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在抽象代数中，體（德語：Körper，英語：Field）是一种集合，在這個集合中可以對集合的非零元素進行加減乘除，其運算的定義與行為就如同有理數還有實數一樣。

體(數學) 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 「體」的各地常用別名中國大陸域港臺體[1] 在抽象代數中，體（德語：Körper，英語：Field）是一種集合，在這個集合中可以對集合的非零元素進行加減乘除，其運算的定義與行為就如同有理數還有實數一樣。

體的概念是數體以及四則運算的推廣。

因此體是一個廣泛運用在代數、數論還有其他數學領體中的代數結構。

體是環的一種。

體和一般的環的區別在於體要求它的非零元素可以進行除法運算，這等於說每個非零的元素都要有乘法反元素。

體中的運算關於乘法是可交換的。

若乘法運算沒有要求可交換則稱為除環（divisionring）或skewfield。

最有名的體結構的例子就是有理數體、實數體還有複數體。

還有其他形式的體，例如有理函數體、代數函數體、代數數體、p進數體等，都很常在數學的領體中被使用或是研究，特別是數論或是代數幾何。

此外還有一些密碼學上的安全協定都是依靠著有限體。

在兩個體中的關係被表示成體擴張的觀念。

Galois理論，由ÉvaristeGalois在1830年代提出，致力於理解體擴展的對稱性。

其中Galois理論還有其他結果，解決了不能用尺規作圖做出三等份角以及化方為圓的問題。

此外，還解決了五次方程式不能有公式解的問題。

目次 1定義 1.1定義1 1.2定義2 1.3定義3 2例子 3基本性質 4有限體 5歷史 6建構體 7伽羅瓦理論 8體的不變量 9應用 10參見 11參考文獻 定義[編輯] 非正式的講，體是種集合，集合中的元素可以做兩種運算，"加法"： a + b {\displaystylea+b} 和"乘法"： a ⋅ b {\displaystylea\cdotb} ,且要求集合中任意元素 a {\displaystylea} 有加法反元素 − a {\displaystyle-a} ，對所有非零元素 b {\displaystyleb} 有乘法反元素 b − 1 {\displaystyleb^{-1}} ，這種性質讓我們可以用以下方法來定義加法和乘法的"反運算"，減法： a − b {\displaystylea-b} 和除法 a / b {\displaystylea/b} a − b = a + ( − b ) {\displaystylea-b=a+(-b)} a / b = a ⋅ b − 1 {\displaystylea/b=a\cdotb^{-1}} 定義1[編輯] 體是交換性除環。

定義2[編輯] 體是一種交換環(F,+,*)，當中加法單位元素（0）不等於乘法單位元素（1），且所有非零元素有乘法反元素。

更簡單講就是：體是可交換除環。

定義3[編輯] 體是個集合 F {\displaystyleF} 且帶有加法和乘法兩種運算，這裡「運算」可以想成是種映射，對 ∀ a , b ∈ F {\displaystyle\foralla,b\inF} ，這映射將此兩元素對應到某元素，且這些運算滿足如下性質： 在加法和乘法兩種運算上封閉 ∀ a , b ∈ F {\displaystyle\foralla,b\inF} ， a + b {\displaystylea+b} 和 a ∗ b {\displaystylea*b} ∈ {\displaystyle\in} F（另一種說法：加法和乘法是F上的二元運算）。

加法和乘法符合結合律 ∀ a , b , c ∈ F {\displaystyle\foralla,b,c\inF} ， ( a + b ) + c = a + ( b + c ) {\displaystyle(a+b)+c=a+(b+c)} ， ( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ) {\displaystyle(a*b)*c=a*(b*c)} 加法和乘法符合交換律 ∀ a , b ∈ F {\displaystyle\foralla,b\inF} ， a + b = b + a {\displaystylea+b=b+a} ， a ∗ b = b ∗ a {\displaystylea*b=b*a} 符合乘法對加法的分配律 ∀ a , b , c ∈ F {\displaystyle\foralla,b,c\inF} ， a ∗ ( b + c ) = ( a ∗ b ) + ( a ∗ c ) {\displaystylea*(b+c)=(a*b)+(a*c)} 存在加法單位 在F中有元素0，使得 ∀ a ∈ F {\displaystyle\foralla\inF} ， a + 0 = a {\displaystylea+0=a} 存在乘法單位 在F中有不同於0的元素1，使得 ∀ a ∈ F {\displaystyle\foralla\inF} ， a ∗ 1 = a {\displaystylea*1=a} 存在加法反元素 ∀ a ∈ F {\displaystyle\foralla\inF} ， ∃ {\displaystyle\exists} − a {\displaystyle-a} 使得 a + ( − a ) = 0 {\displaystylea+(-a)=0} 非零元素存在乘法反元素 ∀ a ∈ F {\displaystyle\foralla\inF} , a ≠ 0 {\displaystylea\neq0} ， ∃ {\displaystyle\exists} a − 1 {\displaystylea^{-\!1}} 使得 a ∗ a − 1 = 1 {\displaystylea*a^{-1}=1} 其中「元素0不同於元素1」的要求排除了平凡的只由一個元素組成的體。

由以上性質可以得出一些最基本的推論： −(a*b)=(−a)*b=a*(−b) a*0=0 如果a*b=0，則要麼a=0，要麼b=0 例子[編輯] 許多常見的數體都是體。

比如說，全體複數的集合 C {\displaystyle\mathbb{C}} 對於加法和乘法構成一個體。

全體有理數的集合 Q {\displaystyle\mathbb{Q}} 也是一個體，它是 C {\displaystyle\mathbb{C}} 的子體，並且不包含更小的子體了。

代數數體：代數數體是有理數體 Q {\displaystyle\mathbb{Q}} 的有限擴張體，也就是說代數數體是 Q {\displaystyle\mathbb{Q}} 上的有限維向量空間。

代數數體都同構於 C {\displaystyle\mathbb{C}} 的子體，並且這個同構保持 Q {\displaystyle\mathbb{Q}} 不變，即這個同構把每個有理數都映射到它自身。

代數數體是代數數論研究的物件。

代數數構成的體：所有的代數數的集合對於加法和乘法構成一個體，記作 Q ¯ {\displaystyle{\overline{\mathbb{Q}}}} 。

Q ¯ {\displaystyle{\overline{\mathbb{Q}}}} 是有理數體 Q {\displaystyle\mathbb{Q}} 的代數閉包（見下）。

Q ¯ {\displaystyle{\overline{\mathbb{Q}}}} 是特徵為零的代數封閉的體的一個例子。

全體實數的集合 R {\displaystyle\mathbb{R}} 對於加法和乘法構成一個體。

實數體是複數體 C {\displaystyle\mathbb{C}} 的子體，也是一個有序體。

後者使得實數體上能夠建立起微積分理論。

所有的實代數數的集合也構成一個體，它是 R {\displaystyle\mathbb{R}} 的一個子體 任意一個有限體的元素個數是一個質數q的乘方，一般記作Fq，就是所謂的伽羅瓦體。

任意一個元素個數是質數q的體都同構於Z/pZ={0,1,...,p − 1}。

令p=2,就得到最小的體：F2。

F2只含有兩個元素0和1，運算法則如下： ⊕ {\displaystyle\oplus} 0 1 0 0 1 1 1 0 ∧ {\displaystyle\land} 0 1 0 0 0 1 0 1 設E和F是兩個體，E是F的子體，則F是E的擴張體。

設x是F中的一個元素，則存在著一個最小的同時包含E和x的F的子體，記作E(x)，E(x)稱作E在F中關於x的單擴張。

比如說，複數體 C {\displaystyle\mathbb{C}} 就是實數體 R {\displaystyle\mathbb{R}} 在 C {\displaystyle\mathbb{C}} 中關於虛數單位i的單擴張 每一個有乘法單位元素的環R都對應著一個包含它的體，稱為它的分式體，記作K(R)。

分式體的具體構造方法是定義類似於最簡分數的等價類，再將環「嵌入」其中（詳見分式體）。

可以證明，K(R)是包含R的「最小」的體。

設F是一個體，定義F(X)是所有以F中元素為係數的分式的集合，則F(X)是F的一個擴張體。

F(X)是F上的一個無窮維的向量空間，這是體的超越擴張的一個例子。

設F是一個體，p(X)是多項式環F[X]上的一個不可約多項式，則商環F[X]/

是一個體。

其中的

表示由p(X)生成的理想。

舉例來說，R[X]/是一個體（同構於複數體 C {\displaystyle\mathbb{C}} ）。

可以證明，F的所有單擴張都同構於此類形式的體。

若V是體F上的一個代數簇，則所有V→F的有理函數構成一個體，稱為V的函數體。

若S是一個黎曼曲面，則全體S→C的亞純函數構成一個體。

由於序數的類不是集合，因此在其上定義的尼姆數不能構成真正的體。

但它滿足體的所有條件，且其任意封閉子集（如小於 2 2 n {\displaystyle2^{2^{n}}} 的所有自然數構成的子集）都是體。

基本性質[編輯] 體F中的所有非零元素的集合（一般記作F×）是一個關於乘法的阿貝爾群。

F×的每個有限子群都是循環群。

若存在正整數n使得0=1+1+...+1（n個1），那麼這樣的n中最小的一個稱為這個體的特徵，特徵要麼是一個質數p，要麼是0（表示這樣的n不存在）。

此時 F {\displaystyleF} 中最小的子體分別是 Q {\displaystyle\mathbb{Q}} 或有限體 F p {\displaystyle\mathbb{F}_{p}} ，稱之為 F {\displaystyleF} 的素體。

一個交換環是體若且唯若它的理想只有自身和零理想。

在選擇公理成立的假設下，對每個體F都存在著唯一的一個體G（在同構意義上），G包含F，G是F的代數擴張，並且G代數封閉。

G稱作由F確定的代數閉包。

在很多情況下上述的同構並不是唯一的，因此又說G是F的一個代數閉包。

有限體[編輯] 有限體是一個體有著有限多個元素，其元素個數也跟體的階數相同，按照體的定義，可以知道 F 2 {\displaystyle\mathbb{F}_{2}} 為最小的有限體，因為根據定義，一個體至少包含兩個元素 1 ≠ 0 {\displaystyle1\neq0} 。

通常來說，最簡單的質數階體，就是 Z / n Z = { 0 , 1 , . . . n − 1 } {\displaystyle\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{0,1,...n-1\}} ，在這個體上的加法與乘法等同於在整數 Z {\displaystyle\mathbb{\mathbb{Z}}} 上的運算，然後除以n，取它的餘數。

這個運算精確的建構了一個體，如果說這個n為質數，通常我們將這個體記作 F p {\displaystyle\mathbb{F}_{p}} 。

如果我們將向量空間 V = F p / m n {\displaystyle{\mathit{V}}=\mathbb{F}_{p}/m^{n}} ，則我們將V稱作有限體向量空間，其中 n = dim ⁡ V {\displaystylen=\dim{\mathit{V}}} ，可知這個向量空間中，有 p n {\displaystylep^{n}} 個元素。

如果我們將有限體放入矩陣，也就是 G L n ( F p ) {\displaystyleGL_{n}(\mathbb{F}_{p})} ，則此矩陣的元素有 ( p n − 1 ) ( p n − p ) . . . ( p n − p n − 1 ) {\displaystyle(p^{n}-1)(p^{n}-p)...(p^{n}-p^{n-1})} 歷史[編輯] 歷史上，三個代數中的學科導引到了體的概念:第一個是解多項式方程式的問題，第二個是代數數論，第三個則是代數幾何的問題。

體的概念始於1770年，由拉格朗日所提出。

拉格朗日他觀察到關於三次方程式的根x1,x2,x3的置換，在以下的表達 (x1+ωx2+ω2x3)3 (其中ω是三次方程式的單位根)只產生兩個值。

在這方向上，拉格朗日概念上的解釋了由希皮奧內·德爾·費羅和弗朗索瓦·韋達的經典解法，其解法藉由簡化三次方程式關於未知x到一個x3的二次方程式。

四次方程式上也和三次方程式一樣有相似的觀察，拉格朗日因此連結的關於體的概念還有群的概念。

數學家范德蒙也同樣在1770年有著更全面的延伸。

建構體[編輯] 伽羅瓦理論[編輯] 請參見伽羅瓦理論 體的不變數[編輯] 應用[編輯] 參見[編輯] 特徵(代數) 環論 體論 有序體 參考文獻[編輯] ^張幼賢等.學術名詞編譯系列叢書-數學名詞(第四版).台北市:國家教育研究院.2014:p149[2019-02-09].ISBN 9789860440454.（原始內容存檔於2020-12-06）（中文（臺灣））. 引文格式1維護：冗餘文本(link) 閱論編抽象代數相關主題代數結構 ·群 ·環 ·體 ·有限體 ·本原元 ·格 ·反元素 ·等價關係 ·代數中心 ·同態 ·同構 ·商結構（商系統） ·同構基本定理 ·合成列 ·自由對象群論群么半群 ·半群 ·阿貝爾群 ·非阿貝爾群 ·循環群 ·有限群 ·單純群 ·半單純群 ·古典群 ·自由群 ·交換子群（交換子） ·冪零群 ·可解群 ·p-群 ·對稱群 ·李群 ·伽羅瓦群子群陪集 ·雙陪集 ·商群 ·共軛類 ·拉格朗日定理 ·西羅定理 ·正規子群 ·群中心 ·中心化子和正規化子 ·穩定子群 ·置換群其他階 ·群擴張 ·群同態 ·群同構 ·群表示 ·群作用 ·波利亞計數定理 ·有限生成阿貝爾群環論環子環 ·整環 ·除環 ·多項式環 ·質環 ·商環 ·諾特環 ·局部環 ·賦值環 ·環代數 ·理想 ·主理想環 ·唯一分解整環 ·群環模深度 ·單模 ·自由模 ·平坦模 ·阿廷模 ·諾特模其他冪零元素 ·特徵 ·完備化 ·環的局部化體論體有限體 ·原根 ·代數閉體 ·局部體 ·分裂體 ·分式環體擴張單擴張 ·有限擴張 ·超越擴張 ·代數擴張 ·正規擴張 ·可分擴張 ·伽羅瓦擴張 ·阿貝爾擴張 ·伽羅瓦理論基本定理 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=域_(數學)&oldid=68953481」 分類：域論環論代數結構隱藏分類：引文格式1維護：冗餘文本含有德語的條目含有英語的條目使用過時的math標籤格式的頁面 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 已展開 已摺疊 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 已展開 已摺疊 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他語言 العربيةБашҡортсаБеларускаяБългарскиবাংলাBosanskiCatalàکوردیČeštinaЧӑвашлаDanskDeutschΕλληνικάEnglishEsperantoEspañolEestiEuskaraفارسیSuomiFrançaisGalegoעבריתहिन्दीHrvatskiMagyarInterlinguaBahasaIndonesiaIdoItaliano日本語한국어LatinaLëtzebuergeschLombardLatviešuBahasaMelayuNederlandsNorsknynorskNorskbokmålPolskiPiemontèisPortuguêsРусскийSicilianuSrpskohrvatski/српскохрватскиSimpleEnglishSlovenčinaСрпски/srpskiSvenskaதமிழ்ไทยTürkçeУкраїнськаاردوTiếngViệt吴语文言Bân-lâm-gú粵語 編輯連結