二次方程式- 維基百科，自由的百科全書

1 一元二次方程. 1.1 方程的一般形式; 1.2 求根公式; 1.3 根與係數的關係; 1.4 求根公式的由來; 1.5 對應函數的極值. 2 參見; 3 參考 ... 二次方程式 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 此條目需要補充更多來源。

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二次方程式是一種整式方程式，主要特點是未知項的最高次數是2，其中最常見的是一元二次方程式[1]。

目次 1一元二次方程 1.1方程的一般形式 1.2求根公式 1.3根與係數的關係 1.4求根公式的由來 1.5對應函數的極值 2參見 3參考 一元二次方程式[編輯] 方程式的一般形式[編輯] 一元二次方程式是指只含有一個未知數的二次方程式，它的一般形式為： a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyleax^{2}+bx+c=0\,} ，其中 a ≠ 0 {\displaystylea\neq0} 。

a x 2 {\displaystyleax^{2}\,} 為方程式的二次項， a {\displaystylea\,} 為方程式的二次項係數； b x {\displaystylebx\,} 為一次項， b {\displaystyleb\,} 為一次項係數； c {\displaystylec\,} 為常數項。

若 a = 0 {\displaystylea=0\,} ，則該方程式沒有二次項，即退變為一元一次方程式。

求根公式[編輯] ■ y = 3 2 x 2 + 1 2 x − 4 3 {\displaystyley={\frac{3}{2}}x^{2}+{\frac{1}{2}}x-{\frac{4}{3}}\,} ■ y = − 4 3 x 2 + 4 3 x + 1 3 {\displaystyley=-{\frac{4}{3}}x^{2}+{\frac{4}{3}}x+{\frac{1}{3}}\,} ■ y = x 2 + 1 2 {\displaystyley=x^{2}+{\frac{1}{2}}\,} 一元二次方程式根的判別式為 Δ = b 2 − 4 a c {\displaystyle\Delta=b^{2}-4ac\,} 。

若 Δ > 0 {\displaystyle\Delta>0\,} ，則該方程式有兩個不相等的實數根： x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystylex_{1,2}={\frac{-b\pm{\sqrt{b^{2}-4ac}}}{2a}}\,} ； 若 Δ = 0 {\displaystyle\Delta=0\,} ，則該方程式有兩個相等的實數根： x 1 , 2 = − b 2 a {\displaystylex_{1,2}=-{\frac{b}{2a}}\,} ； 若 Δ < 0 {\displaystyle\Delta<0\,} ，則該方程式有一對共軛複數根： x 1 , 2 = − b ± i 4 a c − b 2 2 a {\displaystylex_{1,2}={\frac{-b\pmi{\sqrt{4ac-b^{2}}}}{2a}}\,} 。

由上可知，在實數範圍內求解一元二次方程式，當 Δ ≥ 0 {\displaystyle\Delta\geq0\,} 時，方程式纔有根（有兩個不等實數根或兩個相等實數根）；當 Δ < 0 {\displaystyle\Delta<0\,} 時，方程式無解。

根與係數的關係[編輯] 更多資訊：韋達定理 設 x 1 {\displaystylex_{1}\,} ， x 2 {\displaystylex_{2}\,} 是一元二次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyleax^{2}+bx+c=0\,} （ a ≠ 0 {\displaystylea\neq0\,} ）的兩根，則 兩根之和： x 1 + x 2 = − b a {\displaystylex_{1}+x_{2}=-{\frac{b}{a}}} 兩根之積： x 1 x 2 = c a {\displaystylex_{1}x_{2}={\frac{c}{a}}} 一元二次方程式 二元二次方程式 高元二次方程式 求根公式的由來[編輯] 中亞細亞的花拉子米(約780-約850)在公元820年左右出版了《代數學》。

書中給出了一元二次方程式的求根公式，並把方程式的未知數叫做「根」，其後譯成拉丁文radix。

我們通常把 x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystylex={\frac{-b\pm{\sqrt{b^{2}-4ac}}}{2a}}} 稱之為 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyleax^{2}+bx+c=0\,} 的求根公式： a x 2 + b x + c = 0 x 2 + b a x + c a = 0 x 2 + b a x + ( b 2 a ) 2 − ( b 2 a ) 2 + c a = 0 ( x + b 2 a ) 2 − b 2 4 a 2 + c a = 0 ( x + b 2 a ) 2 = b 2 4 a 2 − c a ( x + b 2 a ) 2 = b 2 − 4 a c 4 a 2 x + b 2 a = ± b 2 − 4 a c 2 a x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle{\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\x^{2}+{\frac{b}{a}}x+{\frac{c}{a}}&=0\\x^{2}+{\frac{b}{a}}x+\left({\frac{b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac{b}{2a}}\right)^{2}+{\frac{c}{a}}&=0\\\left(x+{\frac{b}{2a}}\right)^{2}-{\frac{b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac{c}{a}}&=0\\\left(x+{\frac{b}{2a}}\right)^{2}&={\frac{b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac{c}{a}}\\\left(x+{\frac{b}{2a}}\right)^{2}&={\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\x+{\frac{b}{2a}}&={\frac{\pm{\sqrt{b^{2}-4ac}}}{2a}}\\x&={\frac{-b\pm{\sqrt{b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}} 或不將 x 2 {\displaystylex^{2}} 係數化為1： a x 2 + b x + c = 0 a x 2 + b x + ( b 2 a ) 2 = ( b 2 a ) 2 − c ( x a + b 2 a ) 2 = ( b 2 a ) 2 − c x a + b 2 a = ± ( b 2 a ) 2 − c x a + b 2 a = ± b 2 4 a − c x + b 2 a = ± b 2 4 a 2 − c a x + b 2 a = ± b 2 4 a 2 − 4 a c 4 a 2 x = − b 2 a ± b 2 − 4 a c 4 a 2 x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle{\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\ax^{2}+bx+\left({\frac{b}{2{\sqrt{a}}}}\right)^{2}&=\left({\frac{b}{2{\sqrt{a}}}}\right)^{2}-c\\\left(x{\sqrt{a}}+{\frac{b}{2{\sqrt{a}}}}\right)^{2}&=\left({\frac{b}{2{\sqrt{a}}}}\right)^{2}-c\\x{\sqrt{a}}+{\frac{b}{2{\sqrt{a}}}}&=\pm{\sqrt{\left({\frac{b}{2{\sqrt{a}}}}\right)^{2}-c}}\\x{\sqrt{a}}+{\frac{b}{2{\sqrt{a}}}}&=\pm{\sqrt{{\frac{b^{2}}{4a}}-c}}\\x+{\frac{b}{2a}}&=\pm{\sqrt{{\frac{b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac{c}{a}}}}\\x+{\frac{b}{2a}}&=\pm{\sqrt{{\frac{b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac{4ac}{4a^{2}}}}}\\x&=-{\frac{b}{2a}}\pm{\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}\\x&={\frac{-b\pm{\sqrt{b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}} 對應函數的極值[編輯] 設 y = a x 2 + b x + c {\displaystyley=ax^{2}+bx+c\,} （ a ≠ 0 {\displaystylea\neq0\,} ）， 對 x {\displaystylex\,} 求導，得 d ⁡ y d ⁡ x = 2 a x + b {\displaystyle{\frac{\mathop{\mbox{d}}y}{\mathop{\mbox{d}}x}}=2ax+b} 令 d ⁡ y d ⁡ x = 0 {\displaystyle{\frac{\mathop{\mbox{d}}y}{\mathop{\mbox{d}}x}}=0} ，得 x = − b 2 a {\displaystyle{\begin{aligned}x&=-{\frac{b}{2a}}\end{aligned}}} 即為 y {\displaystyley\,} 的極值點，該式亦為函數圖形（即拋物線）的對稱軸方程式。

將 x = − b 2 a {\displaystylex=-{\frac{b}{2a}}} 代入 y {\displaystyley\,} ，可得 y = − b 2 − 4 a c 4 a {\displaystyle{\begin{aligned}y&=-{\frac{b^{2}-4ac}{4a}}\end{aligned}}} 即為 y {\displaystyley\,} 的極值。

根據函數取極值的充分條件，即： f ″ ( x ) < 0 {\displaystylef''(x)<0\,} ， x {\displaystylex\,} 是 f ( x ) {\displaystylef(x)\,} 的極大值點， f ″ ( x ) > 0 {\displaystylef''(x)>0\,} ， x {\displaystylex\,} 是 f ( x ) {\displaystylef(x)\,} 的極小值點； 由 d 2 ⁡ y d ⁡ x 2 = 2 a {\displaystyle{\frac{\mathop{\mbox{d}}^{2}y}{\mathop{\mbox{d}}x^{2}}}=2a} ，可知： 當 a < 0 {\displaystylea<0\,} 時（拋物線開口向下）， x = − b 2 a {\displaystylex=-{\frac{b}{2a}}} 為 y {\displaystyley\,} 的極大值點； 當 a > 0 {\displaystylea>0\,} 時（拋物線開口向上）， x = − b 2 a {\displaystylex=-{\frac{b}{2a}}} 為 y {\displaystyley\,} 的極小值點。

參見[編輯] 一次方程式 拋物綫 配方法 圓錐曲線 參考[編輯] ^一般二次方程的讨论.[2012-12-29].（原始內容存檔於2019-07-24）.  閱論編多項式函數 零次函數(常數函數) 一次函數 二次函數 三次函數 四次函數 五次函數 方程式 一次方程式 二次方程式 三次方程式 四次方程式 五次方程式 六次方程式 七次方程式 八次方程式 九次方程式 算法 多項式除法 多項式最大公因子（英語：Polynomialgreatestcommondivisor） 秦九韶算法 結式 判別式 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=二次方程&oldid=63236584」 分類：初等代數方程多項式隱藏分類：自2014年5月需補充來源的條目拒絕當選首頁新條目推薦欄目的條目 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 已展開 已摺疊 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 已展開 已摺疊 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他語言 新增連結