Set theory (集合論)

像我們可以定義一個set A當中的elements有a、b、c，寫成： $$ A = \{ a, b, ... 如果A有的elements，在B中也有，那我們會說A是B的子集合（subset）：. 首頁 分類 標籤 所有文章 搜尋 關於 GitHub Facebook LinkedIn Email Atom Settheory(集合論) 7月22,2018 分類 Topology 先以集合論開始切入，集合論是以後各門數學相關學科的根基，也就是很多數學的分支都會定義在集合論上。

在數學上，集合就是一群不重複的物件（object）或是元素（element）。

像我們可以定義一個setA當中的elements有a、b、c，寫成： $$ A=\{a,b,c\} $$ 但有時候我們想表達一個set，可是卻無法將裡面的elements一一列出，像是我們定義一個只有偶數的setB，我們會寫成以下的方式： $$ B=\{x\midx\enspaceis\enspaceeven\enspaceinteger.\} $$ 裡頭的$x$代表著一個變數，後面會描述這變數的特質，所以在這邊的描述是$x$是一個偶數，那如果我們收集這樣的變數成為一個集合，我們就有了所有偶數的集合了。

我們在描述element及set的關係的時候會使用屬於，一個elementa屬於setA，則會表示成： Def. $$ a\inA $$ 相對，不屬於則會寫成以下的形式： Def. $$ d\notinA $$ 等於的符號是會視為邏輯上的相等（logicalidentity），如果我們說$a=b$，那麼$a$跟$b$就是兩個完全一樣的東西。

如果是不一樣的東西，則寫成$a\neqb$。

同樣的，集合也可以同等起來，如果我們說$A=B$，就表示$A$跟$B$這兩個集合內的東西完全相同。

如果有一個element不同，則$A\neqB$。

如果$A$有的elements，在$B$中也有，那我們會說A是B的子集合（subset）： Def. $$ A\subseteqB $$ 從定義當中我們無法區分出$A$跟$B$是否相同。

那前面講到的$A=B$也就等同於是$A\subseteqB$及$B\subseteqA$兩者都要成立。

那如果$A\subseteqB$且$A\neqB$，那我們稱A為B的嚴格子集（propersubset）： Def. $$ A\subsetB $$ $\subseteq$及$\subset$關係則分別稱為包含（inclusion）及嚴格包含（properinclusion）。

如果我們有兩個集合$A$跟$B$，如果有一個集合包含了所有$A$和$B$的元素，那我們稱它為$A$和$B$的聯集（union）： Def. $$ A\cupB=\{x\midx\inA\enspaceor\enspacex\inB\} $$ fromWikipedia 如果我們有兩個集合$A$跟$B$，如果有一個集合只包含$A$和$B$的共同元素，那我們稱它為$A$和$B$的交集（intersection）： Def. $$ A\capB=\{x\midx\inA\enspaceand\enspacex\inB\} $$ fromWikipedia 如果一個集合裏面沒有任何元素，那我們定義這樣的集合為空集合（emptyset），$\emptyset$。

若是兩個集合沒有共同的元素，我們會說這兩個集合是互斥的（disjoint）： Def. $$ A\capB=\emptyset $$ fromWikipedia 由於空集合這個概念非常簡單，就是集合內沒有任何元素，我們可以把他跟之前介紹過的概念結合起來。

像是，如果我們讓$x$是某個元素， $$ x\in\emptyset $$ 是不會成立的。

對於任何一個set$A$，我們有 $$ A\cap\emptyset=\emptyset $$ 和 $$ A\cup\emptyset=A $$ 。

包含的關係就有點微妙，像是$\emptyset\subseteqA$，我們會考慮很多的實例，要讓每一個實例都成立，這個式子才算是成立。

不過討論這件事本身就蠻無趣的，他基本上是成立的。

在這邊我們可以再定義新的運算，那就是差集（difference），他的定義如下： Def. $$ A-B=\{x\midx\inA\enspaceand\enspacex\notinB\} $$ fromWikipedia Rules 在集合論中，有些跟我們一般的算術運算很像的性質，像是以下的分配律（distributivelaw）： $$ A\cap(B\cupC)=(A\capB)\cup(A\capC) $$ $$ A\cup(B\capC)=(A\cupB)\cap(A\cupC) $$ 以及狄莫根定律（DeMorgan'slaws）： $$ A-(B\capC)=(A-B)\cup(A-C) $$ $$ A-(B\cupC)=(A-B)\cap(A-C) $$ 我們在緊接著介紹一個有趣的概念，冪集（powerset），$A$的冪集（$\mathcal{P}(A)$）是指所有$A$的子集的所有排列組合所成的集合，像是假設$A=\{1,2,3\}$，那麼$\mathcal{P}(A)=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$。

往後，當我們在描述一個set，他的element也是set的時候，我們會稱他為collectionofsets，並且會以書寫體$\mathcal{A}$、$\mathcal{B}$表示，以示區別。

我們已經定義了任兩個集合的交集跟聯集。

那如果我們想要聯集或是交集任意多數量的集合，$\mathcal{A}$為一collectionofsets，我們可以用以下表示法： $$ \bigcup_{A\in\mathcal{A}}A=\{x\midx\inA,for\enspaceat\enspaceleast\enspaceone\enspaceA\in\mathcal{A}\} $$ 直白的說，就是這個聯集會將在$\mathcal{A}$中，至少出現過一次的$A$，將$A$中的元素$x$都蒐集起來。

$$ \bigcap_{A\in\mathcal{A}}A=\{x\midx\inA,for\enspaceevery\enspaceA\in\mathcal{A}\} $$ 這個交集則是會將在$\mathcal{A}$中，每個$A$，將$A$中都出現的元素$x$蒐集起來。

這些定義都沒什麼大問題。

不過當$\mathcal{A}$是個空的collection的時候就會顯的比較特別，根據字面定義，這個情況下沒有任何人可以符合這樣的定義，所以我們可以說： $$ \bigcup_{A\in\mathcal{A}}A=\emptyset $$ 接下來我們來定義一個重要的東西，笛卡爾積（Cartesianproduct），數學上常常會用這樣的概念來為其他概念下定義，例如空間上的座標位置。

Def. $$ A\timesB=\{(a,b)\mida\inA\enspaceand\enspaceb\inB\} $$ 像是當$A=\{a,b,c\}$，$B=\{1,2\}$，那麼$A\timesB=\{(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)\}$。

這在概念上非常直覺，可以把他想成是在set$A$中的元素跟在set$B$中的元素，拿出來一一做排列組合，所有的排列組合所成的集合就是$A\timesB$。

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