域(Field) - 阿宗手指簿

數學中的域(Field) 是一種可進行二元運算的基本代數結構，其在執行多個二元運算時，同時需要滿足結合律(Associative law)、交換律(Commutative law)、 ... 2017年9月15日星期五 域(Field) 在討論域(Field)之前，讓我們先來看看什麼是二元運算： 二元運算(Binaryoperation)：令A為一個集合，在A上的一個二元運算是一個函數o:A×A→A。

註1：「集合A上的二元運算」暗示了該二元運算在A上是封閉的(Closed)。

註2：在實數與有理數中，加法、乘法皆為二元運算，即若a及b為有理數(或實數)，其相加(a+b)與相乘(a⋅b)也是有理數(或實數)。

但是乘法在無理數中就不是二元運算；例如，兩個根號相乘可能為有理數，不再是無理數。

數學中的域(Field)是一種可進行二元運算的基本代數結構，其在執行多個二元運算時，同時需要滿足結合律(Associativelaw)、交換律(Commutativelaw)、分配律(Distributivelaw)等運算律。

域的結構被廣泛應用於代數、集合論以及其他數學領域中。

代數的域 域(field)：一個域是一個(F,+,⋅)三元組(tripleor3-tuple)，其中F是一個集合，+和⋅是在F上的二元運算子(分別稱為加法和乘法)；令a,b,c為F的元素，域滿足下列9個稱為域公理(fieldaxioms)的條件： 1.加法和乘法標識(Additiveandmultiplicativeidentity)：   存在0∈F使得a+0=a;存在1∈F使得a⋅1=a. 2.加法反元素(Additiveinverses)：   存在–a∈F使得a+(-a)=0. 3.乘法反元素(Multiplicativeinverses)：   對所有a≠0，存在a-1∈F使得a⋅a-1=1. 4.加法和乘法的結合性(Associativityofadditionandmultiplication)：   a+(b+c)=(a+b)+c,a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c. 5.加法和乘法的交換性(Commutativityofmultiplication)：   a+b=b+a,a⋅b=b⋅a. 6.乘法對加法的分配性(Distributivityofmultiplicationoveraddition)：   a⋅(b+c)=(a⋅b)+(a⋅c) 註1：我們通常稱域F，而不是域(F,+,⋅)。

註2：除了加法和乘法之外，透過加法反元素可以進行減法運算、乘法反元素可以進行除法運算；所以在代數中，域是一種可進行加、減、乘、除四則運算的代數結構(Algebraicstructure)。

集合的域 集合域(Fieldofsets)和抽象代數的域類似，是「集合上的二元運算」，所以也被稱為集合代數(Algebraofsets)；不同的是集合域是由宇集(例如，樣本空間)以及宇集的部份(至少一個)子集合所組成，而且子集合原來就滿足結合律、交換律、分配律等運算律。

設Ω為一非空集合，其冪集P(Ω)的子集F若滿足以下三條件，則稱其為域(Ω,F)： 1.非空集合(Nonemptyset)：   F≠∅. 2.餘集封閉性(Closedundercomplement)：   A∈F⇒AC∈F; 3.交集封閉性(Closedundertheunion)：   A,B∈F⇒A∪B∈F. 註1：我們通常簡稱為域F，而不是域(Ω,F)。

註2：給定集合Ω，其冪集(Powerset)P(Ω)(或作2Ω）是以Ω的全部子集為元素的集合。

例如，在丟擲一枚錢幣2次，觀察其出現正面次數的試驗中，P(Ω)={∅,{0},{1},{2},{0,1},{0,1},{0,2},{1,2}}。

註3：∅,Ω∈F，因為∅∈F⇒∅C=Ω∈F。

註4：透過狄摩根定理(DeMorgan'slaws)在F上的交集、聯集和差集都是二元運算。

註5：A1,A2,…,An∈F，A2,…,An的交集以及聯集也屬於F。

註6：Fi,i∈I為域，則Fi的交集也是域。

σ域(σ-field) σ域或稱為σ代數(σ-algebra)是一個滿足可數聯集封閉性(Closedundercountableunions)的集合域；即σ域是一個域，但是其第3個條件擴充為具有可數聯集封閉性。

設(Ω,Σ)為一域，其中Ω非空宇集，Σ為Ω的冪集P(Ω)的子集，若滿足下列條件，則稱其為σ域： 可數聯集封閉性(Closedundercountableunions)： 如果A1,A2,A3,...∈Σ，則A=A1∪A2∪A3∪...∈Σ. 註1：透過狄摩根定理，σ域也具有可數交集封閉性。

註2：(Ω,Σ)也稱為測量空間(Measurespace)。

例如，在P(Ω)={∅,{0},{1},{2},{0,1},{0,1},{0,2},{1,2}}中，{∅,{0,1,2}}是最小的σ域，{∅,{0,1,2},{0},{1},{2},{0,1},{0,1},{0,2},{1,2}}是最大的σ域。

一個σ域如果包含{0}，則必包含其餘集{1,2}，故該σ域為{∅,{0,1,2},{0},{1,2}}。

同理{∅,{0,1,2},{1},{0,2}}和{∅,{0,1,2},{2},{0,1}}也是一個σ域。

張貼者： MTHsu 於 下午5:13 沒有留言: 張貼留言 較新的文章 較舊的文章 首頁 訂閱： 張貼留言(Atom) 標籤 生活Life (2) 自行車Cycling (1) 程式設計Programming (7) 遊記Travel (2) AWS (1) batchscript (1) DBA (1) Homebrew (5) macOS (3) mediaplayer (1) MIS (15) MySQL (1) PHP (7) Server (2) WebServer (4) Windows (7) 網誌存檔 網誌存檔 四月(1) 三月(6) 十二月(3) 十一月(1) 十月(4) 五月(1) 二月(1) 一月(2) 十一月(3) 九月(3) 八月(2) 七月(1) 一月(1) 十二月(2) 四月(2) 一月(2) 九月(4) 關於我自己 MTHsu 檢視我的完整簡介