等差数列- 维基百科，自由的百科全书

等差数列，又名算术数列（英文：arithmetic sequence 或arithmetic progression），是数列的一种。

在等差数列中，任何相邻两项的差相等，该差值称为公差（common ... 等差數列 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 等差數列，又名算術數列（英文：arithmeticsequence或arithmeticprogression），是數列的一種。

在等差數列中，任何相鄰兩項的差相等，該差值稱為公差（commondifference）。

例如數列： 3,5,7,9,11,13,... 就是一個等差數列。

在這個數列中，從第二項起，每項與其前一項之公差都等於2。

目次 1性質 2等差數列和 3等差數列的一些其他性質 4等差數列積 5參見 6參考文獻 性質[編輯] 如果一個等差數列的首項記作a，公差記作d，那麼該等差數列第n項an的一般項為： a n = a + ( n − 1 ) d {\displaystylea_{n}=a+(n-1)d} 換句話說，任意一個等差數列{an}都可以寫成 { a , a + d , a + 2 d , ⋯ , a + ( n − 1 ) d } {\displaystyle\{a\,,\,\,a+d\,,\,\,a+2d\,,\,\cdots\,,\,\,a+(n-1)d\}} 在一個等差數列中，給定任意兩相連項an+1和an，可知公差 d = a n + 1 − a n {\displaystyled=a_{n+1}-a_{n}} 給定任意兩項am和an，則有公差 d = a m − a n m − n {\displaystyled={\frac{a_{m}-a_{n}}{m-n}}} 此外，在一個等差數列中，選取某一項，該項的前一項與後一項之和，為原來該項的兩倍。

舉例來說，a1+a3=2a2。

更一般地說，有： a n − 1 + a n + 1 = 2 a n {\displaystylea_{n-1}+a_{n+1}=2a_{n}} 證明如下： a n − 1 + a n + 1 = [ a + ( n − 2 ) d ] + ( a + n d ) = 2 a + ( 2 n − 2 ) d = 2 [ a + ( n − 1 ) d ] = 2 a n {\displaystyle{\begin{aligned}a_{n-1}+a_{n+1}&=[a+(n-2)d]+(a+nd)\\&=2a+(2n-2)d\\&=2[a+(n-1)d]\\&=2a_{n}\\\end{aligned}}} 證畢。

從另一個角度看，等差數列中的任意一項，是其前一項和後一項的算術平均： a n = a n − 1 + a n + 1 2 {\displaystylea_{n}={\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}} 此結果從上面直接可得。

如果有正整數m,n,p,q，使得 m + n = p + q {\displaystylem+n=p+q} ，那麼則有： a m + a n = a p + a q {\displaystylea_{m}+a_{n}=a_{p}+a_{q}} 證明如下： a m + a n = [ a + ( m − 1 ) d ] + [ a + ( n − 1 ) d ] = 2 a + ( m + n − 2 ) d = 2 a + ( p + q − 2 ) d = [ a + ( p − 1 ) d ] + [ a + ( q − 1 ) d ] = a p + a q {\displaystyle{\begin{aligned}a_{m}+a_{n}&=[a+(m-1)d]+[a+(n-1)d]\\&=2a+(m+n-2)d\\&=2a+(p+q-2)d\\&=[a+(p-1)d]+[a+(q-1)d]\\&=a_{p}+a_{q}\\\end{aligned}}} 由此可將上面的性質一般化成： a n − k + a n + k = 2 a n {\displaystylea_{n-k}+a_{n+k}=2a_{n}} a n = a n − k + a n + k 2 {\displaystylea_{n}={\frac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2}}} 其中k是一個小於n的正整數。

給定一個等差數列 { a n } {\displaystyle\{a_{n}\}} ，則有： { b + a n } {\displaystyle\{b+a_{n}\}} 是一個等差數列。

{ b ⋅ a n } {\displaystyle\{b\cdota_{n}\}} 是一個等差數列。

{ b a n } {\displaystyle\{b^{a_{n}}\}} 是一個等比數列。

{ b a n } {\displaystyle\{{\frac{b}{a_{n}}}\}} 是一個等諧數列。

從等差數列的一般項可知，任意一個可以寫成 a n = p + q n {\displaystylea_{n}=p+qn} 形成的數列，都是一個等差數列，其中公差d=q，首項a=p+q。

等差數列和[編輯] 一個等差數列的首n項之和，稱為等差數列和（sumofarithmeticsequence）或算術級數（arithmeticseries），記作Sn。

舉例來說，等差數列{1,3,5,7}的和是1+3+5+7=16。

等差數列求和的公式如下： S n = n 2 ( a + a n ) = n 2 [ 2 a + ( n − 1 ) d ] = a n + d ⋅ n ( n − 1 ) 2 {\displaystyle{\begin{aligned}S_{n}&={\frac{n}{2}}\,(a+a_{n})\\&={\frac{n}{2}}[2a+(n-1)d]\\&=an+d\cdot{\frac{n(n-1)}{2}}\end{aligned}}} 等差數列和在中文教科書中常表達為: 一個等差數列的和，等於其首項與末項的和，乘以項數除以2。

公式證明如下： 將等差數列和寫作以下兩種形式： S n = a + ( a + d ) + ( a + 2 d ) + ⋯ + [ a + ( n − 2 ) d ] + [ a + ( n − 1 ) d ] {\displaystyleS_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+\dots+[a+(n-2)d]+[a+(n-1)d]} S n = [ a n − ( n − 1 ) d ] + [ a n − ( n − 2 ) d ] + ⋯ + ( a n − 2 d ) + ( a n − d ) + a n {\displaystyleS_{n}=[a_{n}-(n-1)d]+[a_{n}-(n-2)d]+\dots+(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}} 將兩公式相加來消掉公差d，可得   2 S n = n ( a + a n ) {\displaystyle\2S_{n}=n(a+a_{n})} 整理可得第一種形式。

代入 a n = a + ( n − 1 ) d {\displaystylea_{n}=a+(n-1)d} ，可得第二種及第三種形式。

從上面的第三種形式展開可見，任意一個可以寫成 S n = p n + q n 2 {\displaystyleS_{n}=pn+qn^{2}} 形成的數列和，其原來數列都是一個等差數列，其中公差d=2q，首項a=p+q。

等差數列的一些其他性質[編輯] 如果 m + n = p + q {\displaystylem+n=p+q} ，那麼對於等差數列{ a n {\displaystylea_{n}} }，則有： a m + a n = a p + a q {\displaystylea_{m}+a_{n}=a_{p}+a_{q}} 當m≠n時，有 S m + n = ( S m − S n ) ( m + n ) m − n {\displaystyleS_{m+n}={\frac{(S_{m}-S_{n})(m+n)}{m-n}}} 證明如下： S m + n = a ( m + n ) + ( m + n ) ( m + n − 1 ) d 2 {\displaystyleS_{m+n}=a(m+n)+{\frac{(m+n)(m+n-1)d}{2}}} S m + n ( m − n ) m + n = a ( m − n ) + ( m 2 − n 2 − m + n ) d 2 {\displaystyle{\frac{S_{m+n}(m-n)}{m+n}}=a(m-n)+{\frac{(m^{2}-n^{2}-m+n)d}{2}}} S m + n ( m − n ) m + n = a m + m ( m − 1 ) d 2 − a n − n ( n − 1 ) d 2 = S m − S n {\displaystyle{\frac{S_{m+n}(m-n)}{m+n}}=am+{\frac{m(m-1)d}{2}}-an-{\frac{n(n-1)d}{2}}=S_{m}-S_{n}} S m + n = ( S m − S n ) ( m + n ) m − n {\displaystyleS_{m+n}={\frac{(S_{m}-S_{n})(m+n)}{m-n}}} 等差數列積[編輯] 一個等差數列的首n項之積，稱為等差數列積（productofarithmeticsequence），記作Pn。

舉例來說，等差數列{1,3,5,7}的積是1×3×5×7=105。

等差數列積的公式較為複雜，須以Γ函數表示： P n = d n ⋅ Γ ( a d + n ) Γ ( a d ) {\displaystyleP_{n}=d^{n}\cdot{\frac{\Gamma({\frac{a}{d}}+n)}{\Gamma({\frac{a}{d}})}}} 證明如下： P n = a ⋅ ( a + d ) ⋅ ( a + 2 d ) ⋅ ⋯ ⋅ [ a + ( n − 1 ) d ] = d n ⋅ ( a d ) ⋅ ( a d + 1 ) ⋅ ( a d + 2 ) ⋅ ⋯ ⋅ [ a d + ( n − 1 ) ] = d n ⋅ ( a d ) n ¯ = d n ⋅ Γ ( a d + n ) Γ ( a d ) {\displaystyle{\begin{aligned}P_{n}&=a\cdot(a+d)\cdot(a+2d)\cdot\cdots\cdot[a+(n-1)d]\\&=d^{n}\cdot\left({\frac{a}{d}}\right)\cdot\left({\frac{a}{d}}+1\right)\cdot\left({\frac{a}{d}}+2\right)\cdot\cdots\cdot\left[{\frac{a}{d}}+(n-1)\right]\\&=d^{n}\cdot{\left({\frac{a}{d}}\right)}^{\overline{n}}\\&=d^{n}\cdot{\frac{\Gamma({\frac{a}{d}}+n)}{\Gamma({\frac{a}{d}})}}\\\end{aligned}}} 這裡的 x n ¯ {\displaystylex^{\overline{n}}} 為x的n次上升階乘冪，例子如 1.1 3 ¯ = 1.1 × 2.1 × 3.1 {\displaystyle1.1^{\overline{3}}=1.1\times2.1\times3.1} 。

使用上面的例子，對於數列{1,3,5,7}： P 4 = 2 4 ⋅ Γ ( 1 2 + 4 ) Γ ( 1 2 ) = 16 ⋅ 11.6317 … 1.77245 … = 105 {\displaystyle{\begin{aligned}P_{4}&=2^{4}\cdot{\frac{\Gamma({\frac{1}{2}}+4)}{\Gamma({\frac{1}{2}})}}\\&=16\cdot{\frac{11.6317\dots}{1.77245\dots}}\\&=105\end{aligned}}} 結果相等。

參見[編輯] 序列 數列 級數 算術級數 算術平均 等比數列 等諧數列 參考文獻[編輯] Bhardwaj,S.,Abiy,T.,Kulkarni,O.,etal."GeometricProgressions."FromBrilliant.https://brilliant.org/wiki/geometric-progressions/. Weisstein,EricW."GeometricSequence."FromMathWorld--AWolframWebResource.http://mathworld.wolfram.com/GeometricSequence.html. Weisstein,EricW."GeometricSeries."FromMathWorld--AWolframWebResource.http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. 閱論編序列與級數算術序列發散級數1+1+1+1+… ·1+2+3+4+… ·無窮算術級數幾何序列收斂級數1/2−1/4+1/8−1/16+… ·1/2+1/4+1/8+1/16+… ·1/4+1/16+1/64+1/256+…發散幾何級數  1+1+1+1+… ·1+2+4+8+… ·1−2+4−8+… ·1−1+1−1+… ·2的冪 ·10的冪  超幾何級數廣義超幾何函數 ·矩陣參數的超幾何函數（英語：Hypergeometricfunctionofamatrixargument） ·超幾何級數 ·橢圓超幾何級數（英語：Elliptichypergeometricseries） ·黎曼微分方程（英語：Riemann'sdifferentialequation）整數序列整數數列線上大全列表（英語：ListofOEISsequences） ·階乘 ·斐波那契數列 ·等諧數列 ·三角形數 ·立方數 ·平方數 ·多邊形數 ·五邊形數 ·六邊形數 ·七邊形數 ·八邊形數 ·盧卡斯數其他序列發散級數1−2+3−4+… ·1−1+2−6+24−120+⋯ 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=等差数列&oldid=61710421」 分類：序列 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 已展開 已摺疊 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 已展開 已摺疊 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他專案 維基共享資源 其他語言 AfrikaansالعربيةAzərbaycancaБеларускаяБългарскиবাংলাBosanskiCatalàکوردیČeštinaЧӑвашлаDanskDeutschΕλληνικάEnglishEsperantoEspañolEestiEuskaraفارسیSuomiFrançaisGaeilgeGalegoעבריתहिन्दीHrvatskiMagyarՀայերենBahasaIndonesiaIdoItaliano日本語ქართულიҚазақша한국어КыргызчаLietuviųLatviešuМакедонскиമലയാളംBahasaMelayuनेपालीNederlandsNorsknynorskਪੰਜਾਬੀPolskiPiemontèisPortuguêsRomânăРусскийСахатылаSrpskohrvatski/српскохрватскиSimpleEnglishSlovenčinaSlovenščinaСрпски/srpskiSvenskaதமிழ்ไทยТатарча/tatarçaУкраїнськаOʻzbekcha/ўзбекчаTiếngViệt吴语粵語 編輯連結