=康托尔集&oldid=68085291」 分類：測度論拓撲空間分形隱藏分類：引文格式1錯誤：日期使用ISBN魔術連結的頁面 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 已展開 已摺疊 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 已展開 已摺疊 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他專案 維基共享資源 其他語言 العربيةБългарскиCatalàکوردیČeštinaDeutschEnglishEsperantoEspañolفارسیSuomiFrançaisעבריתHrvatskiMagyarItaliano日本語Қазақша한국어LatviešuNederlandsPolskiPiemontèisPortuguêsRomânăРусскийSrpskohrvatski/српскохрватскиSimpleEnglishSlovenščinaСрпски/srpskiSvenskaไทยУкраїнська 編輯連結