輾轉相除法的原理與運用@ 耕圃莘園 - 隨意窩

探討：利用輾轉相除法求最大公因數與最小公倍數： 一、輾轉相除法的原理 (1)若a、b都是自然數，且a＞b，a|b，則(a,b)＝b (2)若a、b都是自然數，且a＞b，b除a的餘數為r ... 耕圃莘園.........................日誌相簿影音好友名片 200707171621輾轉相除法的原理與運用?數學 探討：利用輾轉相除法求最大公因數與最小公倍數： 一、輾轉相除法的原理  (1)若a、b都是自然數，且a＞b，a|b，則(a,b)＝b  (2)若a、b都是自然數，且a＞b，b除a的餘數為r，則(a,b)＝(b,r)    證明：(1)a、b都是自然數，且a＞b，a|b，則存在自然數c使得a＝bc             ∴(a.b)＝(bc,b)＝b          (2)a、b都是自然數，且a＞b，b除以a的於數為r，則存在自然數c使得 a＝bc＋r，則r＝a－bc 令(a,b)＝g，則存在正整數h、k使得a＝gh、b＝gk，(h,k)＝1，  r＝gh－gkc＝g(h－kc) 設(k,h－kc)＝s，則存在正整數w、x使得k＝sw、h－kc＝sx，h＝sx＋kc＝sx＋swc 因此s|(h,k)＝1，故s＝1，(k,h－kc)＝1 (b.r)＝(gk,g(h－kc))＝g＝(a,b)            (2)另証： (i)證明(a,b)|(b,r)  設(a,b)＝g、a＝bc＋r，c為自然數，則g|a且g|b，又r＝a－bc  所以g|a－bc＝r，g|(b,r) (ii)證明(b,r)|(a,b)  設（b,r）＝t、a＝bc＋r，c為自然數，則t|b且t|r，  所以t｜bc＋r，t|a，故t|(a,b) (iii)由（i）和（ii）得到(a,b)|(b,r)且(b,r)|(a,b)，所以(b,r)＝|(a,b)。

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