空集是一切集合 - 中文百科知識

空集不是無；它是內部沒有元素的集合，而集合就是有。

這通常是初學者的一個難點。

將集合想像成一個裝有其元素的袋子的想法或許會有幫助；袋子可能是空的，但袋子本身 ... 空集 空集的定義：不含任何元素的集合稱為空集。

空集的性質：空集是一切集合的子集。

空集是任何非空集合的真子集。

基本信息中文名：空集英文名：emptyset類別：數學符號符號：Ø表示方法空集表示方法：用符號Ø(註：Ø(念oe)為拉丁字母，區別於希臘字母Φ(念fi))或者{}表示。

注意：{Ø}為有一個Ø（oe）元素的集合，而不是空集。

舉例當兩圓相離時，它們的公共點所組成的集合就是空集；當一元二次方程的根的判別式值小於0時，它的實數根所組成的集合也是空集。

常見問題空集不是無；它是內部沒有元素的集合，而集合就是有。

這通常是初學者的一個難點。

將集合想像成一個裝有其元素的袋子的想法或許會有幫助；袋子可能是空的，但袋子本身確實是存在的。

有些人會想不通上述第一條性質，即空集是任意集合A的子集。

按照子集的定義，這條性質是說{}的每個元素x都屬於A。

若這條性質不為真，那{}中至少有一個元素不在A中。

由於{}中沒有元素，也就沒有{}的元素不屬於A了，得到{}的每個元素都屬於A，即{}是A的子集。

公理集合論在諸如策梅羅-弗蘭克爾集合論的公理集合論中，空集的存在性是由空集公理確定的。

空集的唯一性由外延公理得出。

使用分離公理，任何陳述集合存在性的公理將隱含空集公理。

例如：若A是集合，則分離公理允許構造集合B={xinA|x≠x}，它就可以被定義為空集。

空集的運算空集（作為集合）上的運算也可能使人迷惑。

（這是一種空運算。

）例如：空集元素的和為0，而它們的積為1（見空積）。

這可能看上去非常奇怪，空集中沒有元素，最終，這些運算的結果更多被看成是運算的問題，而不是空集的。

比如，可以注意到0是加法的單位元，而1是乘法的單位元。

範疇論若A為集合，則恰好存在從{}到A的函式f，即空函式。

結果，空集是集合和函式的範疇的唯一初始對象。

空集只能通過一種方式轉變為拓撲空間，即通過定義空集為開集；這個空拓撲空間是有連續映射的拓撲空間的範疇的唯一初始對象。

空集是任何非空集合的真子集。

Ø只有一個子集，沒有真子集。

{Ø}有兩個子集，一個是Ø一個是它本身。

定義：不含任何元素的集合稱為空集。

A={1,2,3,4,5}B={1,3,5}c={5,4,3,2,1}例如，“B是A的子集”，意思是B的任何一個元素都是A的元素，即由任一，可以推出，但不能把B是A的子集解釋成B是由A中部分元素所組成的集合．因為B的子集也包括它本身，而這個子集是由B的全體元素組成的．空集也是B的子集，而這個集合中並不含有B中的元素．由此也可看到，把B是A的真子集解釋成B是由A的部分元素組成的集合也是不確切的．正確的說法應該把真子集的兩個特徵：“B是A的子集”和“A中至少有一個元素不屬於B都指出．“空集是任何集合的子集”這句話是正確的，但是把空集說成是任何集合的真子集就不確切．因為空集是它本身的子集．正確的說法是“空集是任何非空集合的真子集”．總之，對於概念的解釋，語言表達必須確切．再如，“AB是A在全集B中的補集”，不能把它簡單地說成AB是A的補集，因為補集的概念是相對而言的，集合A在不同的全集中的補集是不同的，所以在描述補集概念時，一定要註明是在哪個例如，屬於符號“∈”、不屬於符號“∉”，它們只能用在元素與集合符號之間；包含於（被包含）符號“⊆”、包含符號“⊇”，它們只能用在兩個集合符號之間．對此，必須引起學生充分注意，不能用錯，不要出現把a∈{a}表示成a⊆{a}，或a⊇{a}之類的錯誤。

又如，{0}是含有一個元素的集合，Ø是不含任何元素的集合，因此，有Ø⊆{0}，不能寫成Ø={0}或Ø∈{0}。

關於子集與真子集的記法，教科書中採用的是新的國家標準，與原教科書不盡相同，應該注意。

關於補集，新的國家標準規定，集合A中子集B的補集或余集記為CB，如果行文中集合A已經很明確，則常常可以省去符號A，而記為CB。

集合中的補集，簡單的說集合A的補集是沒有意義的。

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