找對稱軸與對稱點的趣味探索@ isdp2008am - 隨意窩

取自影片《新竹遇到愛》的對白一、前言 相信很多人都知道，在坐標平面上二次函數的圖形有一條對稱軸如下： 不過，是否還有其他的對稱軸呢？相信這個問題就比較少人去 ... isdp2008am[交大理學院學士班數學小站]提供對數學有興趣的學生們課堂之外的線上學習園地，本網誌的內容走向希望朝向[數學理論]與[數學應用]兼備，成立目標是希望對數學有興趣的學生們可以在此吸收更多數學相關知識，達成跨領域學習的成效。

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)日誌相簿影音好友名片 201808180409找對稱軸與對稱點的趣味探索?幾何學阿新：「然後你的焦糖瑪奇朵是一百六，那你給我一百五就好了，十塊我出。

」 立愉：「我先走了喔。

」 阿新：「ㄟ不...」 —取自影片《新竹遇到愛》的對白 一、前言     相信很多人都知道，在坐標平面上二次函數的圖形有一條對稱軸如下： 不過，是否還有其他的對稱軸呢？相信這個問題就比較少人去思考與研究了。

    此外，也許有些讀者知道三次函數的圖形上，有一個對稱點 使整個的函數圖形對於點對稱。

不過，上面點的座標究竟是如何求出來的呢？恰好只有𝑃點是這樣子的對稱點嗎？     對於上面兩個關於函數圖形的對稱軸與對稱點的問題，筆者在本文底下的內容當中將介紹相關的參考文章，或直接予以解答。

二、找對稱點     對於函數的函數圖形，我們有時候會想找出其圖形上的一點，使其可成為的函數圖形的對稱點。

意思是，對於位在左右兩邊、同樣位在的函數圖形上的兩點： 其中，我們總有 而的值為何，就要從(1)式中去找。

    這個方法，在[1]文中也有使用上，該文章內容是利用(1)來求出三次函數 的對稱點，所求出的對稱點恰好只有一個，即 這樣，我們就解決了前言中的後兩個問題(藉由[1]文的幫助)。

    除此之外，對於函數，若我們想找出其圖形上的一點，可成為函數圖形的對稱點。

由(1)，可知對於位在左右兩邊、位在的函數圖形上的兩點：   滿足 將上式移項後，利用函數的和差角公式推導如下 因為對於任何，均有，可知(3)可化簡為 對於(4)，只要取，其中為整數，即可知，此時由(4)可知 而滿足(5)的解為，其中為整數。

    因此，函數圖形上的對稱點有無窮多個，其形式均可寫為 其中為整數。

    找出了函數圖形上的對稱點之後，我們不妨來找找看函數圖形上的對稱點。

假設落在的函數圖形上的點是的函數圖形的對稱點，則對於底下兩點： 將滿足 將上式移項後，利用函數的和差角公式推導如下： 對於(6)，只要取，其中為整數，即可知，此時由(6)可知 而滿足(7)的解為，其中為整數。

    因此，函數圖形上的對稱點有無窮多個，其形式均可寫為 其中為整數。

這剛好與函數圖形上的對稱點完全一樣，為何如此呢？有興趣的讀者不妨想想看。

三、找對稱軸     若想找出與對稱點最相關的一個名詞，相信許多人會想到對稱軸。

不少人應該知道，奇函數是具有「圖形上的」對稱點的函數，偶函數是具有對稱軸的函數。

為何前者要加上「圖形上的」這四個字呢？一個簡單的例子，只要看看圓，它的圖形也有一個對稱點，那就是圓心，但圓心並不在「圓上」。

    對於函數的函數圖形，有時候我們會想找出座標平面上的一條鉛直線，使其可成為的函數圖形的對稱軸。

意思是，對於位在直線左右兩邊、位在的函數圖形上的兩點： 其中，我們總有 而的值為何，就要從(8)式中去找。

    比如說，對於前言中提到的二次函數，我們想找出平面上的一條直線，可成為函數圖形的對稱軸。

由(8)可知滿足 上式可化簡為 對於(10)，只要取，此時由(10)可知 因此，函數只有一條對稱軸，那就是    找出了函數圖形上的對稱軸之後，我們不妨來找找看函數圖形的對稱軸。

假設直線是函數圖形的對稱軸，由(7)可知 對於(11)，只要取，其中為整數，即可知，此時由(11)可知 而滿足(12)的解為 其中為整數。

因此，函數圖形的對稱軸有無窮多條，可寫為 其中為整數。

四、結語     本文寫作的緣起，是因為筆者自己透過方法(1)，對三次函數(2)的圖形求出了函數圖形上的對稱點，不過上網搜尋之後，發現[1]文的作者早已經使用同樣的方法算出了同樣的結果。

因此，便想藉這個機會，分享自己對其他函數求對稱點的結果，即第二節的內容。

    知道如何求出函數圖形上的對稱點之後，筆者想順便分享對函數圖形求對稱軸的結果，因此寫成了第三節的內容。

本文的內容都很簡單，只是想介紹兩個簡單的方法，來找函數圖形的對稱點與對稱軸。

    不過，對於無法寫成函數形式的圖形，也許上面的方法就不適用了。

無論如何，希望讀者喜歡本文所介紹的內容，至於文章開頭所分享的兩句對白，請參考[2]。

   參考資料 1.陳威任,對高一學生談三次多項式函數的性質,刊登於數學傳播37卷4期。

http://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d374/37405.pdf 2.新竹遇到愛，新竹市政府宣傳片 https://www.youtube.com/watch?v=w8i4mKYWWe4 (本文作者：連威翔，曾任職於交大理學院科學學士班) isdp2008am/Xuite日誌/回應(0)/引用(0)沒有上一則|日誌首頁|沒有下一則回應 加我為好友日誌相簿影音 我的相簿 isdp2008am's新文章有用連結UsefulLinks披著對數律運算(外衣)的一道因倍數問題的另解一定要使用遞迴數列的方法求解嗎？關於數字33…3平方之表達式的另證藥師輪值排班問題的另解也是巧算123456789×8+9？一定要使用降冪函數不等式來求解嗎？雙殺數據是否有誤呢？一道可使用泰勒級數求解的問題一個四面體體積的試算與驗證兩道有趣的國中會考問題 全部展開|全部收合 關鍵字 isdp2008am's新回應沒有新回應！